2020届二轮复习数列求和及其综合应用学案（全国通用） 6页

数列求和与综合应用 ‎【考纲要求】‎ ‎1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；‎ ‎2. 掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式 ‎3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法；‎ ‎4.能解决简单的实际问题.‎ ‎【知识网络】‎ 数列前n项和 公式法 错位相减 倒序相加 裂项相消 分组求和 综合应用 与函数、方程、不等式等 与几何、实际问题等 ‎【考点梳理】‎ 纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.‎ 与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.‎ 有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.‎ 有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题. 数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. ‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：数列与函数的综合应用 例1.(2018 菏泽一模)已知数列的前项和为，且.‎ ‎(1)求数列的通项公式.‎ ‎(2)若数列满足：，求数列的通项公式;‎ ‎(3)令，求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)当时，‎ 当时，‎ 知满足该式 数列的通项公式为 ‎(2) ①‎ ②‎ ②-①得即 ‎(3)‎ 令①‎ 则②‎ ①-②得：‎ ‎ ‎ 数列的前项和为 举一反三：‎ 函数的极值和最值388566 典型例题三】‎ ‎【变式1】已知数列和满足：，，其中为实数，n为正整数.‎ ‎（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ 解析：（Ⅰ）假设存在实数，使得数列是等比数列，则，，必然满足 由得，显然矛盾，‎ 即不存在实数使得数列是等比数列。‎ ‎（Ⅱ）根据等比数列的定义：‎ 即 又 所以当时，数列不是等比数列；当时，数列是等比数列.‎ ‎【变式2】(2018 遵义校级模拟)设是公差大于零的等差数列，已知，‎ ‎(1)求的通项公式.‎ ‎(2)设是以函数的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列的前n项和.‎ ‎【解析】(1)设数列的公差为d则：‎ 解得或(舍去)‎ ‎(2) 的最小正周期为 类型二：数列与不等式 例2. （2017 天津高考）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项.‎ ‎(Ⅰ)设，求证：是等差数列；‎ ‎(Ⅱ)设 ，求证：‎ ‎【解析】⑴ ‎ 为定值．‎ ‎∴为等差数列 ‎⑵=‎ 由已知 将代入（*）式得 ‎∴，得证 举一反三：‎ ‎【变式1】在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，.‎ ‎ (1)证明数列{an-n}是等比数列；‎ ‎ (2)求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎ (3)证明不等式，对任意皆成立.‎ 解析： (1)证明：由已知， ∴ ‎ 又a1-1=1，∴数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列 ‎(2)解：由(1)可知an-n=4n-1，∴ an=4n-1+n ‎∴Sn=a1+a2+…+an=(40+1)+(41+2) +…+(4n-1+n)‎ ‎ =‎ ‎ (3)证明：对任意 ‎-‎ ‎ =‎ ‎∵n≥1，∴ n-1≥0，3n+4>0‎ ‎∴‎ 即Sn+1≤4Sn ‎【变式2】已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求q的值；‎ ‎(Ⅱ)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.‎ 解析：(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,‎ ‎∵a1≠0，∴2q2-q-1=0，‎ ‎∴或，‎ ‎(Ⅱ)若q=1，则 当n≥2时，‎ 若 当n≥2时， ‎ 故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn>bn；当n=10时，Sn=bn；当n≥11时，Sn