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  • 2021-06-16 发布

2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第27练

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第27练 导数与函数的单调性、极值、最值[压轴大题突破练]‎ ‎[明晰考情] 1.命题角度:讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点.2.题目难度:偏难题.‎ 考点一 利用导数研究函数的单调性 方法技巧 (1)函数单调性的判定方法:在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在此区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在此区间内单调递减.‎ ‎(2)已知函数的单调性求参数的取值范围:若可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减),则可以得出函数f(x)在这个区间内f′(x)≥0(或f′(x)≤0),从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验).‎ ‎(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f′(x)=0在(a,b)上有解.‎ ‎1.已知函数f(x)=ln x+,其中常数k>0,讨论f(x)在(0,2)上的单调性.‎ 解 因为f′(x)=--1‎ ‎==-(x>0,k>0).‎ ‎①当0k>0,且>2,‎ 所以当x∈(0,k)时,f′(x)<0,当x∈(k,2)时,f′(x)>0,‎ 所以函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;‎ ‎②当k=2时,=k=2,f′(x)<0在(0,2)上恒成立,‎ 所以f(x)在(0,2)上是减函数;‎ ‎③当k>2时,0<<2,k>,‎ 所以当x∈时,f′(x)<0;‎ 当x∈时,f′(x)>0,‎ 所以函数f(x)在上是减函数,在上是增函数.‎ 综上可知,当02时,f(x)在上是减函数,在上是增函数.‎ ‎2.已知函数f(x)=aln(x+1)-ax-x2,讨论f(x)在定义域上的单调性.‎ 解 f′(x)=-a-2x=,‎ 令f′(x)=0,得x=0或x=-,‎ 又f(x)的定义域为(-1,+∞),‎ ‎①当-≤-1,即当a≥0时,‎ 若x∈(-1,0),f′(x)>0,则f(x)单调递增;‎ 若x∈(0,+∞),f′(x)<0,则f(x)单调递减.‎ ‎②当-1<-<0,即-2<a<0时,‎ 若x∈,f′(x)<0,则f(x)单调递减;‎ 若x∈,f′(x)>0,则f(x)单调递增;‎ 若x∈(0,+∞),f′(x)<0,则f(x)单调递减.‎ ‎③当-=0,即a=-2时,‎ f′(x)≤0,f(x)在(-1,+∞)上单调递减.‎ ‎④当->0,即a<-2时,‎ 若x∈(-1,0),f′(x)<0,则f(x)单调递减;‎ 若x∈,f′(x)>0,则f(x)单调递增;‎ 若x∈,f′(x)<0,则f(x)单调递减.‎ 综上,当a≥0时,f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;‎ 当-2<a<0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;‎ 当a=-2时,f(x)在(-1,+∞)上单调递减;‎ 当a<-2时,f(x)在(-1,0)上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎3.设函数f(x)=(a∈R).‎ ‎(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.‎ 解 (1)对f(x)求导,得f′(x)=‎ =,‎ 因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,即a=0.‎ 当a=0时,f(x)=,f′(x)=,‎ 故f(1)=,f′(1)=,‎ 从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=(x-1),化简得3x-ey=0.‎ ‎(2)由(1)知,f′(x)=.‎ 令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,‎ 由g(x)=0,解得x1=,‎ x2=.‎ 当x<x1时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数;‎ 当x1<x<x2时,g(x)>0,即f′(x)>0,故f(x)为增函数;‎ 当x>x2时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数.‎ 由f(x)在[3,+∞)上为减函数知,‎ x2=≤3,解得a≥-,‎ 故a的取值范围为.‎ ‎4.已知函数f(x)=x2-2aln x+(a-2)x.‎ ‎(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)当a=-1时,f(x)=x2+2ln x-3x(x>0),‎ 则f′(x)=x+-3==.