2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§4-2 三角恒等变换（试题部分） 8页

‎§4.2　三角恒等变换 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 两角和与 差的三 角公式 ‎①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;③能利用两角和与差的三角公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们的内在联系;④能正用、逆用或变形用公式进行求值、化简和证明 ‎2019课标全国Ⅱ,11,5分 二倍角公式的应用 同角三角函数的基本关系 ‎★★★‎ ‎2018课标全国Ⅲ,4,5分 二倍角公式的应用 ‎—‎ ‎2018课标全国Ⅱ,15,5分 两角差的正切公式 ‎—‎ ‎2017课标全国Ⅰ,15,5分 两角差的余弦公式 同角三角函数的基本关系 ‎2016课标全国Ⅰ,14,5分 两角和的正弦公式以 及两角差的正切公式 同角三角函数的基本关系 分析解读 从近几年的高考试题来看,两角和与差的三角公式及二倍角公式一直是高考命题的热点,全面考查两角和与差及二倍角公式的综合应用:1.以两角和与差的三角公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.与两角和与差的三角公式及二倍角公式有关的综合问题一般先把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式,再讨论三角函数的性质.常以解答题的形式出现,与解三角形结合在一起考查,分值约为12分,属于中档题.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点　两角和与差的三角公式 ‎1.(2020届山西新绛中学8月月考,5)cos 105°-cos 15°=(　　)‎ A.‎2‎‎2‎ B.-‎2‎‎2‎ C.‎6‎‎2‎ D.-‎‎6‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2020届西南地区名师联盟8月联考,10)已知角θ的顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合,若cos θ‎2‎=‎3‎‎5‎,sin θ‎2‎=‎4‎‎5‎,则角θ的终边落在直线(　　)‎ A.24x-7y=0 B.24x+7y=0‎ C.7x+24y=0 D.7x-24y=0‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019皖中联考,3)已知sin α=-‎4‎‎5‎,且α是第四象限角,则sinπ‎4‎‎-α的值为(　　)‎ A.‎5‎‎2‎‎10‎ B.‎3‎‎2‎‎5‎ C.‎7‎‎2‎‎10‎ D.‎‎4‎‎2‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎4.(2018河南新乡一模,5)已知函数f(x)=tan(φ-x)π‎2‎‎<φ<‎‎3π‎2‎的图象经过原点,若f(-α)=‎1‎‎2‎,则fα+‎π‎4‎=(　　)‎ A.-3 B.-‎1‎‎3‎ C.3 D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎5.(2018吉林第一次调研,7)已知α,β为锐角,且cos α=‎5‎‎13‎,cos(α+β)=-‎4‎‎5‎,则cos β=(　　)‎ A.-‎56‎‎65‎ B.-‎16‎‎65‎ C.‎16‎‎65‎ D.‎‎56‎‎65‎ 答案　C　‎ ‎6.(2020届四川南充高级中学摸底,14)函数y=cos(x+10°)+cos(x+70°)的最小值是　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　三角函数式的化简方法 ‎1.(2020届河南开封调研,6)若tan π‎12‎cos ‎5π‎12‎=sin ‎5π‎12‎-msin π‎12‎,则实数m的值为(　　)‎ A.2‎3‎ B.‎3‎ C.2 D.3‎ 答案　A　‎ ‎2.化简‎2-‎‎2+‎‎2+2cosα(3π<α<4π)=　　　　. ‎ 答案　2cos ‎α‎8‎ ‎3.化简:‎(1+sinθ+cosθ)‎sinθ‎2‎-cosθ‎2‎‎2+2cosθ(0<θ<π)=　　　　. ‎ 答案　-cos θ 方法2　三角函数式的求值方法 ‎1.(2020届河南、河北两省重点中学摸底考试,4)已知α∈‎0,‎π‎2‎,sin α=‎10‎‎10‎,则tanα+‎‎3π‎4‎=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.2 C.-2 D.-‎‎1‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2020届吉林第一中学第一次调研考试,5)已知sinπ‎3‎‎-x=‎3‎‎5‎,则cosx+‎π‎6‎=(　　)‎ A.-‎3‎‎5‎ B.-‎4‎‎5‎ C.