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- 2021-06-16 发布
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2019-2020学年广东省深圳市龙岗区高一上学期期末数学试题
一、单选题
1.计算:sin=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为sin=sin,故选B.
2.已知集合,,若,则实数的值a为( )
A.0 B.0,2 C.0,2,3 D.1,2,3
【答案】C
【解析】计算得到,根据题意得到,得到答案.
【详解】
,,即,故或.
故选:.
【点睛】
本题考查了根据集合的交集结果求参数,意在考查学生的计算能力.
3.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直接利用三角函数定义得到答案.
【详解】
,则.
故选:.
【点睛】
本题考查了三角函数值的定义,属于简单题.
4.下列函数中为偶函数且在上是增函数的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】首先通过奇偶性排除两个选项;再通过单调性排除,得到正确结果.
【详解】
选项:,函数为偶函数;当时,,此时单调递减;错误;
选项:函数定义域为,为非奇非偶函数,错误;
选项:,函数为偶函数;当时,,此时单调递增,单调递增,所以函数为增函数,正确;
选项:,为奇函数,错误.
本题正确选项:
【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断、函数的单调性,属于基础题.
5.已知,,,则三者的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据函数的单调性得到得到答案.
【详解】
根据函数单调性得到.
故选:.
【点睛】
本题考查了利用函数单调性比较函数值大小,意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.
6.表示不超过实数的最大整数,是方程的根,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先求出函数的零点的范围,进而判断的范围,即可求出.
【详解】
由题意可知是的零点,
易知函数是(0,)上的单调递增函数,
而,,
即
所以,
结合的性质,可知.
故选B.
【点睛】
本题考查了函数的零点问题,属于基础题.
7.要得到函数的图象, 只需将函数的图象( )
A.所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.
B.所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.
C.所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.
D.所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.
【答案】D
【解析】根据三角函数的图象变换,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),可得,再将函数图象的各点向左平移个单位,可得,
所以要得到函数的图象, 只需将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位,故选D.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换,其中解答中熟记三角函数图象变换的原则,合理准确地完成平移与伸缩是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
8.函数的部分图象如图,则,可以取的一组值是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据对称轴和对称中心的位置确定周期,从而得到;再代入最大值点,求得的取值.
【详解】
为对称轴,为对称中心
代入点可得:
当时,
本题正确选项:
【点睛】
本题考查已知三角函数图像求解析式,关键在于能够通过图像确定周期和最值点,通过对应关系求出参数.
9.已知函数,若函数在R上有两个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数在R上有两个零点,可转化为在上有一个实根,即与在上有一个交点,求出在的值域即可得出结果.
【详解】
由可得,所以函数若函数在R上有两个零点,可转化为在上有一个实根,即与在上有一个交点,
因为时,;又与在上有一个交点,所以,
即.
故选D
【点睛】
本题主要根据函数有零点求参数的问题,一般需要把函数有零点转化为两函数有交点来处理,属于常考题型.
10.将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】得到的偶函数解析式为,显然
【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质,要注意三角函数两种变换的区别,选择合适的值通过诱导公式把
转化为余弦函数是考查的最终目的.
11.已知函数是上的偶函数.若对于都有,且当时,,则的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】C
【解析】代换得到函数周期为,故,计算得到答案.
【详解】
当时,即,函数周期为.
.
故选:.
【点睛】
本题考查了求函数值,意在考查学生对于函数周期的灵活运用.
12.若tanα=1+lgt,tanβ=lg,且α+β=,则实数t的值为( )
A. B.1 C.或1 D.1或10
【答案】C
【解析】由α+β,利用两角和的正切函数化简,由对数的运算性质即可解得实数t的值.
【详解】
∵tanα=1+lgt,tanβ=lg,且α+β,
∴tan(α+β)=tan1,
∴1=1﹣(1+lgt)lg,
∴(1+lgt)lg0,
∴10t=1或1,
∴t或1.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的正切函数,对数的运算性质,是基础题.
二、填空题
13.弧度数为________.
【答案】
【解析】直接根据角度和弧度的转化公式得到答案.
【详解】
.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了角度和弧度的转化,属于简单题.
14.若幂函数的图象经过点,则的值为________.
【答案】
【解析】代入点计算幂函数为,再代入数据计算得到答案.
