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- 2021-06-16 发布
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第5课时 与圆有关的比例线段
习题2.5 (第40页)
1.解 如图所示,设两条弦相交于P,PA=12,PB=18,PD∶PC=3∶8.令PD=x,则PC=x.
由相交弦定理得PA·PB=PC·PD,
∴12×18=x2.∴x=9 (cm).即PD=9 cm.
∴PC=×9=24 cm.
故CD=24 cm+9 cm=33 cm.
2.解 如图(1)是轴纵断面图,图(2)是圆头部分的图形,其中弦CD=30,直径AB=72,且AB⊥CD于M,因此BM就是圆头部分的长.设BM=x,由相交弦定理得MC·MD=MB·MA.
而MC=MD,∴2=MB·MA=(AB-MB)·MB.
∴152=(72-x)x.解得x≈36±33,∴x1≈69,x2≈3.
∴轴的全长可能是160+69=229,或者160+3=163.
3.证明 如图所示,延长CP与圆相交于点D.
∵OP⊥PC,∴PC=PD.
∵PA·PB=PC·PD,
∴PC2=PA·PB.
4.解 设⊙O的半径为x.
∵PO=PC+x,∴PC=PO-x=12-x.
又PB=PA+AB=6+7=.
∵PA·PB=PC·PD,
∴6×=(12-x)(12+x).
解得x=8.
5.证明 ∵NMQ与NBA是⊙O′的割线,
∴NM·NQ=NB·NA,
而PQ是⊙O′的切线,
∴NB·NA=PN2.
∴PN2=NM·NQ.
6.证明 ∵PA是⊙O的切线,
∴MA2=MB·MC.
∵M是PA的中点,
∴MP=MA.
∴MP2=MB·MC.
∴=.又∵∠BMP=∠PMC,
∴△BMP∽△PMC.∴∠MPB=∠MCP.
7.证明 如图所示,连接GC.
∵∠1和∠2是同弧上的圆周角,
∴∠1=∠2.
∵AD⊥BC,CF⊥AB,
∴∠2=90°-∠ABD,
∠3=90°-∠ABD.
∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.
又∠CDH=∠CDG,CD=CD
∴Rt△CHD≌Rt△CGD.
∴DH=DG.
8.证明 如图所示,连接OC,则∠AOC的度数等于弧的度数.
∵∠CDE的度数等于弧度数的一半,而=,
∴∠AOC=∠CDE.∴∠POC=∠PDF.
又∵∠DPF=∠OPC,∴△POC∽△PDF.
∴=.∴PO·PF=PC·PD.
又∵PC·PD=PB·PA,
∴PO·PF=PB·PA.
9.解 如图(1)所示,∵DG和FE是圆内相交的弦,
图(1)
∴CF·CE=CD·CG.
∵AB是圆的切线,∴AB2=AD·AE.
∵AB=AC,∴AC2=AD·AE,
即=.
而∠CAD=∠EAC,∴△ACD∽△AEC
∵∠AEC=∠G,∴∠ACD=∠G.
∴AC∥FG.
图(2)
如果∠BAD=∠CAD,如图(2)所示,连接BC,BD,BG,BE.
∵AB=AC,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD.
∴BD=CD.
∠ABD=∠ACD.
∵∠ACD=∠1,∠ABD=∠2,
∴∠1=∠2.
∴=,∴∠3=∠4.
∴△ABE≌△ACE.
∴BE=CE.∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,
∴AE⊥BC.
∴四边形ABEC各边的中点在同一个圆周上.
∵AB=AC,EB=EC,∴AB+EC=AC+EB.①
由①可以推出,四边形ABEC存在内切圆(证明略).