内蒙古呼和浩特市开来中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 15页

开来中学2018-2019学年度第二学期期末考试 高二年级理科数学试卷 时间120分 分值150分 注意事项：‎ ‎1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】，解得，故，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.已知集合满足，则集合的个数是（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用列举法，求得集合的所有可能，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】由于集合满足，所以集合的可能取值为，共种可能.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题.‎ ‎3.化简的结果是（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将根式化为指数，然后利用指数运算化简所求表达式.‎ ‎【详解】依题意，.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查根式与指数运算，属于基础题.‎ ‎4.已知，，若包含于，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，根据是的子集列不等式，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】由解得，所以，由于且包含于，所以，故的取值范围是.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎5.以下说法正确的是（ ）‎ A. 命题“，”的否定是“，”‎ B. 命题“，互为倒数，则”的逆命题为真 C. 命题“若，都是偶数，则是偶数”的否命题为真 D. “”是“”充要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题的知识判断A选项的正确性.写出原命题的逆命题并判断真假性，由此判断B选项的正确性. .写出原命题的否命题并判断真假性，由此判断C选项的正确性.根据充要条件的知识判断D选项的正确性.‎ ‎【详解】对于A选项，原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故否定应是“，”，所以A选项错误.‎ 对于B选项，原命题的逆命题是“若，则互为倒数”，是真命题，故B选项正确.‎ 对于C选项，原命题的否命题为“若不都是偶数，则不是偶数”，当都为奇数时，是偶数，故为假命题.所以C选项错误.‎ 对于D选项，由，所以. “”不是“”的充要条件.故D选项错误.‎ 综上所述可知，B选项正确.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查全称命题的否定、逆命题、否命题以及充要条件等知识，属于基础题.‎ ‎6.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解这两个不等式，然后判断由题设能不能推出结论和由结论能不能推出题设，进而可以判断出正确的选项.‎ ‎【详解】， ，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集.‎ ‎7.函数在上单调递减，且是偶函数，若 ，则 取值范围是（　　）‎ A. （2，+∞） B. （﹣∞，1）∪（2，+∞）‎ C. （1，2） D. （﹣∞，1）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围．‎ ‎【详解】根据题意，函数 满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，‎ 若函数在上单调递减，则在上递增，‎ 所以要使，则有，变形可得，‎ 解可得：或，即的取值范围为；‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题．‎ ‎8. 下列函数为奇函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，令，则 ‎，所以函数为奇函数，故选A．‎ 考点：函数奇偶性的判定．‎ ‎9.函数的单调递增区间为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可．‎ ‎【详解】由可得或，‎ ‎∴函数的定义域为．‎ 设，则在上单调递减，‎ 又函数为减函数，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ ‎∴函数的单调递增区间为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数为增函数；否则函数为减函数．‎ ‎（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为．‎ ‎10.函数在闭区间上有最大值3，最小值为2， 的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题利用数形结合法解决，作出函数的图象，如图所示，当时，最小，最小值是2，当时，，欲使函数在闭区间，上的上有最大值3，最小值2，则实数的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．‎ ‎【详解】解：作出函数的图象，如图所示，‎ 当时，最小，最小值是2，当时，，‎ 函数在闭区间，上上有最大值3，最小值2，‎ 则实数的取值范围是，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．‎ ‎11.已知函数f(x)＝则)等于(　　)‎ A. 4 B. －2‎ C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，则，故选B.‎ ‎12.定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则，，大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试题分析：可知函数周期为，所以在上单调递增，则在单调递减，故有.选C 考点：函数的奇偶性与单调性．‎ ‎【详解】‎ 请在此输入详解！‎ ‎13.已知，，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为所以选C．‎ 考点：比较大小 ‎14.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时， ，则 （　　）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，则函数是周期为8的周期函数，据此可得，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．‎ ‎【详解】根据题意，函数满足，则有，‎ 则函数是周期为8周期函数，则，‎ 又由函数为奇函数，则，‎ 则，即；‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎15.______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数和对数运算，化简所求表达式.‎ ‎【详解】原式.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数和对数运算，属于基础题.‎ ‎16.函数且必过定点___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令x﹣2＝0求得f（2）＝a0+2＝3，可得定点的坐标．‎ ‎【详解】令x﹣2＝0，即x＝2，可得f（2）＝a0+2＝3，‎ 可得函数的图象经过点（2，3），‎ 故答案为（2，3）．‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的图象和特殊点，属于基础题．‎ ‎17.