‎4‎‎5‎ D.‎‎3‎‎5‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019湖北武汉重点中学调研,10)‎2‎‎2‎cos 375°+‎2‎‎2‎sin 375°的值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.-‎3‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎4.(2018湖北咸宁重点高中联考,9)已知tan(α+β)=2,tan β=3,则sin 2α=(　　)‎ A.‎7‎‎25‎ B.‎14‎‎25‎ C.-‎7‎‎25‎ D.-‎‎14‎‎25‎ 答案　C　‎ ‎5.(2018山东济南第一次模拟,5)若sinA+‎π‎4‎=‎7‎‎2‎‎10‎,A∈π‎4‎‎,π,则sin A的值为(　　)‎ A.‎3‎‎5‎ B.‎4‎‎5‎ C.‎3‎‎5‎或‎4‎‎5‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案　B　‎ ‎6.(2020届河南焦作期初定位考试,13)tan ‎5π‎12‎=　　　　. ‎ 答案　2+‎‎3‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点　两角和与差的三角公式 ‎1.(2019课标全国Ⅱ,11,5分)已知α∈‎0,‎π‎2‎,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎5‎‎5‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎2‎‎5‎‎5‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018课标全国Ⅲ,4,5分)若sin α=‎1‎‎3‎,则cos 2α=(　　)‎ A.‎8‎‎9‎ B.‎7‎‎9‎ C.-‎7‎‎9‎ D.-‎‎8‎‎9‎ 答案　B　‎ ‎3.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)若tan θ=-‎1‎‎3‎,则cos 2θ=(　　)‎ A.-‎4‎‎5‎ B.-‎1‎‎5‎ C.‎1‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎ 答案　D　‎ ‎4.(2018课标全国Ⅱ,15,5分)已知tanα-‎‎5π‎4‎=‎1‎‎5‎,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎5.(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知α∈‎0,‎π‎2‎,tan α=2,则cosα-‎π‎4‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎10‎‎10‎ ‎6.(2016课标全国Ⅰ,14,5分)已知θ是第四象限角,且sinθ+‎π‎4‎=‎3‎‎5‎,则tanθ-‎π‎4‎=　　　　. ‎ 答案　-‎‎4‎‎3‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点　两角和与差的三角公式 ‎1.(2019江苏,13,5分)已知tanαtanα+‎π‎4‎=-‎2‎‎3‎,则sin‎2α+‎π‎4‎的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎10‎ ‎2.(2016浙江,11,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　. ‎ 答案　‎2‎;1‎ C组　教师专用题组 考点　两角和与差的三角公式 ‎1.(2017山东,4,5分)已知cos x=‎3‎‎4‎,则cos 2x=(　　)‎ A.-‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎4‎ C.-‎1‎‎8‎ D.‎‎1‎‎8‎ 答案　D　‎ ‎2.(2015重庆,6,5分)若tan α=‎1‎‎3‎,tan(α+β)=‎1‎‎2‎,则tan β=(　　)‎ A.‎1‎‎7‎ B.‎1‎‎6‎ C.‎5‎‎7‎ D.‎‎5‎‎6‎ 答案　A　‎ ‎3.(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈‎0,‎π‎2‎,β∈‎0,‎π‎2‎,且tan α=‎1+sinβcosβ,则(　　)‎ A.3α-β=π‎2‎ B.3α+β=π‎2‎ C.2α-β=π‎2‎ D.2α+β=‎π‎2‎ 答案　C　‎ ‎4.(2013课标Ⅱ,6,5分)已知sin 2α=‎2‎‎3‎,则cos2α+‎π‎4‎=(　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎3‎ C .‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎5.