2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第四章　第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 16页

第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 ‎　‎ 一、知识梳理 ‎1．角的有关概念 ‎(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．　‎ ‎(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角．‎ ‎(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z．‎ ‎2．弧度制 ‎(1)定义：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．‎ ‎(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝ rad，1 rad＝°．‎ ‎(3)扇形的弧长公式：l＝|α|r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2．‎ ‎3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫作α的正弦，记作sin α x叫作α的余弦，记作cos α 叫作α的正切，记作tan α 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 常用结论 ‎1．一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．‎ ‎2．一个结论 若α∈，则tan α>α>sin α.‎ ‎3．三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.‎ ‎4．象限角 ‎5．轴线角 二、教材衍化 ‎1．角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．‎ 答案：－　二 ‎2．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________．　‎ 解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－，‎ cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－＝.‎ 答案： ‎3．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．‎ 答案： 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)小于90°的角是锐角．(　　)‎ ‎(2)三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　)‎ ‎(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×‎ 二、易错纠偏 (1)终边相同的角理解出错；‎ ‎(2)三角函数符号记忆不准；‎ ‎(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．‎ ‎1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)‎ A．2kπ－45°(k∈Z)　　　　 B．k·360°＋π(k∈Z)‎ C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)‎ 解析：选C.与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C.‎ ‎2．若sin α<0，且tan α>0，则α是第____象限角．‎ 解析：由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上；由tan α>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．‎ 答案：三 ‎3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________．‎ 解析：如图，‎ 由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，‎ 由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎　　　　　　象限角及终边相同的角(自主练透)‎ ‎1．给出下列四个命题：‎ ‎①－是第二象限角；‎ ‎②是第三象限角；‎ ‎③－400°是第四象限角；‎ ‎④－315°是第一象限角．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.－是第三象限角，故①错误；‎ ＝π＋，所以是第三象限角，故②正确；‎ ‎－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故③正确；‎ ‎－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故④正确，故选C.‎ ‎2．若角α是第二象限角，则是(　　)‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 解析：选C.因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，‎ 所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.‎ 当k为偶数时，是第一象限角；‎ 当k为奇数时，是第三象限角．‎ 所以是第一或第三象限角．‎ ‎3．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)‎ 解析：选C.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.‎ ‎4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．‎ 解析：所有与45°终边相同的角可表示为：‎ β＝45°＋k×360°(k∈Z)，‎ 则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，‎ 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，‎ 解得－≤k<－(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，‎ 代入得β＝－675°和β＝－315°.‎ 答案：－675°和－315°‎ ‎5．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．‎ 解析：如图，‎ 在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；‎ 在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为.‎ 答案： ‎(1)终边在某直线上角的求法4步骤 ‎①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；‎ ‎②按逆时针方向写出[0，2π]内的角；‎ ‎③再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；‎ ‎④求并集化简集合．‎ ‎(2)判断象限角的2种方法 ‎①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；‎ ‎②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．‎ ‎(3)确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤 ‎①用终边相同角的形式表示出角α的范围；‎ ‎②再写出kα或的范围；‎ ‎③然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在的位置．‎ ‎[提醒]　终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．　 ‎ ‎　　　　　　扇形的弧长及角度公式(师生共研)‎ ‎ 已知一扇形的圆心角为α ，半径为R，弧长为l.‎ ‎(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；‎ ‎(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；‎ ‎(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？‎ ‎【解】　(1)α＝60°＝rad，‎ 所以l＝α·R＝×10＝(cm)．‎ ‎(2)由题意得⇒(舍去)或 故扇形圆心角为 rad.‎ ‎(3)由已知得l＋2R＝20，‎ 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，‎ 所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，‎ 此时l＝10 cm，α＝2 rad.‎ 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 ‎(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．‎ ‎(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．‎ ‎(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．　 ‎ ‎1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　　 B．sin 2‎ C. D．2sin 1‎ 解析：选C.如图，‎ ‎∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于点C，并延长OC交于D.‎ 则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，‎ 且AC＝AB＝1，‎ 在Rt△AOC中，‎ AO＝＝，即r＝，‎ 从而的长为l＝α·r＝.故选C.‎ ‎2．(2020·四川乐山、峨眉山二模)‎ ‎《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．‎ 解析：由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin ＝4×＝2，可得弦AB＝2AD＝4.