2021高考数学一轮复习课后限时集训56圆锥曲线中的定点与定值问题文北师大版2 3页

课后限时集训56‎ 圆锥曲线中的定点与定值问题 建议用时：45分钟 ‎1．(2019·威海模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为－，证明直线MN过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎[解](1)设Q(x0,4)，由抛物线的定义，得|QF|＝x0＋，又|QF|＝2|PQ|，∴2x0＝x0＋，解得x0＝，‎ 将点Q代入抛物线C的方程，得p＝4.‎ ‎(2)由(1)知抛物线C的方程为y2＝8x，‎ ‎∴点T的坐标为，‎ 设直线MN的方程为x＝my＋n，点M，N，‎ 由得y2－8my－8n＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，‎ ‎∴kMT＋kNT＝＋＝＋ ‎＝＝＝－，‎ 解得n＝m－1，‎ ‎∴直线MN的方程为x＋1＝m(y＋1)，过定点(－1，－1)．‎ ‎2．(2019·郑州模拟)已知F是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，点M是抛物线上的定点，且＝(4,0)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程．‎ ‎(2)直线AB与抛物线C分别相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且|x2－x1|＝3，直线l与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问△ABN的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ - 3 -‎ ‎[解](1)设M(x0，y0)，由题知F，‎ 所以＝＝(4,0)，‎ 所以则 将其代入x2＝2py(p＞0)中，得16＝p2，解得p＝4或p＝－4(舍去)，‎ 所以抛物线C的方程为x2＝8y.‎ ‎(2)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋b.‎ 联立整理得x2－8kx－8b＝0，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝8k2＋2b，‎ 设AB的中点为Q，则点Q的坐标为(4k,4k2＋b)，‎ 由条件设切线的方程为y＝kx＋t(t≠b)，‎ 联立整理得x2－8kx－8t＝0.‎ 因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝64k2＋32t＝0，所以t＝－2k2.‎ 则x2－8kx＋16k2＝0，解得x＝4k，所以y＝2k2.‎ 所以切点N的坐标为(4k,2k2)．又点Q的坐标为(4k,4k2＋b)．‎ 所以NQ⊥x轴，所以|NQ|＝4k2＋b－2k2＝2k2＋b，‎ 因为|x2－x1|＝3，‎ ‎(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝64k2＋32b，‎ 所以2k2＋b＝.‎ 所以S△ABN＝|NQ|·|x2－x1|＝(2k2＋b)·|x2－x1|＝，所以△ABN的面积为定值，且定值为.‎ ‎3．(2019·黄山模拟)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，设P，Q分别是椭圆C的上、下顶点，且四边形PF1QF2的面积为2，其内切圆周长为π.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当b＞c时，A，B为椭圆C上的动点，且PA⊥PB，试问：直线AB是否恒过一定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎[解](1)依题意，四边形PF1QF2的面积为2，‎ 则4××b×c＝2，即bc＝，‎ 四边形PF1QF2的内切圆周长为π，设内切圆半径为r.‎ 由2πr＝π，得r＝，‎ - 3 -‎ 由bc＝ar＝，得a＝2，‎ 又a2＝b2＋c2＝4，且bc＝，‎ 所以或 所以椭圆C的方程为＋＝1或＋y2＝1.‎ ‎(2)因为b＞c，所以椭圆C的方程为＋＝1，则P(0，)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，‎ 联立消去y，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＞0(*)，‎ 由PA⊥PB，可得·＝0，即(x1－0)(x2－0)＋(y1－)(y2－)＝0，‎ 即x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋3＝0，又y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，‎ 所以＋－＋m2＋－2m＋3＝0，‎ 整理得＝0，‎ 解得m＝(舍去)或m＝－.‎ 因为m＝－满足(*)式，‎ 所以直线AB的方程为y＝kx－.‎ 故直线AB恒过定点.‎ - 3 -‎