河北省张家口市第一中学（实验班）2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题 18页

张家口市第一中学2019-2020学年级高二12月考试 数学试卷(普实班)‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1.某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为的样本，若从丙车间抽取6件，则的值为（ ）‎ A. 18 B. ‎20 ‎C. 24 D. 26‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由分层抽样的定义可得：，解得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎2.若，则“”是 “”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.‎ ‎【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.‎ ‎【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.‎ ‎3.‎ ‎《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.‎ 详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知，可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有3种，则田忌马获胜的概率为.本题选择A选项.‎ 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.‎ ‎4.随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：‎ 餐费（元）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎10‎ ‎20‎ ‎20‎ 这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )‎ A. 7.2‎元，0.56元2 B. 7.2元，元 C. 7元，0.6元2 D. 7元，元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用平均数公式与方差公式求解即可.‎ ‎【详解】先计算这50个学生午餐费的平均值是，‎ 所以方差是,故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用，属于基础题.‎ ‎ 样本数据的算术平均数公式：；样本方差公式：.‎ ‎5.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据题意，方程表示焦点在x轴上的椭圆，‎ 则有，‎ 解可得2＜m＜6；‎ 故答案为D．‎ ‎6.已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知设则由定义得 在中，由余弦定理得，故选A．‎ 考点：1.双曲线的几何性质（焦点三角形问题）；2.余弦定理．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.已知抛物线，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，直线的方程为，联立直线与抛物线的方程可得：‎ ‎，解之得：，，所以，而原点到直线的距离为，所以，故应选．‎ 考点：1、抛物线的简单几何性质；2、直线与抛物线的相交问题；‎ ‎8.已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】此方程表示点到点的距离与到点的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点的轨迹是双曲线的右支，‎ ‎，的轨迹方程是，故选C.‎ ‎9.已知非零向量不共线，如果，，，则四点A，B，C，D（ ）‎ A. 一定共线 B. 恰是空间四边形的四个顶点 C. 一定共面 D. 可能不共面 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过已知向量关系，求出，说明四点A，B，C，D共面.‎ ‎【详解】非零向量不共线， ，，,‎ ‎ ,‎ ‎,‎ 由平面向量基本定理可知，四点A，B，C，D共面.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，平面向量的基本运算，属于中档题.‎ ‎10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线C所围成“心形”区域的面积小于3.‎ 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.‎ ‎【详解】由得,,,‎ 所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.‎ 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.‎ 如图所示,易知,‎ 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.‎ ‎11.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B‎1C1D1的对角线BD1上，记，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，∠APC为钝角等价于，即,从而可求λ的取值范围.‎ ‎【详解】由题设，建立如图所示空间直角坐标系：‎ 则有，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 显然∠APC不是平角，‎ 所以∠APC为钝角等价于，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 得，‎ 因此，λ的取值范围是,‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了利用空间向量求向量的夹角，解一元二次不等式，属于中档题.‎ ‎12.设f（x）在x处可导，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的定义即可求解.‎ ‎【详解】在处可导，‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.若向量1，，且，则______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设（2λ，λ，﹣2λ），则||1，由此能求出结果．‎ ‎【详解】∵向量（2，1，﹣2），∥且||＝1，‎ ‎∴设（2λ，λ，﹣2λ），‎ 则||1，‎ 解得，‎ ‎∴（）或（，，）．‎ 故答案为（）或（，，）．‎ ‎【点睛】本题考查向量的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎14.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．‎ ‎【答案】 (1). 5 (2). 8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．‎ ‎【详解】根据茎叶图中的数据，得：‎ ‎∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；‎ 又∵乙组数据的平均数为16.8，‎ ‎∴16.8，‎ 解得：y＝8；‎ 综上，x、y的值分别为5、8．