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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修4-1课后习题解答:2-5与圆有关的比例线段

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第5课时 与圆有关的比例线段 习题2.5 (第40页)‎ ‎1.解 如图所示,设两条弦相交于P,PA=12,PB=18,PD∶PC=3∶8.令PD=x,则PC=x.‎ 由相交弦定理得PA·PB=PC·PD,‎ ‎∴12×18=x2.∴x=9 (cm).即PD=‎9 cm.‎ ‎∴PC=×9=‎24 cm.‎ 故CD=‎24 cm+‎9 cm=‎33 cm.‎ ‎2.解 如图(1)是轴纵断面图,图(2)是圆头部分的图形,其中弦CD=30,直径AB=72,且AB⊥CD于M,因此BM就是圆头部分的长.设BM=x,由相交弦定理得MC·MD=MB·MA.‎ 而MC=MD,∴2=MB·MA=(AB-MB)·MB.‎ ‎∴152=(72-x)x.解得x≈36±33,∴x1≈69,x2≈3.‎ ‎∴轴的全长可能是160+69=229,或者160+3=163.‎ ‎3.证明 如图所示,延长CP与圆相交于点D.‎ ‎∵OP⊥PC,∴PC=PD.‎ ‎∵PA·PB=PC·PD,‎ ‎∴PC2=PA·PB.‎ ‎4.解 设⊙O的半径为x.‎ ‎∵PO=PC+x,∴PC=PO-x=12-x.‎ 又PB=PA+AB=6+7=.‎ ‎∵PA·PB=PC·PD,‎ ‎∴6×=(12-x)(12+x).‎ 解得x=8.‎ ‎5.证明 ∵NMQ与NBA是⊙O′的割线,‎ ‎∴NM·NQ=NB·NA,‎ 而PQ是⊙O′的切线,‎ ‎∴NB·NA=PN2.‎ ‎∴PN2=NM·NQ.‎ ‎6.证明 ∵PA是⊙O的切线,‎ ‎∴MA2=MB·MC.‎ ‎∵M是PA的中点,‎ ‎∴MP=MA.‎ ‎∴MP2=MB·MC.‎ ‎∴=.又∵∠BMP=∠PMC,‎ ‎∴△BMP∽△PMC.∴∠MPB=∠MCP.‎ ‎7.证明 如图所示,连接GC.‎ ‎∵∠1和∠2是同弧上的圆周角,‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∵AD⊥BC,CF⊥AB,‎ ‎∴∠2=90°-∠ABD,‎ ‎∠3=90°-∠ABD.‎ ‎∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.‎ 又∠CDH=∠CDG,CD=CD ‎∴Rt△CHD≌Rt△CGD.‎ ‎∴DH=DG.‎ ‎8.证明 如图所示,连接OC,则∠AOC的度数等于弧的度数.‎ ‎∵∠CDE的度数等于弧度数的一半,而=,‎ ‎∴∠AOC=∠CDE.∴∠POC=∠PDF.‎ 又∵∠DPF=∠OPC,∴△POC∽△PDF.‎ ‎∴=.∴PO·PF=PC·PD. ‎ 又∵PC·PD=PB·PA,‎ ‎∴PO·PF=PB·PA.‎ ‎9.解 如图(1)所示,∵DG和FE是圆内相交的弦,‎ 图(1)‎ ‎∴CF·CE=CD·CG.‎ ‎∵AB是圆的切线,∴AB2=AD·AE.‎ ‎∵AB=AC,∴AC2=AD·AE,‎ 即=.‎ 而∠CAD=∠EAC,∴△ACD∽△AEC ‎∵∠AEC=∠G,∴∠ACD=∠G.‎ ‎∴AC∥FG.‎ 图(2)‎ 如果∠BAD=∠CAD,如图(2)所示,连接BC,BD,BG,BE.‎ ‎∵AB=AC,AD=AD,‎ ‎∴△ABD≌△ACD.‎ ‎∴BD=CD.‎ ‎∠ABD=∠ACD.‎ ‎∵∠ACD=∠1,∠ABD=∠2,‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∴=,∴∠3=∠4.‎ ‎∴△ABE≌△ACE.‎ ‎∴BE=CE.∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,‎ ‎∴AE⊥BC.‎ ‎∴四边形ABEC各边的中点在同一个圆周上.‎ ‎∵AB=AC,EB=EC,∴AB+EC=AC+EB.①‎ 由①可以推出,四边形ABEC存在内切圆(证明略).‎

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