(2010课标全国,10,5分)若cos α=-‎4‎‎5‎,α是第三象限的角,则sinα+‎π‎4‎=(　　)‎ A.-‎7‎‎2‎‎10‎ B.‎7‎‎2‎‎10‎ C.-‎2‎‎10‎ D.‎‎2‎‎10‎ 答案　A　‎ ‎6.(2017江苏,5,5分)若tanα-‎π‎4‎=‎1‎‎6‎,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎5‎ ‎7.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=‎4‎‎3‎,cos(α+β)=-‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求cos 2α的值;‎ ‎(2)求tan(α-β)的值.‎ 答案　(1)因为tan α=sinαcosα=‎4‎‎3‎,‎ 所以sin α=‎4‎‎3‎cos α.‎ 因为sin2α+cos2α=1,‎ 所以cos2α=‎9‎‎25‎,‎ 所以cos 2α=2cos2α-1=-‎7‎‎25‎.‎ ‎(2)因为α,β为锐角,‎ 所以α+β∈(0,π).‎ 又因为cos(α+β)=-‎5‎‎5‎,‎ 所以sin(α+β)=‎1-cos‎2‎(α+β)‎=‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 因此tan(α+β)=-2.‎ 因为tan α=‎4‎‎3‎,‎ 所以tan 2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α=-‎24‎‎7‎.‎ 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)‎‎1+tan2αtan(α+β)‎=-‎2‎‎11‎.‎ ‎8.(2015广东,16,12分)已知tan α=2.‎ ‎(1)求tanα+‎π‎4‎的值;‎ ‎(2)求sin2αsin‎2‎α+sinαcosα-cos2α-1‎的值.‎ 答案　(1)因为tan α=2,‎ 所以tanα+‎π‎4‎=tanα+tanπ‎4‎‎1-tanα·tanπ‎4‎=‎2+1‎‎1-2×1‎=-3.‎ ‎(2)因为tan α=2,所以sin2αsin‎2‎α+sinαcosα-cos2α-1‎ ‎=‎‎2sinαcosαsin‎2‎α+sinαcosα-(cos‎2‎α-sin‎2‎α)-(sin‎2‎α+cos‎2‎α)‎ ‎=‎2sinαcosαsin‎2‎α+sinαcosα-2cos‎2‎α=‎2tanαtan‎2‎α+tanα-2‎=‎2×2‎‎2‎‎2‎‎+2-2‎=1.‎ ‎9.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A.‎ ‎(1)证明:sin B=cos A;‎ ‎(2)若sin C-sin Acos B=‎3‎‎4‎,且B为钝角,求A,B,C.‎ 答案　(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A.‎ ‎(2)因为sin C-sin Acos B ‎=sin[180°-(A+B)]-sin Acos B ‎=sin(A+B)-sin Acos B ‎=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B ‎=cos Asin B,‎ 所以cos Asin B=‎3‎‎4‎.由(1)知sin B=cos A,因此sin2B=‎3‎‎4‎.‎ 又B为钝角,所以sin B=‎3‎‎2‎,故B=120°.‎ 由cos A=sin B=‎3‎‎2‎知A=30°.‎ 从而C=180°-(A+B)=30°.‎ 综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:50分钟　分值:70分 一、选择题(每小题5分,共30分)‎ ‎1.(2020届辽宁本溪高级中学开学检测,6)已知实数a=cos224°-sin224°,b=1-2sin225°,c=‎2tan23°‎‎1-tan‎2‎23°‎,则a,b,c的大小关系为(　　)‎ A.b>a>c B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a 答案　B　‎ ‎2.(2020届河南新乡调研,9)已知α∈‎-π‎4‎,‎π‎4‎,sin 2α=-‎24‎‎25‎,则tan α=(　　)‎ A.-‎3‎‎4‎ B.-‎3‎‎4‎或-‎4‎‎3‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎3‎‎4‎或-‎‎4‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎3.(2020届安徽黄山摸底,7)若当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=(　　)‎ A.-‎5‎‎5‎ B.-‎2‎‎5‎‎5‎ C.‎2‎‎5‎‎5‎ D.‎‎5‎‎5‎ 答案　B　‎ ‎4.(2020届河南尖子生8月联考,10)当x∈‎0,‎π‎2‎时,不等式m