2019届二轮复习　函数与导数学案（全国通用） 10页

回扣8　函数与导数 ‎1．函数的定义域和值域 ‎(1)求函数定义域的类型和相应方法 ‎①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；‎ ‎②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．‎ ‎(2)常见函数的值域 ‎①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；‎ ‎②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为，当a<0时，值域为；‎ ‎③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．‎ ‎2．函数的奇偶性、周期性 ‎(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．‎ ‎(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．‎ ‎3．关于函数周期性、对称性的结论 ‎(1)函数的周期性 ‎①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；‎ ‎②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；‎ ‎③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．‎ ‎(2)函数图象的对称性 ‎①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，‎ 即f(x)＝f(2a－x)，‎ 则f(x)的图象关于直线x＝a对称；‎ ‎②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，‎ 即f(x)＝－f(2a－x)，‎ 则f(x)的图象关于点(a,0)对称；‎ ‎③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，‎ 则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．‎ ‎4．函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．‎ ‎①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，‎ 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；‎ ‎(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．‎ ‎②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．‎ ‎5．函数图象的基本变换 ‎(1)平移变换 y＝f(x)y＝f(x－h)，‎ y＝f(x)y＝f(x)＋k.‎ ‎(2)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ωx)，‎ y＝f(x)y＝Af(x)．‎ ‎(3)对称变换 y＝f(x)y＝－f(x)，‎ y＝f(x)y＝f(－x)，‎ y＝f(x)y＝－f(－x)．‎ ‎6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 ‎(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；‎ y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点．‎ ‎(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；‎ 当00的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．‎ ‎(2)由函数的单调性求参数的取值范围 ‎①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；‎ ‎②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；‎ ‎③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．‎ ‎10．利用导数研究函数的极值与最值 ‎(1)求函数的极值的一般步骤 ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②解方程f′(x)＝0；‎ ‎③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：‎ 若左正右负，则x0为极大值点；‎ 若左负右正，则x0为极小值点；‎ 若不变号，则x0不是极值点．‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 ‎①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；‎ ‎②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ ‎1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．‎ ‎2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．‎ ‎3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．‎ ‎4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．‎ ‎5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性容易忽视字母a的取值讨论，忽视ax ‎>0；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．‎ ‎6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．‎ ‎7．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)>0(<0)的解集为(a，b)．‎ ‎8．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．‎ ‎1．若曲线f(x)＝x4－4x在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为(　　)‎ A．(－1,2) B．(1，－3)‎ C．(1,0) D．(1,5)‎ 答案　B 解析　对f(x)＝x4－4x，求导得f′(x)＝4x3－4，由在点A处的切线平行于x轴，可得4x3－4＝0，解得x＝1，即点A的坐标为(1，－3)．‎ ‎2．若函数f(x)＝则f(－3)的值为(　　)‎ A．5 B．－1 C．－7 D．2‎ 答案　D 解析　依题意，f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)‎ ‎＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，故选D.‎ ‎3．若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为(　　)‎ 答案　C 解析　根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f′(x)＝0的点可以排除B，故选C.‎ ‎4．(2016·全国Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为(　　)‎ 答案　D 解析　f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；当x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈时，f′(x)<×4－e0＝0，因此f(x)在上单调递减，排除C，故选D.‎ ‎5．函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知，f(0)＝－2<0，f＝－1>0，f＝－2<0，‎ 根据函数零点的判定定理知，零点所在的区间为，故选C.‎ ‎6．已知函数f(x)为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f(log2m)时，f＝f，则f(6)等于(　　)‎ A．－2 B．－1 C．0 D．2‎ 答案　D 解析　当x>时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x<0时，f(x)＝x3－1且当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.‎ ‎9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　)‎ A．11或18 B．11‎ C．18 D．17或18‎ 答案　C 解析　∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，‎ 又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，‎ 即解得或 而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．‎ ‎∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.‎ ‎10．已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，当x>0时，有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)<0的解集为(　　)‎ A．(－∞，－2 016) B．(－2 016，－2 012)‎ C．(－∞，－2 018) D．(－2 016,0)‎ 答案　A 解析　由题意观察联想可设g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，结合条件x>0,2f(x)＋xf′(x)>x2，得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上为增函数．‎ 又f(x)为R上的奇函数，所以g(x)为奇函数，‎ 所以g(x)在(－∞，0)上为增函数．‎ 由(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)<0，‎ 可得(x＋2 018)2f(x＋2 018)<4f(2)，‎ 即g(x＋2 018)0.02，‎ 所以0≤x≤1不合题意，‎ 又由x>1，得·x≤，得x≤，‎ 所以x≥4，故至少要过4小时后才能开车．‎ ‎13．偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由f(1－x)＝f(1＋x)可知，函数关于x＝1对称，因为f(x)是偶函数，所以f(1－x)＝f(1＋x)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期是2，由y＝f(x)＝，得(x－1)2＋y2＝1(y≥0，x∈[0,1])，‎ 作出函数y＝f(x)和直线y＝k(x＋1)的图象，‎ 要使直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则由图象可知，0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，‎ 由f′(x)＝0，得x＝±a，‎ 当－aa或x<－a时，f′(x)>0，函数单调递增．‎ ‎∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，‎ 解得a>.∴a的取值范围是.‎ ‎15．已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)若f(x)在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若a＝0，x0<1，设直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0处的切线，求证：f(x)≤g(x)．‎ ‎(1)解　易得f′(x)＝－，‎ 由已知f′(x)≥0对x∈(－∞，2)恒成立，‎ 故x≤1－a对x∈(－∞，2)恒成立，‎ ‎∴1－a≥2，∴a≤－1.‎ 故实数a的取值范围为(－∞，－1]．‎ ‎(2)证明　若a＝0，则f(x)＝.‎ 函数f(x)的图象在x＝x0处的切线方程为 y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．‎ 令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，x∈R，‎ 则h′(x)＝f′(x)－f′(x0)‎ ‎＝－＝.‎ 设φ(x)＝(1－x)－(1－x0)ex，x∈R，‎ 则φ′(x)＝－－(1－x0)ex，∵x0<1，∴φ′(x)<0，‎ ‎∴φ(x)在R上单调递减，又φ(x0)＝0，‎ ‎∴当x0，当x>x0时，φ(x)<0，‎ ‎∴当x0，当x>x0时，h′(x)<0，‎ ‎∴h(x)在区间(－∞，x0)上为增函数，在区间(x0，＋∞)上为减函数，‎ ‎∴当x∈R时，h(x)≤h(x0)＝0，‎ ‎∴f(x)≤g(x)．‎ ‎16．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围．‎ 解　(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，‎ ‎∴当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，‎ ‎∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，‎ 单调递减区间为(0，＋∞)．‎ ‎(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，‎ 则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.‎ ‎∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，‎ ‎∴φ′(x)＝＝－.‎ ‎①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，‎ ‎∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；‎ ‎②当t≤0时，φ′(x)≥0，φ(x)在[0,1]上单调递增，‎ ‎∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；‎ ‎③当0