‎ 故答案为(1). 5 (2). 8‎ ‎【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．‎ ‎15.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 由题意得，故，，‎ 又，所以 ‎【考点】椭圆离心率 ‎ ‎【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.函数y＝x3－ax2＋x－‎2a在R上不是单调函数，，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数导数，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数与x轴有两个交点或 考点：函数单调性 点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况 三、解答题（本大题共6小题，共72分）‎ ‎17.已知命题p：“曲线C1：=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线C2：表示双曲线”．‎ ‎（1）若命题p是真命题，求m的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）-4＜m＜-2，或m＞4；（2）-4≤t≤-3或t≥4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）方程表示焦点在轴上的椭圆需满足，解不等式即可求解（2）化简命题q可得t＜m＜t+1，利用p是q的必要不充分条件可知{m|t＜m＜t+1}{m|-4＜m＜-2，或m＞4}，建立不等式求解即可.‎ ‎【详解】（1）若p为真：则，解得-4＜m＜-2，或m＞4；‎ ‎（2）若q为真，则（m-t)(m-t-1)＜0，即t＜m＜t+1，∵p是q的必要不充分条件，‎ 则{m|t＜m＜t+1}{m|-4＜m＜-2，或m＞4}，‎ 即或t≥4，解得-4≤t≤-3或t≥4.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单几何性质，必要不充分条件，真子集，属于中档题.‎ ‎18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：‎ ‎(1)求频率直方图中a的值；‎ ‎(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；‎ ‎(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．‎ ‎【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）据直方图知组距=10，‎ 由，解得 ‎（2）成绩落在中的学生人数为 成绩落在中的学生人数为 ‎（3）记成绩落在中的2人为，成绩落在中的3人为、、，‎ 则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：‎ 其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：‎ 故所求概率为 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎19.如图，已知三棱锥D－ABC中，二面角A－BC－D的大小为90°，且∠BDC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，．‎ ‎（1）求证：AC⊥平面BCD；‎ ‎（2）二面角B－AC－D为45°，且E为线段BC的中点，求直线AE与平面ACD所成的角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1））△ABC中,根据条件利用余弦定理求出AC,根据勾股定理证明垂直即可（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，利用直线与平面所成角公式计算即可.‎ ‎【详解】（1）△ABC中，由，‎ 解得，从而AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC；又二面角A-BC-D的大小为90°，即平面BCD⊥平面ABC，‎ 而平面BCD∩平面ABC＝BC，AC平面ABC，故AC⊥平面BCD；‎ ‎（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 故平面ABC的法向量＝(0，0，1)，‎ 设平面ACD的法向量＝(1，m，n)，由，易知m＝0，‎ 从而＝(1，0，n)，，‎ 解得n＝±1，结合实际图形，可知n取1时，二面角为135°，应舍去，‎ 所以＝(1，0，-1)，‎ 易知，B(3，0，0)，故，则，‎ 设直线AE与平面ACD所成的角为θ，‎ 则，即直线AE与平面ABC所成的角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，利用空间向量求直线与平面所成的角，二面角，属于中档题.‎ ‎20.若直线l为曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x3的公切线，求直线l的斜率.‎ ‎【答案】0或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别设l与C1, C2的切点分别为（a，b），（m，n），利用导数分别求出切线方程，由l为公切线可知两切线重合，即可求解.‎ ‎【详解】曲线C1：y=x2，则y′=2x，曲线C2：y=x3，则y′=3x2，‎ 直线l与曲线C1的切点坐标为（a，b），则切线方程为y=2ax-a2，‎ 直线l与曲线C2的切点坐标为（m，n），则切线方程为y=‎3m2‎x‎-2m3‎，‎ ‎∴‎2a=‎3m2‎，a2=‎2m3‎，∴m=0或m=，‎ ‎∴直线l的斜率为0或 ‎【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆过点，且离心率 ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）设直交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 点G在以AB为直径的圆外 ‎【解析】‎ 解法一：（Ⅰ）由已知得 解得 所以椭圆E的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设点AB中点为．‎ 由 所以从而.‎ 所以.‎ ‎,‎ 故 所以，故G在以AB为直径的圆外．‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）设点，则 由所以 从而 所以不共线，所以锐角.‎ 故点G在以AB为直径的圆外．‎ 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎22.已知抛物线C；过点．‎ 求抛物线C的方程；‎ 过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）．（2）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设过点P（3，﹣1）的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1•k2的值．‎ ‎【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为． ‎ ‎（2）设，，直线MN的方程为，‎ 代入抛物线方程得． ‎ 所以，，． ‎ 所以,‎ 所以，是定值．‎ ‎【点睛】求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎ ‎