高中数学选修2-2教学课件4_5_3定积分的概念 30页

1 高中数学选修 2-2 第四章 《 定积分 》 定积分的概念 超越自我制作 2 （一）、定积分的定义 如果当 n  ∞ 时， S 的无限接近某个常数， 这个常数为函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的定积分 ，记作 从求曲边梯形面积 S 的过程中可以看出 , 通过 “四步曲” : 分割 --- 近似代替 ---- 求和 ------ 取极限得到解决 . 3 4 定积分的定义： 定积分的相关名称：  ——— 叫做积分号， f ( x ) —— 叫做被积函数， f ( x ) dx — 叫做被积表达式， x ——— 叫做积分变量， a ——— 叫做积分下限， b ——— 叫做积分上限， [ a , b ] — 叫做积分区间。 5 定积分定义 ( 高等数学的定义 ) 任一种 分法 任取 总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数 在区间 上的 定积分 , 即 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 可积 . 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7 说明： (1) 定积分是一个数值 , 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即 ò b a f ( x ) dx = ò b a f ( x ) dx - (3) 8 ( 二 ) 、定积分的几何意义 ： O x y a b y  f ( x ) x = a 、 x = b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。 9 当 f ( x )  0 时，由 y  f ( x ) 、 x  a 、 x  b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方， x y O =- ． a b y  f ( x ) y  - f ( x ) =- S 上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义： =- S 10 定积分的几何意义 : 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11 a b y  f ( x ) O x y 探究 : 根据定积分的几何意义 , 如何用定积分表示图中阴影部分的面积 ? a b y  f ( x ) O x y 12 （三） 定积分的性质 ( 设所列定积分都存在 ) ( k 为常数 ) 证 : = 右端 机动 目录 上页 下页 返回 结束 13 三 : 定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有 可加性 性质 5. 思考： 从定积分的几何意义解释性质⑶ a b y = f ( x ) c O x y 14 证 : 当 时 , 因 在 上可积 , 所以在分割区间时 , 可以永远取 c 为分点 , 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 15 当 a , b , c 的相对位置任意时 , 例如 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 16 6. 若在 [ a , b ] 上 则 证 : 推论 1. 若在 [ a , b ] 上 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 17 推论 2. 证 : 即 7. 设 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 18 例 3. 试证 : 证 : 设 则在 上 , 有 即 故 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 19 定理 1. 定理 2. 且只有有限个间断点 可积的充分条件 : ( 证明略 ) 例 1. 利用定义计算定积分 解 : 将 [0,1] n 等分 , 分点为 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 20 注 目录 上页 下页 返回 结束 21 22 例 2. 用定积分表示下列极限 : 解 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 23 说明 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据定积 分定义可得如下 近似计算方法 : 将 [ a , b ] 分成 n 等份 : ( 左矩形公式 ) ( 右矩形公式 ) 24 ( 梯形公式 ) 为了提高精度 , 还可建立更好的求积公式 , 例如辛普森 机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式 , 复化求积公式等 , 并有现成的数学软件可供调用 . 25 再 见 26 拓展 1. 用定积分表示下述极限 : 解 : 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 27 思考 : 如何用定积分表示下述极限 提示 : 极限为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 28 性质 8. 积分中值定理 则至少存在一点 使 证 : 则由 性质 7 可得 根据闭区间上连续函数介值定理 , 使 因此定理成立 . 性质 7 目录 上页 下页 返回 结束 29 说明 : 可把 故它是有限个数的平均值概念的推广 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分中值定理对 因 30 例 4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度 . 解 : 已知自由落体速度为 故所求平均速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束