【数学】2020届一轮复习人教A版不等式与不等关系学案 7页

不等式与不等关系 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解不等关系、不等式（组）的实际背景；‎ ‎2.理解并掌握不等式的性质，理解不等关系；‎ ‎3.能用不等式的基本性质解决某些数学问题.‎ ‎【知识网络】‎ 不等式与不等关系 不等式的性质 基本性质的应用 实际背景 ‎【考点梳理】‎ 要点一、符号法则与比较大小 ‎1. 实数的符号 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。‎ ‎2. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：‎ ‎ ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：；‎ ‎②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：；‎ ‎③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：‎ ‎④任何实数的平方为非负数，0的平方为0‎ 符号语言：，.‎ ‎3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③。‎ ‎ 对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。‎ 要点诠释：‎ 这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ‎ 要点二、不等式的基本性质 ‎１．不等式的基本性质 ‎ （1） ‎ ‎（2）‎ ‎ （3）‎ ‎ ‎ ‎ （4）‎ ‎２．不等式的运算性质 ‎ （１）加法法则： ‎ ‎（２）减法法则：‎ ‎ （３）乘法法则： ‎ ‎（４）除法法则：‎ ‎ （５）乘方法则：‎ ‎ （６）开方法则：‎ 要点诠释：‎ 不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。‎ 要点三、比较大小的方法 ‎1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。‎ ‎2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。‎ ‎3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.‎ ‎4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：比较代数式（值）的大小 例1．已知：, 比较和的大小.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎∵，，‎ ‎∴ ‎ ‎∴.‎ ‎【总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.‎ 举一反三：‎ 不等式与不等关系394833 ‎ ‎【变式1】若，则下列不等式中，不能成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】取特殊值，代入验证即可 ‎【答案】B ‎【变式2】已知,试比较和的大小.‎ ‎【解析】∵，‎ ‎ 又∵即 ‎∴当时，；‎ 当时，.‎ ‎【变式3】且，比较与的大小.‎ ‎【解析】作差：‎ ‎(1) 当， 即时，，此时.‎ ‎(2) 当，即 ‎(3) 当，, 此时，其中时取等号.‎ ‎(4) 当 即时，， 此时 例2．已知：、, 且,比较的大小.‎ ‎【解析】∵、 ，∴，‎ 作商： （*）‎ ‎(1)若a>b>0, 则，a-b>0, , 此时成立；‎ ‎(2)若b>a>0, 则, a-b<0，, 此时成立。‎ 综上，总成立。‎ ‎【总结升华】1、作商比较法的基本步骤是:‎ 判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。‎ ‎2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知为互不相等的正数，求证：‎ ‎【解析】为不等正数，不失一般性，设 这时，，则有：‎ ‎ ‎ 由指数函数的性质可知：‎ ‎，即.‎ 类型二：不等式性质的应用 例3.（2017 浙江高考）已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若logab>1 ，则（ ）‎ A.(a-1)(b-1) <0 B. (a-1)(a-b)>0 C. (b-1)(b-a)<0 D. (b-1)(b-a)>0‎ ‎【解析】logab>logaa=1,当a>1时，b>a>1,故b-1>0, b-a>0,所以(b-1)(b-a)>0;‎ 当00,故选D.‎ ‎【总结升华】判别不等式成立与否，应紧扣不等式性质，当出现字母代数式最常用赋值法.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】对于实数，判断以下命题的真假.‎ ‎（1）若, 则； （2）若，则；‎ ‎（3）若, 则； （4）若, 则;‎ ‎(5) 若，则 ； （6）若且, 则．‎ ‎(7) 若，则； (8)若，则 ‎【解析】（１）因为的符号不定，所以无法判定和的大小，故原命题为假命题.‎ ‎（２）因为, 所以, 从而，故原命题为真命题.‎ ‎（３）因为，所以 ①；‎ 又，所以 ②‎ ‎ 综合①②得，故原命题为真命题.‎ ‎（４）两个负实数，绝对值大的反而小．故原命题为真命题．‎ ‎（5）因为当时，不成立，故原命题为假命题..‎ ‎（6）因为，所以 ‎ 又因，所以．故原命题为真命题．‎ ‎（7）因为的函数在上单调递增，故原命题为真命题．‎ ‎（8）因为，所以，故原命题为真命题．‎ 不等式与不等关系394833 典型例题四】‎ ‎【变式2】已知且 ,求的取值范围.‎ ‎【解析】设 解得，‎ 所以 由得 由得 所以 即 ‎【变式3】已知，那么下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】D；特殊值法：令，‎ 类型三：不等关系在实际问题中的应用 例4.(2018 怀化一模)某单位有员工1000名，平均没人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.‎ ‎(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？‎ ‎(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？‎ ‎【解析】(1)由题意得 即，又,‎ 即最多调整500名员工从事第三产业.‎ ‎(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为万元,从事原来产业的员工的年总利润为万元 则 即恒成立 当且仅当即时等号成立.‎ 即的取值范围为.‎ ‎　　举一反三：‎ ‎【变式】(2018 高邮市校级模拟)某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(阴影部分表示),大棚占地面积为S平方米,其中a:b=1:2‎ ‎(1)试用x,y表示S ‎ ‎(2)若要使S最大,则x,y的值各位多少?‎ ‎【解析】(1)由题意可得xy=1800,b=2a则y=a+b+3=3a+3‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ 当且仅当,即时取等号,S取得最大值,此时 当,时,S取得最大值.‎