江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题 18页

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试 高三数学试卷 ‎（测试内容：三角、平面向量、复数）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1.若复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为________.‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则求出，根据虚部的概念即可得出．‎ ‎【详解】，‎ ‎∴的虚部为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．‎ ‎【答案】二 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．‎ ‎【详解】因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，‎ 则角α的终边在第二象限，‎ 故答案为二．‎ 点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号．‎ ‎3.设向量 =（1,0）， =（−1,m）,若，则m=_________.‎ ‎【答案】-1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据坐标表示出，再根据，得坐标关系，解方程即可.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 由得：，‎ ‎，‎ 即.‎ ‎【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.‎ ‎4.已知复数z满足（是虚数单位），则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则求出，根据模长的概念即可得出结果．‎ ‎【详解】复数z满足（为虚数单位），‎ ‎∴，‎ 则，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5.化简：________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逆用两角和的正切公式：即可求得答案．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为1.‎ ‎【点睛】本题考查两角和的正切函数公式的在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，逆用公式是关键，属于中档题．‎ ‎6.若 ，则 __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用同角三角函数的基本关系把1换成，， 分子分母同时除以，最后把的值代入即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．‎ ‎7.在锐角△ABC中，，．若△ABC的面积为，则的长是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题可知：，又为锐角三角形，所以，由余弦定理 ‎8.已知，且．则的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用同角三角函数关系式可求和，根据诱导公式化简所求后即可代入求值．‎ ‎【详解】∵，且，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 故答案.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，三角函数齐次式值的求法，属于基础题.‎ ‎9.已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数在区间上最小值是确定的取值范围，求出的范围得到答案．‎ ‎【详解】函数在区间上的最小值是，‎ 而的取值范围是，‎ 当，时，函数有最小值，‎ ‎∴，且，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴的最小值等于，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力，属于中档题.‎ ‎10.设为锐角，若，则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件求得的值，利用二倍角公式求得和的值，再根据，利用两角差的正弦公式计算求得结果．‎ ‎【详解】∵为锐角，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 故 ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．‎ ‎11.已知函数．若函数 的图象关于直线x＝2π对称，且在区间 上是单调函数，则ω的取值集合为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 是一条对称轴，‎ ‎，得，‎ 又在区间上单调，‎ ‎，得，‎ 且，得，‎ ‎，集合表示为。‎ ‎12.设点在所在平面内，若，则与的面积比为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，结合图形，得出和面积比为，根据题意，得出与的关系，从而求出两三角形的面积比．‎ ‎【详解】如图，‎ ‎；‎ 设直线AO与直线BC的交点为点M，则和面积比为，‎ 设，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 由平面向量的基本定理得，，‎ 解得，‎ ‎∴和的面积比为，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，解题时应按照平面向量的运算法则进行解答，属于中档题．‎ ‎13.正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得出的终点在线段BC上，即，求出，又O是MN的中点，得出，，求的最小值即可．‎ ‎【详解】根据题意，，‎ ‎∴的终点在线段BC上，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴；‎ 又O是MN的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴的最小值是．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算性质、向量的三角形法则、向量共线定理应用问题，是中档题．‎ ‎14.已知等腰直角三角形中，半径为的圆在三角形外与斜边BC相切，P为圆上任意一点，且满足，则的最大值为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立直角坐标系，找出点P的横纵坐标与的关系，根据直线与圆的位置关系结合图象可得的最大值．‎ ‎【详解】如图以A点为原点，AB为轴，AC为轴建立直角坐标系，‎ 则A（0，0），B（0，2），C（2，0），斜边BC所在直线的方程为，‎ 设，则，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵P为半径为的圆O在三角形外与斜边BC相切上的任意一点，‎ ‎∴与圆O相切且与直线BC平行的直线L的方程为：，‎ ‎∴根据上图可知，，‎ ‎∴，‎ ‎∴的最大值为2，故答案为2.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，关键是利用坐标运算的应用，属中档题．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.已知函数的图像的一部分如图所示，是图像与轴的交点，分别是图像的最高点与最低点且．