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- 2021-06-16 发布
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核心素养测评七 指数与指数函数
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.··的化简结果为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】选B.原式=··1=····=·=3·20=3.
2.(2020·抚州模拟)已知a>b>1,ab=ba,ln a=4ln b,则=( )
A. B. 2 C. D.4
【解析】选D.a>b>1,ln a=4ln b⇒ln a=ln b4⇒a=b4,ab=ba⇒b4b=ba⇒4b=a⇒=4.
3.(2019·武汉模拟)已知a=0.24,b=0.32,c=0.43,则 ( )
A.bc>a.
4.(a2-a+2 021)-x-1<(a2-a+2 021)2x+5的解集为 ( )
A.(-∞,-4) B.(-4,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)
【解析】选D.因为a2-a+2 021>1,所以-x-1<2x+5,所以x>-2.
5.(2019·太原模拟)函数f(x)=ax-b的图像如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
- 8 -
C.00 D.00,所以b<0.
6.(2020·北京模拟)若ea+πb≥e-b+π-a,则有 ( )
A.a+b≤0 B.a-b≥0
C.a-b≤0 D.a+b≥0
【解析】选D.令f(x)=ex-π-x,则f(x)在R上单调递增,又ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.
7.(2019·十堰模拟)定义在[-7,7]上的奇函数f(x),当00的解集为 ( )
A.(2,7]
B.(-2,0)∪(2,7]
C.(-2,0)∪(2,+∞)
D.[-7,-2)∪(2,7]
【解析】选B.当00等价于f(x)>f(2),即20等价于f(x)>f(-2),即-20的解集为(-2,0)∪(2,7].
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.指数函数y=f(x)的图像经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=________________.
【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=am=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.
答案:
9.若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为________________,f(x)的值域为________________.
【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,
- 8 -
所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,
f(x)==1-.
因为2x+1>1,所以0<<2,
所以-1<1-<1,所以f(x)的值域为(-1,1).
答案:1 (-1,1)
10.给出下列结论:
①当a<0时,(a2=a3;
②=|a|(n>1,n∈N*,n为偶数);
③函数f(x)=(x-2-(3x-7)0的定义域是;
④若2x=16,3y=,则x+y=7.
其中正确结论的序号有________________.
【解析】因为a<0时,(a2>0,a3<0,所以①错;②显然正确;解,得x≥2且x≠,所以③正确;因为2x=16,所以x=4,
因为3y==3-3,所以y=-3,
所以x+y=4+(-3)=1,所以④错.
故②③正确.
答案:②③
(15分钟 35分)
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1.(5分)(2020·重庆模拟)设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则 ( )
A.K的最大值为0 B.K的最小值为0
C.K的最大值为1 D.K的最小值为1
【解析】选D.根据题意可知,对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则f(x)≤K在x≤1上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K即可.
令2x=t,则t∈(0,2],f(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得f(t)的最大值为1,所以K≥1.
2.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 ( )
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c D.2a+2c<2
【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图像,如图.
因为af(c)>f(b),结合图像知00,b<1,
所以0<2a<1,2-a>1,
所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,
所以f(c)<1,所以0f(c),
所以1-2a>2c-1,
所以2a+2c<2.
【变式备选】
(2020·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
- 8 -
【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.
3.(5分)(2020·北京模拟)某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在t=0 min和t=1 min时测得该物质的浓度分别为
124 mg/L和64 mg/L,那么在t=4 min时,该物质的浓度为______________mg/L;若该物质的浓度小于24.001 mg/L,则最小的整数的值为________________.
【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24=64,
所以a=100,r=,所以M(t)=100+24;
所以M(4)=100+24=26.56;
由100+24<24.001得:<(0.1)5;
所以lg12.6;所以最小的整数t的值是13.
答案:26.56 13
【变式备选】
已知a-=3(a>0),求a2+a+a-2+a-1的值.
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【解析】因为a-=3,所以a2+=+2·a·=9+2=11,而=a2++2=13,
所以a+=,所以a2+a+a-2+a-1=11+.
4.(10分)已知函数y=a+b的图像过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式,并画出图像.
(2)判断该函数的奇偶性和单调性.
【解析】
(1)因为函数y=a+b的图像过原点,所以0=a+b,即a+b=0,
所以b=-a.
函数y=a-a=a.
又0<≤1,-1<-1≤0.
且y=a+b无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,所以a<0且0≤a<-a,所以-a=2,函数y=-2+2.用描点法画出函数的图像,如图.
(2)显然函数的定义域为R.
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令y=f(x),则f(-x)=-2+2=-2+2=f(x),所以f(x)为偶函数.
当x>0时,y=-2+2=-2+2为单调增函数.
当x<0时,y=-2+2=-2+2为单调减函数.
所以y=-2+2在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数.
5.(10分)已知函数f(x)=.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,
令g(x)=-x2-4x+3,
由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2].
(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,
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因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.
(3)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,
由指数函数的性质知要使f(x)=的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,
因此只能a=0(因为若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).
故f(x)的值域为(0,+∞)时,a的值为0.
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