人教版高中数学选修1-1课件：3_双曲线及其标准方程 21页

双曲线及标准方程 习 椭圆的定义是什么？ 平面内与两定点 F 1 ， F 2 的距离的 和 等于常数（大于 |F 1 F 2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。 F 1 F 2 M 复 · x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 y 2 x 2 a 2 + b 2 = 1 a 2 =b 2 +c 2 图象 集合表示 P=﹛M| |MF 1 |+|MF 2 |=2a﹜ （ 2a>|F 1 F 2 | ） 标准方程 焦点 (-c,0), (c,0) (0, c) ,(0, -c) a. b. c 的关系 （ a>b>0 ） （ a>b>0 ） y o x F 1 F 2 · · x y o F 1 F 2 · · · M M 平面内与两定点 F 1 ， F 2 的距离的 为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？ F 1 F 2 思 考 差 A 1 A 2 F1 F2 M 此时点的轨迹是线段 F 1 F 2 的垂直平分线。 则 |MF 1 |=|MF 2 | F 1 F2 M 思考 : 定义中这个常数能否为 0 ？ ∵ 若常数 = |MF 1 | － |MF 2 | =0 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离的差的绝对值等于 常数的点的轨迹叫双曲线。 的点的轨迹叫双曲线。 ( 小于 ︱ F 1 F 2 ︱ ） 双曲线的定义 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离的差的绝对值等于 常数的点的轨迹叫双曲线。 常数 一般用 2a 表示 （ a>0 ） , 这两个定点 F 1 、 F 2 叫做 双曲线的焦点。 两焦点的距离 |F 1 F 2 | 叫做 双曲线的焦距， 的点的轨迹叫双曲线。 ( 小于 ︱ F 1 F 2 ︱ ） 双曲线的焦距 一般用 2c 表示 (c>0) 则 2a<2c M A 1 A 2 F 1 F 2 双曲线的定义 令 c 2 -a 2 =b 2 , 其中 b>0, 代入整理得： x y o 如图建立坐标系，使 x 轴经过 F 1 、 F 2 ， 并且原点 O 与线段 F 1 F 2 的中点重合。设 M(x , y) 为双曲线上任一点 , 双曲线焦距为 2c(c>0), 则 F 1 (-c,0), F 2 (c,0) F 1 F 2 M 即 (x+c) 2 + y 2 - (x-c) 2 + y 2 = + 2a _ 双曲线的标准方程 由定义可知，双曲线就是集合： P= { M | | MF 1 | - | MF 2 | = + 2a } _ cx -a 2 =+ a (x-c) 2 +y 2 _ 移项平方整理得 再次平方，得： (c 2 -a 2 ) x 2 -a 2 y 2 =a 2 (c 2 -a 2 ) 由双曲线的定义知， 2c>2a>0, 即 c>a, 故 c 2 -a 2 >0, x 2 a 2 - y 2 c 2 -a 2 = 1 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 (a>0,b>0) x y o F 1 F 2 M 双曲线的标准方程： = x 2 a 2 - y 2 b 2 1 (a>0,b>0) 方程 叫做双曲线的标准方程 它表示的双曲线焦点在 x 轴上，焦点为 F 1 (-c,0),F 2 (c,0), 且 c 2 =a 2 +b 2 x y o F 1 F 2 M y x x y o F 1 F 2 双曲线的标准方程： = x 2 a 2 - y 2 b 2 1 (a>0,b>0) 方程 叫做双曲线的标准方程 它表示的双曲线焦点在 x 轴上， 焦点为 F 1 (-c,0),F 2 (c,0), 且 c 2 =a 2 +b 2 M y x x y o F 1 F 2 M y x x y o F 1 F 2 M y x x y o F 1 F 2 M y x y x y x F 2 F 1 M y x o y x y x F 2 F 1 M y o x y -x = x 2 a 2 - y 2 b 2 1 (a>0,b>0) (-x) 2 x 2 y 2 方程 叫做双曲线的标准方程 它表示的双曲线焦点在 y 轴上， 焦点为 F 1 (0,-c),F 2 (0,c), 且 c 2 =a 2 +b 2 · x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 y 2 x 2 a 2 + b 2 = 1 a 2 =b 2 +c 2 图象 集合表示 P=﹛M| |MF 1 |+|MF 2 |=2a﹜ （ 2a>|F 1 F 2 | ） 标准方程 焦点 (-c,0), (c,0) (0, c) ,(0, -c) a. b. c 的关系 （ a>b>0 ） （ a>b>0 ） y o x F 1 F 2 · · x y o F 1 F 2 · · · M M · x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 y 2 x 2 a 2 + b 2 = 1 a 2 =b 2 +c 2 图象 集合表示 标准方程 焦点 (-c,0), (c,0) (0, c) ,(0, -c) a. b. c 的关系 （ a>b>0 ） （ a>b>0 ） y o x F 1 F 2 · · x y o F 1 F 2 · · · M M P=﹛M|| |MF 1 |—|MF 2 | | =2a ﹜ （ 0<2a ＜ | F 1 F 2 | ） · x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 y 2 x 2 a 2 + b 2 = 1 a 2 =b 2 +c 2 图象 集合表示 标准方程 焦点 (-c,0), (c,0) (0, c) ,(0, -c) a. b. c 的关系 （ a>b>0 ） （ a>b>0 ） y o x F 1 F 2 y F 1 F 2 x o P=﹛M|| |MF 1 |—|MF 2 | | =2a ﹜ （ 0<2a ＜ | F 1 F 2 | ） · a 2 =b 2 +c 2 图象 集合表示 标准方程 焦点 (-c,0), (c,0) (0, c) ,(0, -c) a. b. c 的关系 y o x F 1 F 2 y F 1 F 2 x o y 2 x 2 a 2 - b 2 = 1 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 (a>0,b>0) (a>0,b>0) P=﹛M|| |MF 1 |—|MF 2 | | =2a ﹜ （ 0<2a ＜ | F 1 F 2 | ） 焦点 y F 1 F 2 x o c 2 =a 2 +b 2 (-c,0),(c,0) (0, c) (0,-c) y o x F 1 F 2 图 象 集合表示 a.b.c 的关系 P=﹛M|| |MF 1 |—|MF 2 | | =2a ﹜ （ 0<2a ＜ | F 1 F 2 | ） 方程 y 2 x 2 a 2 - b 2 = 1 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 练一练 : 1 、求下列双曲线的焦点坐标及 a: (2) x 2 - 3 y 2 = 3 (-2,0),(2,0) a= (0,-5),(0,5) a=3 2 、已知方程 表示焦点在 x 轴的双曲线，求 m 的取值范围 。 m>-1 变式： 若方程 表示双曲线 求 m 的取值范围 。 m<- ２或 m>-1 例 1, 已知双曲线的两个焦点坐标为 F 1 (-5,0) 、 F 2 (5,0) 双曲线上一 点 P 到 F 1 、 F 2 的距离的差的绝对值等于 6, 求双曲线的标准方程 解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的 ∵2a=6, 2c=10 ∴a=3 , c=5 所以所求双曲线的标准方程为 ∴ b 2 =5 2 -3 2 =16 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 标准方程为 (a>0,b>0) 练一练 : 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （ 1 ）焦点在 x 轴上， a=4 ， b=3 ： （ 2 ）焦点在 x 轴上，经过点 （ 3 ）焦点为（ 0 ，－ 6 ），（ 0 ， 6 ）， 且经过点（ 2, － 5 ） A B P 例 2, 已知 A 、 B 两地相距 800m ，在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s ，且声速为 340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。 X Y 0 解：如图：建立直角坐标系 xOy ，使 A 、 B 两点在 x 轴上，并且坐标原点 O 与线段 AB 的中点重合。 即 b 2 =c 2 –a 2 =44400 所以 2c=800 ， c=400 ， 2a=680 ， a=340 因此炮弹爆 炸点的轨迹（双曲线）的方程为 设爆炸点 P 的坐标为（ x ， y ），则 |PA|—|PB|=340×2=680 （ x>0 ） 所以爆炸点在靠近 B 处的双曲线的一支上。 <800 C · 思考：如果再增加一点 C ，在 A 地听到炮弹爆炸声比在 C 地晚 2s ，那么我们能不能确定爆炸点的位置？ 探 究 X Y 0 A B M 如图，点 A ， B 的坐标分别是（ -5 ， 0 ），（ 5 ， 0 ），直线 AM ， BM 相交于点 M ，且它们的斜率之积是 ，试求点 M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与 2.2 例 3 比较，你有什么发现？ 1. 双曲线的定义、焦点、焦距概念； 2. 双曲线标准方程的两种形式及 a 、 b 、 c 的关系： c 2 =a 2 +b 2 小结 Ⅰ P 54 2 作 业