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意设，由，解得：，利用周期公式可求，由，结合范围，可求 的值，即可得解函数解析式；（2）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，可求，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．‎ ‎【详解】（1）由函数及分别是图像的最高点与最低点，‎ 设， ‎ 因为，所以，由此解得：，‎ 所以函数的最小正周期为，所以 ‎ 因为是图像与轴交点，‎ 所以，因为，‎ 所以，所以，所以 ‎ 所以函数的解析式为 ‎ ‎（2）函数 因为， 所以 ，‎ 所以时，‎ 即时，函数取最大值为 ‎【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质以及三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想，属于中档题 ‎16.在平面直角坐标系中，设向量，，．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设，，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可；（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．‎ ‎【详解】解：（1）因为，，，‎ 所以，‎ 且.‎ ‎ 因为，所以，即， ‎ ‎ 所以，即． ‎ ‎（2）因为，所以．‎ 依题意，． ‎ 因为，所以． ‎ 化简得，，所以． ‎ 因为，所以．‎ 所以，即．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积与三角函数的化简求值考查计算能力，属于中档题.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求的最小值并写出此时的取值集合； ‎ ‎（2）若，求出的单调减区间；‎ ‎（3）若的一个零点，求的值.‎ ‎【答案】（1）最小值为,的取值集合；（2）和；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式，诱导公式和辅助角公式化简可得，根据三角函数的性质即可得结果；（2）先求出在整个定义域上的单调性，结合即可得结果；（3）根据的一个零点，即，利用的范围，求解内层函数范围，即可求的值．‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎ ‎ 所以的最小正为，此时的取值集合为； ‎ ‎（2）由，得 所以的单调减区间为． ‎ 因为，当时，减区间为；‎ 当时，减区间为。‎ 综上：时的单调减区间为和. ‎ ‎（3），所以．‎ 又，，‎ 所以，‎ 所以 ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题.‎ ‎18.已知矩形所在的平面与地面垂直，点在地面上，设，，与地面成角（），如图所示，垂直地面，垂足为，点、到的距离分别为 ‎，记．‎ ‎（1）若，求的最大值，并求此时的值；‎ ‎（2）若的最大值为，求的值． ‎ ‎【答案】（1）时；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得，结合三角函数的性质可得最值以及的值；（2）化简可得，根据最值求出.‎ ‎【详解】（1）又 ‎ ,当且仅当,即时 ‎（2）‎ ‎ 当且仅当,即 时, 的最大值为 ‎,‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用，求出表达式以及掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎19.启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目,设计方案如下：如图所示圆O是圆形湖的边界,沿线段AB,BC,CD,DA建一个观景长廊,其中A,B,C,D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米,AB=8百米,在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭,且它们关于直线AC对称,在湖面建一条观景桥APC.观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设 ‎．‎ ‎（1）若观景长廊AD＝4百米，CD=AB，求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积；‎ ‎（2）当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；‎ ‎（3）若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时的值；若没有，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）平方百米；（2）平方百米；（3）当=时，四边形ABCP内的湖面面积取到最大值， 最大值为32平方百米.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别在和中运用余弦定理，求出，进而可得和，根据即可得结果；（2）在中，可得，令，，在中，运用余弦定理可得，由基本不等式可得，由即可得结果；（3）先求出，计算出，进而可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，∴ABC+ADC=‎ 在中，‎ 在中，‎ 解得，∴‎ ‎∴‎ ‎（平方百米）‎ ‎ 答：四边形ABCD内的湖面面积是平方百米.‎ ‎（2）∵=60，∴在中，=112‎ 令，， 在中，=112‎ ‎∴=112‎ ‎∵‎ ‎∴（当且仅当x=y时，取等号） ‎ ‎∵‎ ‎∴（平方百米）‎ 答：三角形区域ADC内的湖面面积最大值平方百米． ‎ ‎（3）∵点P和点D关于直线AC对称，‎ ‎∴APC=ADC，PC=CD=8‎ 由（1）知ABC+ADC=，∴ABC+APC=‎ ‎∵ABC=，∴APC=‎ ‎∵点P在区域内 ‎∴，∴ ‎ ‎∵在中，‎ 在中，‎ ‎∴‎ ‎ 解得或（舍去） ‎ ‎∵，∴四边形ABCP内的湖面面积有最大值，‎ ‎ 答：当=时，四边形ABCP内的湖面面积取到最大值，最大值为32平方百米 ‎【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用，求出表达式以及掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若函数在上存在单调增区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，证明：对于，总有 ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的导数，将其转化为在区间内存在区间使得即在上能成立，根据函数的最小值即可确定的范围；（2）问题转化为证明，在上恒成立，构造函数，，求出的导数，判断出函数的单调性，从而证出结论．‎ ‎【详解】（1）由题，‎ 因为函数在存在单调增区间，‎ 故在区间内存在区间使得成立，‎ 即能成立，‎ 即在上能成立，‎ 而在的最小值是，‎ 故； ‎ ‎（2）若，则，‎ ‎，‎ 而，‎ 又因为，所以，‎ 要证原不等式成立，只要证，‎ 只要证，‎ 只要证，在上恒成立， ‎ 首先构造函数，，‎ 因为，‎ 可得，在时，，即在上是减函数，‎ 在时， ，即在上是增函数，‎ 所以，在上，，所以，‎ 所以，，等号成立当且仅当时， ‎ 其次构造函数，，‎ 因为，‎ 可见时，，即在上减函数，‎ 时， ，即在上是增函数，‎ 所以在上，，所以，‎ 所以，，等号成立当且仅当时． ‎ 综上所述，，‎ 因为取等条件并不一致，‎ 所以，在上恒成立，‎ 所以，总有成立．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，不等式的证明、函数的构造，属于难题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