若幂函数为上的增函数，则实数m的值等于______ ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为幂函数得,求出的值，再由幂函数在上是增函数求出满足条件的值.‎ ‎【详解】由幂函数为幂函数，‎ 可得，解得或0，‎ 又幂函数在区间上是增函数， ‎ ‎，‎ 时满足条件，故答案为4.‎ ‎【点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题. 高考对幂函数要求不高，只需掌握简单幂函数的图象与性质即可．‎ ‎18.不等式＜恒成立，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－2,2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的单调性可以得到一元二次不等式恒成立问题，再根据判别式即可求得结果.‎ ‎【详解】由指数函数的性质知y＝x是减函数，‎ 因为＜恒成立，‎ 所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，‎ 所以x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立，‎ 所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0，‎ 即(a－2)(a－2＋4)＜0，‎ 即(a－2)(a＋2)＜0，‎ 故有－2＜a＜2，即a取值范围是(－2,2)．‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式是本题的关键，属基础题.‎ 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）‎ ‎19.集合A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}‎ ‎（1）求A∩B, A∪B ‎（2）（∁RA）∩B．‎ ‎【答案】（1） A∪B={x|-3≤x＜7}；（2）（∁RA）∩B={x|5≤x＜7}‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用数轴进行集合间的交并补运算.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}，‎ ‎∴‎ ‎ A∪B={x|-3≤x＜7}；‎ ‎（2）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}，‎ ‎∴∁RA={x|x＜-3或x≥5}‎ 则（∁RA）∩B={x|5≤x＜7}‎ 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎20.已知，:,: ．‎ ‎（I）若是的充分条件，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围 ‎【答案】（I）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1），是的充分条件，是的子集，所以；（2）由题意可知一真一假，当时，，分别求出真假、假真时的取值范围，最后去并集就可以．‎ 试题解析：‎ ‎（1），∵是的充分条件，∴是的子集，‎ ‎，∴的取值范围是．‎ ‎（2）由题意可知一真一假，当时，，‎ 真假时，由；‎ 假真时，由或．‎ 所以实数的取值范围是．‎ 考点：含有逻辑联结词命题真假性．‎ ‎21.如图是一个二次函数y=f（x）的图象 ‎（1）写出这个二次函数的零点 ‎（2）求这个二次函数解析式 ‎（3）当实数k在何范围内变化时，函数g（x）=f（x）-kx在区间[-2，2]上是单调函数？‎ ‎【答案】（1）零点是-3，1（2）y=-x2-2x+3 （3）k≤-6或k≥2时，g（x）在[-2，2]上是单调函数 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据图象，找函数图象与横轴交点的横坐标即可求得函数的零点；(2)由顶点是可设函数为，再代入即可求得函数的解析式；(3)先化简函数易知图象开口向下，对称轴为,因为是单调函数，利用对称轴在区间的两侧列不等式求解即可.‎ ‎【详解】（1）由图可知，此二次函数的零点是-3，1‎ ‎（2）∵顶点是（-1，4）‎ ‎∴设函数为：y=a（x+1）2+4，‎ ‎∵（-3，0）在图象上 ‎∴a=-1‎ ‎∴函数为y=-x2-2x+3‎ ‎（3）∵g（x）=-x2-2x+3-kx=-x2-（k+2）x+3‎ ‎∴图象开口向下，对称轴为 当，即k≥2时，g（x）在[-2，2]上是减函数 当，即k≤-6时，g（x）在[-2，2]上是增函数 综上所述k≤-6或k≥2时，g（x）在[-2，2]上是单调函数 ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的零点、二次函数的解析式、二次函数的单调性，属于中档题. 二次函数的单调性问题，主要依据二次函数图象的开口方向、对称轴的位置进行分析讨论求解．‎ ‎22.设函数f（x）是增函数，对于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．‎ ‎（1）求f（0）；‎ ‎（2）证明f（x）是奇函数；‎ ‎（3）解不等式f（x2）—f（x）＞f（3x）．‎ ‎【答案】（1）0；（2）见解析；（3）{x|x<0或x>5}‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等的解集即可．‎ 试题解析：（1）令，得，‎ ‎∴‎ 定义域关于原点对称 ‎，得，‎ ‎∴∴是奇函数 ‎，‎ 即 又由已知得：‎ 由函数是增函数，不等式转化为 ‎∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．‎ 考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．‎ ‎【方法点睛】解决抽象函数问题常用方法：1．换元法：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法；‎ ‎2．方程组法：运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题；‎ ‎3‎ ‎．待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；‎ ‎4．赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；‎ ‎5．转化法：通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便；‎ ‎6．递推法：对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解；‎ ‎7．模型法：模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法；应掌握下面常见的特殊模型：‎ ‎23.已知函数是奇函数（）.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）试判断函数在上的单调性，并证明你的结论；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）单调递增，见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数是定义在上的奇函数，由求得的值.‎ ‎（2）由（1）求得的解析式，利用单调性的定义，任取，计算，由此证得在上递增.‎ ‎（3）根据的单调性和奇偶性化简不等式，得到对任意恒成立，利用一元二次不等式恒成立则其判别式为负数列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵是奇函数在原点有定义：‎ ‎∴，‎ ‎∴；经验证满足题意 ‎（2）在上单调递增，证明如下：‎ 设，则：‎ ‎；‎ ‎∵，‎ ‎∴，；‎ ‎∴；‎ ‎∴是上的增函数；‎ ‎（3）由（1）、（2）知，是上的增函数，且是奇函数；‎ ‎∵，‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ 即对任意恒成立；‎ 只需；‎ 解之得；‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于中档题.‎