‎ 当02时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当10时,求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)当a<0时,求函数f(x)在上的最小值.‎ 解 (1)由函数f(x)=ax2+(1-2a)x-ln x,‎ 可得f′(x)=2ax+(1-2a)-=,‎ ‎∵a>0,x>0,‎ ‎∴>0,令f′(x)>0,‎ 即x-1>0,得x>1,‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(1,+∞).‎ ‎(2)由(1)可得f′(x)=,‎ ‎∵a<0,令f′(x)=0,得x1=-,x2=1,‎ ‎①当->1,即-0,均有x(2ln a-ln x)≤a恒成立,求正数a的取值范围.‎ 解 (1)f′(x)=-=,x∈(0,+∞).‎ ‎①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数,无极值;‎ ‎②当a>0,x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,a)上为减函数;‎ x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(a,+∞)上为增函数,‎ 所以f(x)在(0,+∞)上有极小值,无极大值,‎ f(x)的极小值为f(a)=ln a+1.‎ ‎(2)若对任意x>0,均有x(2ln a-ln x)≤a恒成立,‎ 即对任意x>0,均有2ln a≤+ln x恒成立,‎ 由(1)可知f(x)的最小值为ln a+1,问题转化为2ln a≤ln a+1,‎ 即ln a≤1,故00时,h(x)>0;‎ 当x<0时,h(x)<0.‎ ‎①当a<0时,g′(x)=(x-a)(x-sin x),‎ 当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g′(x)>0,g(x)单调递增;‎ 当x∈(a,0)时,x-a>0,g′(x)<0,g(x)单调递减;‎ 当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增.‎ 所以当x=a时,g(x)取到极大值,‎ 极大值是g(a)=-a3-sin a;‎ 当x=0时,g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.‎ ‎②当a=0时,g′(x)=x(x-sin x),‎ 当x∈(-∞,+∞)时,g′(x)≥0,g(x)单调递增;‎ 所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.‎ ‎③当a>0时,g′(x)=(x-a)(x-sin x),‎ 当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g′(x)>0,g(x)单调递增;‎ 当x∈(0,a)时,x-a<0,g′(x)<0,g(x)单调递减;‎ 当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增.‎ 所以当x=0时,g(x)取到极大值,‎ 极大值是g(0)=-a;‎ 当x=a时,g(x)取到极小值,‎ 极小值是g(a)=-a3-sin a.‎ 综上所述,当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-a3-sin a,极小值是g(0)=-a;‎ 当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;‎ 当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sin a.‎ ‎4.已知函数f(x)=ax-ln x+x2.‎ ‎(1)若a=-1,求函数f(x)的极值;‎ ‎(2)若a=1,∀x1∈(1,2),∃x2∈(1,2),使得f(x1)-x=mx2-mx(m≠0),求实数m的取值范围.‎ 解 (1)依题意知,当a=-1时,f(x)=-x-ln x+x2,‎ f′(x)=-1-+2x==,‎ 因为x∈(0,+∞),故当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,‎ 故当x=1时,f(x)有极小值,极小值为f(1)=0,无极大值.‎ ‎(2)当a=1时,f(x)=x-ln x+x2.‎ 因为∀x1∈(1,2),∃x2∈(1,2),‎ 使得f(x1)-x=mx2-mx(m≠0),‎ 故ln x1-x1=mx-mx2.‎ 设h(x)=ln x-x,g(x)=mx3-mx,‎ 当x∈(1,2)时,h′(x)=-1<0,即函数h(x)在(1,2)上单调递减,‎ 故h(x)的值域为A=(ln 2-2,-1).‎ 又g′(x)=mx2-m=m(x+1)(x-1).‎ ‎①当m<0时,g(x)在(1,2)上单调递减,此时g(x)的值域为B=,‎ 因为A⊆B,又->0>-1,‎ 故≤ln 2-2,即m≤ln 2-3;‎ ‎②当m>0时,g(x)在(1,2)上单调递增,此时g(x)的值域为B=,因为A⊆B,又>0>-1,‎ 故-≤ln 2-2,故m≥-(ln 2-2)=3-ln 2.‎ 综上所述,实数m的取值范围为∪.‎

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