【数学】2019届一轮复习人教B版第2章函数概念与基本初等函数I第2节学案 14页

第2节 函数的单调性与最值 最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数的单调性 ‎(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 ‎(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．‎ ‎2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ‎(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；‎ ‎(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M ‎(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；‎ ‎(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”意义不同，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.‎ ‎2.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.‎ ‎(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.( )‎ ‎(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )‎ ‎(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)0，得x>4或x<－2.‎ 设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.‎ 要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间.‎ ‎∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).‎ 答案 D ‎4.(2018·聊城模拟)函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )‎ A. B.－ C.－2 D.2‎ 解析 易知f(x)在上是减函数，‎ ‎∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.‎ 答案 A ‎5.如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么a的取值范围是________.‎ 解析 二次函数的对称轴方程为x＝－，‎ 由题意知－≥1，即a≤－2.‎ 答案 (－∞，－2]‎ 考点一 确定函数的单调性(区间)‎ ‎【例1】 (1)(2018·河南中原名校质检)函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调增区间为( )‎ A. B. C.(－2，3) D. 解析 由－x2＋x＋6>0，得－20，x1－1<0，x2－1<0，‎ 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；‎ 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，‎ 即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减；‎ 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增.‎ 规律方法 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).‎ ‎2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.‎ ‎(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.‎ ‎【训练1】 (1)(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )‎ A.y＝ B.y＝cos x C.y＝ln(x＋1) D.y＝2－x 解析 ∵y＝与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)上不具备单调性.∴A，B，C不满足题意.只有y＝2－x＝在(－1，1)上是减函数.‎ 答案 D ‎(2)(一题多解)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明.‎ 证明 f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数.‎ 证明如下：‎ 法一 设x1，x2是任意两个正数，且00，即f(x1)>f(x2)，‎ 所以函数f(x)在(0，]上是减函数.‎ 当≤x1a，又x1－x2<0，‎ 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上为增函数.‎ 法二 f′(x)＝1－，令f′(x)>0，则1－>0，‎ 解得x>或x<－(舍).‎ 令f′(x)<0，则1－<0，解得－0，∴00，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )‎ A. B. C.2 D.4‎ 解析 (1)∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，‎ ‎∴f(f(－3))＝f(1)＝0，‎ 当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0；‎ 当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.‎ ‎∴f(x)的最小值为2－3.‎ ‎(2)f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是单调函数，‎ 所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6，‎ 则a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，‎ 即(a－2)(a＋3)＝0，又a>0，所以a＝2.‎ 答案 (1)0 2－3 (2)C 规律方法 求函数最值的四种常用方法 ‎(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.‎ ‎(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.‎ ‎(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.‎ ‎(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.‎ ‎【训练2】 (1)(2016·北京卷)数f(x)＝(x≥2)的最大值为________.‎ ‎(2)(一题多解)(2018·石家庄模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.‎ 解析 (1)易得f(x)＝＝1＋，‎ 当x≥2时，x－1>0，易知f(x)在[2，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝2.‎ ‎ (2)法一 在同一坐标系中，‎ 作函数f(x)，g(x)图象，‎ 依题意，h(x)的图象如图所示.‎ 易知点A(2，1)为图象的最高点，‎ 因此h(x)的最大值为h(2)＝1.‎ 法二 依题意，h(x)＝ 当02时，h(x)＝3－x是减函数，‎ 所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.‎ 答案 (1)2 (2)1‎ 考点三 函数单调性的应用(多维探究)‎ 命题角度1 比较函数值或自变量的大小 ‎【例3－1】 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )‎ A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 解析 由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象本身关于直线x＝1对称，‎ 所以a＝f ＝f .‎ 当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.‎ 答案 D 命题角度2 求解函数不等式 ‎【例3－2】 (2018·包头模拟)设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是( )‎ A.(－∞，1] B.(－∞，2] ‎ C.[2，6] D.[2，＋∞)‎ 解析 易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，‎ ‎∵f(a＋1)≥f(2a－1)，‎ ‎∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.‎ 故实数a的取值范围是(－∞，2].‎ 答案 B 命题角度3 求参数的值或取值范围 ‎【例3－3】 已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________.‎ 解析 对任意x1≠x2，都有>0，‎ 所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.‎ 所以解得≤a<2.‎ 故实数a的取值范围是.‎ 答案 规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.‎ ‎2.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.‎ ‎【训练3】 (1)(2018·安徽六安一中月考)已知函数f(x)＝(a>0)在(2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围为________.‎ ‎(2)(2016·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________.‎ 解析 (1)∵f(x)＝x＋(a>0)的增区间为(，＋∞)和(－∞，－)，‎ 又f(x)在(2，＋∞)上递增，∴(2，＋∞)⊆(，＋∞)，‎ 则≤2，∴0f(－)＝f()，‎ 因此2|a－1|<＝2，‎ 又y＝2x是增函数，‎ ‎∴|a－1|<，解得0，所以0＝b>0，c＝log2<0，∴f(a)>f(b)>f(c).‎ 答案 B ‎4.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )‎ A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]‎ 解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).‎ ‎∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.‎ 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).‎ 又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，‎ ‎∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.‎ 答案 D ‎5.已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是( )‎ A.(1，＋∞) B.[4，8) C.(4，8) D.(1，8)‎ 解析 由已知可得解得4≤a<8.‎ 答案 B 二、填空题 ‎6.(2018·大连双基测试模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.‎ 解析 由题意知g(x)＝ 函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的减区间是[0，1).‎ 答案 [0，1)‎ ‎7.(2018·石家庄调研)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.‎ 解析 由于y＝在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.‎ 答案 3‎ ‎8.已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________.‎ 解析 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)0，x>0).‎ ‎(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ ‎(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.‎ ‎(1)证明 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，‎ ‎∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，‎ ‎＋∞)上是增函数.‎ ‎(2)解 ∵f(x)在上的值域是，‎ 又由(1)得f(x)在上是单调增函数，‎ ‎∴f ＝，f(2)＝2，易知a＝.‎ ‎10.(2018·成都七中调研)已知函数f(x)＝a－.‎ ‎(1)求f(0)；‎ ‎(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；‎ ‎(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)0，2x2＋1>0.‎ ‎∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，试确定a的取值范围.‎ 解 (1)由x＋－2＞0，得＞0，‎ 当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，‎ 当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，‎ 当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}.‎ ‎(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，‎ ‎∴g′(x)＝1－＝>0.‎ 因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.‎ 则f(x)min＝f(2)＝lg.‎ ‎(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.‎ 即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.‎ ‎∴a>3x－x2.‎ 令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).‎ 由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴h(x)max＝h(2)＝2.‎ 故a>2时，恒有f(x)>0.‎ 因此实数a的取值范围为(2，＋∞).‎