高中数学选修2-2课件1_6 42页

1.6 微积分基本定理 问题 引航 1. 微积分基本定理的内容是什么 ? 2. 定积分的取值符号有哪些 ? 1. 微积分基本定理 (1) 内容：如果 f(x) 是区间 [a ， b] 上的 _____ 函数，并且 F′(x)=f(x) ，那么 f(x)dx=__________. 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做 ___________________. (2) 表示：为了方便，常常把 F(b)-F(a) 记成 _____ ， 即 f(x)dx=_____=__________. 连续 F(b)-F(a) 牛顿 — 莱布尼茨公式 F(b)-F(a) 2. 定积分的符号 由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正 值也可能取 _____ ，还可能是 __. (1) 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取 ___ 值， 且等于曲边梯形的 _____.( 如图 1) (2) 当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取 ___ 值， 且等于曲边梯形的 _____________.( 如图 2) 负值 0 正 面积 负 面积的相反数 (3) 当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯 形面积时，定积分的值为 __ ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形 面积 _____ 位于 x 轴下方的曲边梯形面积 .( 如图 3) 0 减去 1. 判一判 ( 正确的打 “ √ ” ，错误的打 “ × ” ) (1) 微积分基本定理中，被积函数 f(x) 是原函数 F(x) 的导数 .( 　　 ) (2) 应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为 0.( 　　 ) (3) 应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数 .( 　　 ) 【 解析 】 (1) 正确 . 由微积分基本定理知，被积函数 f(x) 是原函数 F(x) 的导数 . (2) 正确 . 应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为 0. (3) 正确 . 应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数 . 否则所求积分值错误 . 答案： (1)√ (2)√ (3)√ 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) sinxdx=__________. (2) 3x 2 dx__________. (3) (2x-1)dx=2 ，则 a=__________. 【 解析 】 2.(1) sin xdx= -cos x = - ［ cos 1-cos(-1) ］ =0. 答案： 0 (2) 3x 2 dx=x 3 =1 3 -(-1) 3 =2. 答案： 2 (3) (2x-1)dx=(x 2 -x) =a 2 -a=2 ， 解得 a=2 或 a= -1( 不合题意舍去 ) ， 故 a=2. 答案： 2 【 要点探究 】 知识点 微积分基本定理 1. 应用微积分基本定理求定积分的注意事项 (1) 微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法 —— 转化为计算函数 F(x) 在积分区间上的增量 . (2) 用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足 F′(x)=f(x) 的函数 F(x) 再计算 F(b)-F(a). (3) 利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分 . 2. 常见函数的定积分公式 (1) Cdx=Cx (C 为常数 ). (2) x n dx= x n+1 (n≠-1). (3) sin xdx=-cos x . (4) cos xdx=sin x . (5) dx=ln x (b ＞ a ＞ 0). (6) e x dx=e x . (7) a x dx= (a ＞ 0 且 a≠1). 【 微思考 】 (1) 如果 f(x)dx= g(x)dx ，那么是否一定有 f(x)=g(x)? 请举例说明 . 提示： 不一定，例如：当 f(x)=2x ， g(x)=3x 2 时， 2xdx= 3x 2 dx ，但 f(x)≠g(x). (2)“ 因为被积函数 f(x) 的原函数不唯一，所以 f(x)dx 也不唯一 .” 这种说法正确吗？为什么？ 提示： 这种说法不正确，虽然被积函数的原函数不唯一，但积分值是原函数在区间端点值的差，差值是唯一确定的 . 即积分值是确定的 . 【 即时练 】 1. 若 a= (x-2)dx ，则被积函数的原函数为 ( ) A.f(x)=x-2 B.f(x)= x-2+C C.f(x)= x 2 -2x+C D.f(x)=x 2 -2x 2. 下列积分值等于 1 的是 ( ) A. xdx B. (x+1)dx C. dx D. 1dx 【 解析 】 1. 选 C. 因为 ( x 2 -2x+C′)= x-2 ， 所以 (x-2)dx 中被积函数的原函数为 f(x)= x 2 -2x+C. 2. 选 D. xdx= x 2 = ， (x+1)dx=( x 2 +x) = dx= x = ， 1dx=x =1. 【 题型示范 】 类型一 定积分求法 【 典例 1】 (1)(2014· 陕西高考 ) 定积分　 (2x+e x )dx 的值 为 ( ) A.e+2 　　　 B.e+1 　　　 C.e 　　　 D.e-1 (2)f(x)= 求 f(x)dx. 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中的被积函数的原函数是什么 ? 2. 题 (2) 中求 f(x)dx 需要分成哪几段？ 【 探究提示 】 1. 原函数为 f(x)=x 2 +e x . 2. 需要分成两段，一段是 (1+2x)dx ，另一段是 x 2 dx. 【 自主解答 】 (1) 选 C. 　 (2x+e x )dx=(x 2 +e x ) 　 =1+e-1 =e. (2) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx = (1+2x)dx+ x 2 dx=(x+x 2 ) + x 3 =1+1+ (8-1)= 【 方法技巧 】 1. 由微积分基本定理求定积分的步骤 当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数 F(x) ，再计算定积分，具体步骤如下 . 第一步：求被积函数 f(x) 的一个原函数 F(x) ； 第二步：计算函数的增量 F(b)-F(a). 2. 分段函数的定积分的求法 (1) 由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质 (3) ，转化为各区间上定积分的和计算 . (2) 当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算 . 【 变式训练 】 1. (e x +2x)dx 等于 ( ) A.1 B.e-1 C.e D.e+1 2. 计算定积分 (x 2 +sin x)dx=______. 【 解析 】 1. 选 C. 因为被积函数为 e x +2x 的原函数为 e x +x 2 ， 所以 (e x +2x)dx=(e x +x 2 ) =(e 1 +1 2 )-(e 0 +0)=e. 2. (x 2 +sin x)dx=( x 3 -cos x) = 答案： 【 补偿训练 】 (x+cos x)dx=______. 【 解析 】 因为 ( x 2 +sin x)′=x+cos x ， 所以 (x+cosx)dx ， =( x 2 +sin x) =2. 答案： 2 类型二 微积分基本定理的综合应用 【 典例 2】 (1) 已知 x∈(0 ， 1 ］， f(x)= (1-2x+2t)dt ，则 f(x) 的值域是 _________. (2) 已知 ［ (3ax+1)(x+b) ］ dx=0 ， a ， b∈R ，试求 ab 的取值范围 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中的被积函数和原函数分别是什么？ 2. 如何处理含有参数的定积分问题？ 【 探究提示 】 1. 被积函数为 g(t)=2t+1-2x ，原函数为 G(t)=t 2 +(1-2x)t. 2. 将参数看成常数求定积分，然后根据题意进行转化，在本题中可将问题转化为不等式问题或方程根的问题 . 【 自主解答 】 (1) (1-2x+2t)dt= ［ (1-2x)t+t 2 ］ =2-2x 即 f(x)=-2x+2 ， 因为 x∈(0 ， 1 ］，所以 f(1)≤f(x)