2018-2019学年广西贵港市覃塘高级中学高一3月月考数学 试题 解析版 9页

2018-2019 学年广西贵港市覃塘高级中学高一 3 月月考数学 试题 试卷说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷为试题（选择题和客观题），学生自已保存，Ⅱ卷一 般为答题卷，考试结束只交Ⅱ卷。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分,每小题四个选项中有且只有一个正确.） 1、下列结论正确的是( ) A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥的底面一定是三角形 C．棱台的底面是两个相似的正方形 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 2、已知点 A，直线 a，平面α，以下叙述中正确的个数是( ) ①若 A∈a，a⊄α，则 A∉α； ②A∈a，a∈α，则 A∈α； ③若 A∉a，a ⊂ α，则 A∉α； ④若 A∈a，a ⊂ α，则 A ⊂ α. A．0 B．1 C．2 D．3 3、垂直于同一条直线的两条直线一定( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 4、已知平面α与平面β的交线为 l，直线 a 在平面α内，直线 b 在平面β内，且 a，b 与 l 均不垂直，则( ) A．a 与 b 可能垂直，但不可能平行 B．a 与 b 可能垂直，也可能平行 C．a 与 b 不可能垂直，但可能平行 D．a 与 b 不可能垂直，也不可能平行 5、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是一个( ) A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．正八面体 6、以长为 8 cm，宽为 6 cm 的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( ) A．64π cm2 B．36π cm2 C．64π cm2 或 36π cm2 D．48π cm2 7、若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π，则该圆柱的体积为( ) A．π B．2π C．4π D．8π 8、已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是32 3 π，则该球的表面积 为( ) A．4π B．8π C．12π D．16π 9、如图所示，三棱锥 A BCD 的棱长都相等，E，F 分别是棱 AB，CD 的中点，则 EF 与 BC 所成的角是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 10、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是 一个直径为 1 的圆，那么这个几何体的全面积为( ) A.3 2 π B．2π C．3π D．4π 11、 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则 BC1 与平面 BB1D1D 所 成角的正弦值为( ) A. 6 3 B.2 5 5 C. 15 5 D. 10 5 12、在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 2，其余各棱长都为 1，则二面角 ACDB 的平 面角的余弦值为( ) A.1 2 B.1 3 C. 3 3 D. 2 3 二、填空题：(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.) 13、如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 上 的点，EH∥FG，则 EH 与 BD 的位置关系是________． 14、正方体各面所在的平面将空间分成________个部分． 15、若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________． 16、已知 a，b 为互相不垂直的两条异面直线，α是一个平面，则 a，b 在α上的射影可 能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 则在上面的结论中，正确结论的序号是________． 三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、（10 分）一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为 36 π，求该三棱柱的体积． 18、(12 分) 如图①所示为一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和 侧视图如图②所示． (1)画出该多面体的俯视图； (2)求该多面体的体积． 19、(12 分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为 50 cm，两底面直 径分别为 40 cm 和 30 cm.现有制作这种纸篓的塑料制品 50 m2，问最多可以做多少个这种纸 篓？ 20、(12 分)如图所示，在四面体 ABCD 中，CB＝CD，AD⊥BD，点 E，F 分别是 AB，BD 的 中点． 求证：(1)直线 EF∥平面 ACD； (2)平面 EFC⊥平面 BCD. 21、(12 分) 已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3 2，点 E 在侧棱 AA1 上，点 F 在侧棱 BB1 上，且 AE＝2 2，BF＝ 2. (1)求证：CF⊥C1E； (2)求二面角 ECFC1 的大小． 22、(12 分)如图所示，已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD，∠ABC ＝60°，E，F 分别是 BC，PC 的中点． (1)证明：AE⊥平面 PAD. (2)若 AB＝2，在线段 PD 上是否存在点 H，使得 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ？ 若存在，请求出 H 点的位置；若不存在，请说明理由． 高一 3 月月考数学答案 一、选择题： 1、D [解析] 由棱台的定义知 D 选项正确． 2、A [解析] ①不正确，如 a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如 图所示，A∉a，a ⊂ α，但 A∈α；④不正确，“A ⊂ α”表述错误． 