【详解】
幂函数的图象经过点,即,故,.
.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了求幂函数的值,意在考查学生的计算能力.
15.函数的最大值与最小值之和等于______.
【答案】0
【解析】先判断函数为奇函数,则最大值与最小值互为相反数.
【详解】
解:根据题意,设函数的最大值为M,最小值为N,
又由,则函数为奇函数,
则有,则有;
故答案为0
【点睛】
本题考查函数的奇偶性,利用奇函数的性质求解是解题关键.
16.设是定义在R上的奇函数,且当时,,若对于任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是______.
【答案】
【解析】由当时,,函数是奇函数,可得当时,,从而在R上是单调递增函数,且满足,再根据不等式在恒成立,可得在恒成立,即可得出答案.
【详解】
当时,,
函数是奇函数
当时,
,
在R上是单调递增函数,
且满足,
不等式在恒成立,
在恒成立,
即:在恒成立,
,
解得:,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性,难度适中,关键是掌握函数的单调性与奇偶性.
三、解答题
17.已知全集,集合A为函数的定义域..
(1)若,求和;
(2)若,求实数m的取值范围.
【答案】(1)或,,(2)
【解析】(1)计算,,再计算和得到答案.
(2)计算,根据得到答案.
【详解】
(1)函数,满足,解得,
即集合,当时,,
∴或,.
(2),
因为,所以或,即或,
即
【点睛】
本题考查了集合的运算,根据交集结果求参数,意在考查学生对于集合知识的综合应用.
18.已知,.
Ⅰ求的值;
Ⅱ求的值;
Ⅲ若且,求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】Ⅰ根据同角的三角函数的关系即可求出;Ⅱ根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出;Ⅲ由,根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出.
【详解】
Ⅰ,,
,
.
Ⅱ,
.
Ⅲ,,
,
,
,
.
【点睛】
三角函数求值有三类,(1)“给角求值”;(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.
19.已知函数(,且),过点.
(1)求实数a的值;
(2)解关于x的不等式.
【答案】(1)2(2)
【解析】(1)将点代入函数计算得到答案.
(2)根据函数的单调性和定义域得到,解得答案.
【详解】
(1)∴ .
(2)的定义域为,并在其定义域内单调递增,
∴,不等式的解集为.
【点睛】
本题考查了函数解析式,利用函数单调性解不等式,意在考查学生对于函数知识的综合应用.
20.已知函数是定义在上的函数.
(1)用定义法证明函数的单调性;
(2)若关于x的不等式恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1),且,计算得到证明.
(2)根据单调性得到,即,得到答案.
【详解】
(1)函数单调递减,,且,
∵,∴,,
∴,∴在单调递减;
(2),故,
,,故.
【点睛】
本题考查了定义法证明函数单调性,利用单调性解不等式,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
21.已知函数.
(1)将函数化简成的形式,并求出函数的最小正周期;
(2)求出函数的单调递增区间,对称轴,对称中心,及当时,的取值范围.
【答案】(1),,(2)递增区间,对称轴,对称中心,的取值范围是
【解析】(1)化简得到,再计算周期得到答案.
(2)根据,依次计算函数的单调增区间,对称轴,对称中心,值域得到答案.
【详解】
(1)
.
(2)取,解得.
故的单调递增区间.
取,得到对称轴,
取,得到对称中心,
当时,,.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换,单调区间,周期,对称中心,值域,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
22.已知二次函数,若不等式的解集为
(1)解关于的不等式,
(2)已知实数,且关于的函数的最小值为,求的值。
【答案】(1)(-∞,1)∪(2,+∞);(2)
【解析】(1)根据一元二次不等式与二次方程之间的关系,结合根与系数的关系,求出与的值,再求出不等式的解集;
(2)用换元法,得到函数,再求出最小值与已知最小值相等即可解得.
【详解】
(1)因为二次函数,且不等式的解集为,
所以且和是一元二次方程的两根,
所以且,且,
所以,,
所以可化为,
所以,
所以或,
故的解集为:.
(2)由(1)知,
所以
,
设,因为,,
所以,
因为的对称轴,
所以函数在上递减,
所以,即时,取得最小值,即,
解得或(舍去)
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法,换元法.一元二次函数的最小值的求法,属于中档题.