所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.‎ 答案：4＋2‎ ‎　　　　　　三角函数的定义(多维探究)‎ 角度一　利用三角函数的定义求值 ‎ 已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，求cos α，tan α的值．‎ ‎【解】　设P(x，y)．由题设知x＝－，y＝m，‎ 所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，r＝，‎ 所以sin α＝＝＝，‎ 所以r＝＝2，3＋m2＝8，解得m＝±.‎ 当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，‎ 所以cos α＝＝－，tan α＝－；‎ 当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，‎ 所以cos α＝＝－，tan α＝.‎ 角度二　判断三角函数值的符号 ‎ (1)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)‎ A．小于0　　　　　　 B．大于0‎ C．等于0 D．不存在 ‎(2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎【解析】　(1)因为<2<3<π<4<，‎ 所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.‎ 所以sin 2·cos 3·tan 4<0，所以选A.‎ ‎(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，‎ 则α为第二象限角或第三象限角．‎ 由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)C 角度三　以三角函数定义为背景的创新题 ‎ 如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)‎ ‎【解析】　因为P0(，－)，所以∠P0Ox＝－.‎ 因为角速度为1，所以按逆时针方向旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－.‎ 由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，‎ 因此d＝2.‎ 令t＝0，则d＝2＝.‎ 当t＝时，d＝0，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎(1)用定义法求三角函数值的两种情况 ‎①已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；‎ ‎②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，‎ 求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．‎ ‎(2)判断三角函数值符号及角位置的方法 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．‎ ‎(3)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 ‎①用边界值定出角的终边位置；‎ ‎②根据不等式(组)定出角的范围；‎ ‎③求交集，找单位圆中公共的部分；‎ ‎④写出角的表达式．　 ‎ ‎1．(2020·江西九江一模)若sin x<0，且sin(cos x)>0，则角x是(　　)‎ A．第一象限角　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选D.因为－1≤cos x≤1，且sin(cos x)>0，所以00，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.‎ ‎4．已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x的可能区间是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选D.由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x0，tan θ<0.‎ 所以y＝－1＋1－1＝－1.‎ ‎6．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________．‎ 解析：因为cos α＝＝x，所以x＝0或x＝或x＝－，又α是第二象限角，所以x＝－.‎ 答案：－ ‎7．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．‎ 解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为r，所以圆心角的弧度数是＝.‎ 答案： ‎8．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．‎ 解析：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为.‎ 答案： ‎9．已知＝－，且lg(cos α)有意义．‎ ‎(1)试判断角α所在的象限；‎ ‎(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．‎ 解：(1)由＝－，得sin α<0，‎ 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，‎ 所以α是第四象限角．‎ ‎(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.‎ 又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，‎ sin α＝＝＝＝－.‎ ‎10．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．‎ ‎(1)求sin θ＋cos θ的值；‎ ‎(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．‎ 解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，‎ 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，‎ 当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.‎ 当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝.‎ ‎(2)当a＞0时，sin θ＝∈，‎ cos θ＝－∈，‎ 则cos(sin θ)·sin(cos θ)‎ ‎＝cos ·sin＜0；‎ 当a＜0时，sin θ＝－∈，‎ cos θ＝∈，‎ 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.‎ 综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；‎ 当a＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．‎ ‎ [综合题组练]‎ ‎1．(2020·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝(　　)‎ A.　　 B．－　　　‎ C.　　 D．－ 解析：选A.由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．故选A.‎ ‎2．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(　　)‎ A．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 解析：选D.由三角函数线可知选D.‎ ‎3．如图，‎ 在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则＝________．‎ 解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，在Rt△POB中，PB＝rtan α，则△POB的面积为r·rtan α，由题意得r·rtan α＝2×αr2，所以tan α＝2α，所以＝.‎ 答案： ‎4．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．‎ 解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，‎ 则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，‎ 所以S1＝tm·r－S扇形AOB，S2＝tm·r－S扇形AOB，‎ 所以S1＝S2恒成立．‎ 答案：S1＝S2‎ ‎5．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．‎ ‎(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；‎ ‎(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；‎ ‎(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．‎ 解：(1)由题意可得B，‎ 根据三角函数的定义得tan α＝＝－.‎ ‎(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为.‎ ‎(3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α，‎ 而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α，故弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈.‎ ‎6．已知sin α<0，tan α>0.‎ ‎(1)求角α的集合；‎ ‎(2)求终边所在的象限；‎ ‎(3)试判断tan sin cos 的符号．‎ 解：(1)因为sin α<0且tan α>0，‎ 所以α是第三象限角，故角α的集合为 .‎ ‎(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，‎ 故kπ＋<0，cos <0，‎ 故tan sin cos >0，‎ 当是第四象限角时，‎ tan <0，sin <0，cos >0，‎ 故tan sin cos >0.‎ 法二：tan sin cos ＝·sin cos ＝sin2 .‎ 由于是第二象限角或第四象限角，‎ 所以sin2 ＞0，‎ 综上，tan sin cos 取正号．‎