3、D [解析] 两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面． 4、B [解析] 由题易知 a 与 b 可能垂直，也可能平行，故选 B. 5、A [解析] 由三视图知，该几何体从正面和侧面看都是梯形，从上面看为正方形，从 下面看是正方形，并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，故这个 几何体是一个四棱台． 6、C [解析] 分别以长为 8 cm, 宽为 6 cm 的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不 同大小的圆柱，显然 C 选项正确． 7、B [解析] 设圆柱的底面半径为 r，则 2πr×2r＝4π，解得 r＝1，所以该圆柱的体 积为π×12×2＝2π. 8、D [解析] 设球的半径为 R.由 4 3πR3＝ 32 3 π得 R＝2，∴S 球＝4πR2＝16π. 9、B [解析] 设 G 是 AC 的中点，连接 EG，GF，则 EG∥BC，GF∥AD，∴∠GEF 的大小就 等于 EF 与 BC 所成的角的大小．又∵三棱锥 A BCD 是棱长都相等的正三棱锥，∴BC⊥AD. ∵EG∥BC，GF∥AD，∴∠EGF＝90°，又 EG＝ 1 2BC，GF＝ 1 2AD，BC＝AD，∴EG＝GF，∴△EGF 是等腰直角三角形，∴∠GEF＝45°，∴EF 与 BC 所成的角为 45°. 10、A [解析] 由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为 1 的圆，圆柱 的高是 1，∴圆柱的全面积是 2×π×( 1 2)2＋2π× 1 2×1＝ 3π 2 ，故选 A. 11、 D [解析] 如图所示，在平面 A1B1C1D1 内过点 C1 作 B1D1 的垂线，垂足为 E.连接 BE. C1E⊥BB1 B1D1∩BB1＝B1 ⇒ C1E⊥平面 BDD1B1，∴∠C1BE 的正弦值即为所求． ∵BC1＝＝，C1E＝ 2×2 2 ＝，∴sin∠C1BE＝ C1E BC1＝ 2 5＝ 10 5 . 12、C [解析] 取 AC 的中点 E，CD 的中点 F，连接 EF，BF，BE.∵AC＝，其余各棱长都 为 1， ∴AD⊥CD.又易知 EF∥AD，∴EF⊥CD. 又易知 BF⊥CD，∴∠BFE 是二面角 ACDB 的平面角．易求得，EF＝ 1 2，BE＝ 2 2， BF＝ 3 2， 此时 EF2＋BE2＝BF2.∴∠BEF＝90°， ∴cos∠BFE＝ EF BF＝ 3 3. 二、填空题: 13、平行 [解析] ∵EH∥FG，EH⊄平面 BCD，FG ⊂ 平面 BCD，∴EH∥平面 BCD.又∵EH ⊂ 平 面 ABD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，∴EH∥BD，即 EH 与 BD 的位置关系是平行． 14、27 [解析] 易知将空间分成 27 个部分． 15、14. π 3 [解析] 该组合体为在一个圆柱内去掉一个半球，其体积 V＝π×12×1－ 4 3π ×13× 1 2＝ π 3 . 16、①②④ [解析] ①②④对应的情况如下图所示： 三、解答题: 17、解：设球的半径为 r，则 4πr3 3 ＝36π，解得 r＝3. ∵球与正三棱柱的三个侧面相切， ∴球的直径等于正三棱柱底面等边三角形的内切圆的直径， ∴正三棱柱底面正三角形的边长为 2r＝6. ∵球与正三棱柱的两底面相切，∴正三棱柱的高为 2r＝6， ∴该三棱柱的体积 V＝ 3 4×(6)2×6＝162. 18、解：(1)该多面体的俯视图如图所示． (2) 所求多面体的体积 V＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－ 1 3×( 1 2×2×2)×2＝ 284 3 . 19、解：根据题意可知，纸篓底面圆的半径 r′＝15 cm，上口的半径 r＝20 cm，设母 线长为 l，则纸篓的表面积 S＝πr′2＋ （2πr′＋2πr）l 2 ＝π(r′2＋r′l＋rl)＝π(152＋ 15×50＋20×50)＝1975π(m2)。 50 m2＝500 000 cm2，故最多可以制作这种纸篓的个数 n ＝ 500 000 S ≈80. 20、证明：(1)∵E，F 分别是 AB，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD.∵EF ⊄平面 ACD，AD ⊂ 平面 ACD，∴直线 EF∥平面 ACD. (2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F 是 BD 的中点， ∴CF⊥BD.又∵EF∩CF＝F，∴BD⊥平面 EFC. ∵BD ⊂ 平面 BCD，∴平面 EFC⊥平面 BCD. 21、15．解：(1)证明：由已知可得 CC1＝3，CE＝C1F＝＝2，C1E＝，EF2＝AB2＋(AE－BF)2 ＝6，于是有 EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC 2 1，所以 C1E⊥EF，C1E⊥CE.又 CE∩EF＝E，所以 C1E⊥平面 CEF.又 CF ⊂ 平面 CEF，所以 CF⊥C1E. (2)在△CEF 中，CF＝EF＝，CE＝2，于是 EF2＋CF2＝CE2，所以 CF⊥EF.又由(1)知 CF⊥ C1E，且 C1E∩EF＝E，所以 CF⊥平面 C1EF，所以 CF⊥C1F，于是∠EFC1 即为所求二面角的平面 角．又△EFC1 是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°， 即所求二面角 ECFC1 的大小为 45°. 22、解：(1)证明：由四边形 ABCD 为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC 为正三角形，因 为 E 为 BC 的中点，所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD，因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD，AE ⊂ 平面 ABCD， 所以 PA⊥AE.而 PA ⊂ 平面 PAD，AD ⊂ 平面 PAD， PA∩AD＝A， 所以 AE⊥平面 PAD. (2)设线段 PD 上存在一点 H，连接 AH，EH. 由(1)知，AE⊥平面 PAD，则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角． 在 Rt△EAH 中，AE＝， 所以当 AH 最短，即 AH⊥PD 时，∠EHA 最大， 此时 tan∠EHA＝ AE AH＝ 3 AH＝ 6 2，因此 AH＝. 所以，线段 PD 上存在点 H，当 DH＝时，使得 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6 2.