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- 2021-06-16 发布
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第27练 导数与函数的单调性、极值、最值[压轴大题突破练]
[明晰考情] 1.命题角度:讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点.2.题目难度:偏难题.
考点一 利用导数研究函数的单调性
方法技巧 (1)函数单调性的判定方法:在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在此区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在此区间内单调递减.
(2)已知函数的单调性求参数的取值范围:若可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减),则可以得出函数f(x)在这个区间内f′(x)≥0(或f′(x)≤0),从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验).
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f′(x)=0在(a,b)上有解.
1.已知函数f(x)=ln x+,其中常数k>0,讨论f(x)在(0,2)上的单调性.
解 因为f′(x)=--1
==-(x>0,k>0).
①当0k>0,且>2,
所以当x∈(0,k)时,f′(x)<0,当x∈(k,2)时,f′(x)>0,
所以函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;
②当k=2时,=k=2,f′(x)<0在(0,2)上恒成立,
所以f(x)在(0,2)上是减函数;
③当k>2时,0<<2,k>,
所以当x∈时,f′(x)<0;
当x∈时,f′(x)>0,
所以函数f(x)在上是减函数,在上是增函数.
综上可知,当02时,f(x)在上是减函数,在上是增函数.
2.已知函数f(x)=aln(x+1)-ax-x2,讨论f(x)在定义域上的单调性.
解 f′(x)=-a-2x=,
令f′(x)=0,得x=0或x=-,
又f(x)的定义域为(-1,+∞),
①当-≤-1,即当a≥0时,
若x∈(-1,0),f′(x)>0,则f(x)单调递增;
若x∈(0,+∞),f′(x)<0,则f(x)单调递减.
②当-1<-<0,即-2<a<0时,
若x∈,f′(x)<0,则f(x)单调递减;
若x∈,f′(x)>0,则f(x)单调递增;
若x∈(0,+∞),f′(x)<0,则f(x)单调递减.
③当-=0,即a=-2时,
f′(x)≤0,f(x)在(-1,+∞)上单调递减.
④当->0,即a<-2时,
若x∈(-1,0),f′(x)<0,则f(x)单调递减;
若x∈,f′(x)>0,则f(x)单调递增;
若x∈,f′(x)<0,则f(x)单调递减.
综上,当a≥0时,f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;
当-2<a<0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;
当a=-2时,f(x)在(-1,+∞)上单调递减;
当a<-2时,f(x)在(-1,0)上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
3.设函数f(x)=(a∈R).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.
解 (1)对f(x)求导,得f′(x)=
=,
因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,即a=0.
当a=0时,f(x)=,f′(x)=,
故f(1)=,f′(1)=,
从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=(x-1),化简得3x-ey=0.
(2)由(1)知,f′(x)=.
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,
由g(x)=0,解得x1=,
x2=.
当x<x1时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数;
当x1<x<x2时,g(x)>0,即f′(x)>0,故f(x)为增函数;
当x>x2时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数.
由f(x)在[3,+∞)上为减函数知,
x2=≤3,解得a≥-,
故a的取值范围为.
4.已知函数f(x)=x2-2aln x+(a-2)x.
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解 (1)当a=-1时,f(x)=x2+2ln x-3x(x>0),
则f′(x)=x+-3==.
当02时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当10时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a<0时,求函数f(x)在上的最小值.
解 (1)由函数f(x)=ax2+(1-2a)x-ln x,
可得f′(x)=2ax+(1-2a)-=,
∵a>0,x>0,
∴>0,令f′(x)>0,
即x-1>0,得x>1,
∴f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
(2)由(1)可得f′(x)=,
∵a<0,令f′(x)=0,得x1=-,x2=1,
①当->1,即-0,均有x(2ln a-ln x)≤a恒成立,求正数a的取值范围.
解 (1)f′(x)=-=,x∈(0,+∞).
①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数,无极值;
②当a>0,x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,a)上为减函数;
x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(a,+∞)上为增函数,
所以f(x)在(0,+∞)上有极小值,无极大值,
f(x)的极小值为f(a)=ln a+1.
(2)若对任意x>0,均有x(2ln a-ln x)≤a恒成立,
即对任意x>0,均有2ln a≤+ln x恒成立,
由(1)可知f(x)的最小值为ln a+1,问题转化为2ln a≤ln a+1,
即ln a≤1,故00时,h(x)>0;
当x<0时,h(x)<0.
①当a<0时,g′(x)=(x-a)(x-sin x),
当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g′(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(a,0)时,x-a>0,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=a时,g(x)取到极大值,
极大值是g(a)=-a3-sin a;
当x=0时,g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.
②当a=0时,g′(x)=x(x-sin x),
当x∈(-∞,+∞)时,g′(x)≥0,g(x)单调递增;
所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.
③当a>0时,g′(x)=(x-a)(x-sin x),
当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g′(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(0,a)时,x-a<0,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=0时,g(x)取到极大值,
极大值是g(0)=-a;
当x=a时,g(x)取到极小值,
极小值是g(a)=-a3-sin a.
综上所述,当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-a3-sin a,极小值是g(0)=-a;
当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;
当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sin a.
4.已知函数f(x)=ax-ln x+x2.
(1)若a=-1,求函数f(x)的极值;
(2)若a=1,∀x1∈(1,2),∃x2∈(1,2),使得f(x1)-x=mx2-mx(m≠0),求实数m的取值范围.
解 (1)依题意知,当a=-1时,f(x)=-x-ln x+x2,
f′(x)=-1-+2x==,
因为x∈(0,+∞),故当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
故当x=1时,f(x)有极小值,极小值为f(1)=0,无极大值.
(2)当a=1时,f(x)=x-ln x+x2.
因为∀x1∈(1,2),∃x2∈(1,2),
使得f(x1)-x=mx2-mx(m≠0),
故ln x1-x1=mx-mx2.
设h(x)=ln x-x,g(x)=mx3-mx,
当x∈(1,2)时,h′(x)=-1<0,即函数h(x)在(1,2)上单调递减,
故h(x)的值域为A=(ln 2-2,-1).
又g′(x)=mx2-m=m(x+1)(x-1).
①当m<0时,g(x)在(1,2)上单调递减,此时g(x)的值域为B=,
因为A⊆B,又->0>-1,
故≤ln 2-2,即m≤ln 2-3;
②当m>0时,g(x)在(1,2)上单调递增,此时g(x)的值域为B=,因为A⊆B,又>0>-1,
故-≤ln 2-2,故m≥-(ln 2-2)=3-ln 2.
综上所述,实数m的取值范围为∪.