【数学】2019届一轮复习人教A版直接证明与间接证明教案 11页

直接证明与间接证明 ‎[必备知识]‎ 考点1　直接证明 考点2　间接证明 ‎1．反证法的定义 假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．‎ ‎2．利用反证法证题的步骤 ‎(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；‎ ‎(2)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；‎ ‎(3)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．‎ ‎[必会结论]‎ 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．‎ ‎[双基夯实]‎ 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎1．综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)‎ ‎2．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)‎ ‎3．用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．(　　)‎ ‎4．证明不等式＋＜＋最适合的方法是分析法．(　　)‎ 答案　1.×　2.×　3.×　4.√‎ 二、小题快练 ‎1．[课本改编]用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　)‎ A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角 C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 答案　B 解析　注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”‎ ‎，知需选B.‎ ‎2．若实数a，b满足a＋b＜0，则(　　)‎ A．a，b都小于0 ‎ B．a，b都大于0‎ C．a，b中至少有一个大于0 ‎ D．a，b中至少有一个小于0‎ 答案　D 解析　假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b＜0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0.‎ ‎3．在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出<成立的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　C 解析　<成立，即<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．‎ ‎4．[2017·福建模拟]设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．‎ 答案　m0，n>0，则m2－n2＝a＋b－2－a＋b＝2b－2＝2－2<0，∴m28.‎ 证明　因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，‎ 所以－1＝＝>，①‎ －1＝＝>，②‎ －1＝＝>，③‎ 又x，y，z为正数，由①×②×③，‎ 得>8.‎ 考向　分析法证明 例2　已知a>0，证明： －≥a＋－2.‎ ‎[证明]　要证 －≥a＋－2，‎ 只需证 ≥－(2－)．‎ 因为a>0，所以－(2－)>0，‎ 所以只需证2≥2，‎ 即2(2－)≥8－4，‎ 只需证a＋≥2.‎ 因为a>0，a＋≥2显然成立＝1时等号成立，所以要证的不等式成立．‎ 触类旁通 分析法证题的技巧 ‎(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．‎ ‎【变式训练2】　△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A、‎ B、C的对边分别为a、b、c，求证：＋＝.‎ 证明　要证＋＝，‎ 即证＋＝3，也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ 于是原等式成立．‎ 命题角度1　证明否定性命题 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，a1＋S1＝‎2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，‎ 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.‎ ‎(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，‎ 所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知g(1)＝1，g(b)＝b，即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.‎ 因为b>1，所以b＝3.‎ ‎(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有即解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．‎ 命题角度3　证明唯一性命题 例5　已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.‎ ‎(1)求证：SA⊥平面ABCD；‎ ‎(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，‎ ‎∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.‎ 又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.‎ ‎(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.‎ ‎∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.‎ ‎∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，‎ ‎∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．‎ 故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.‎ 触类旁通 ‎1．反证法的解题原则 当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面．‎ ‎2．用反证法证明问题的一般步骤 第一步：分清命题“p⇒q”的条件和结论；‎ 第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；‎ 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；‎ 第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真．‎ 所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．‎ 核心规律 ‎1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．‎ ‎2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．‎ ‎3.分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．‎ 满分策略 ‎1.当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法，但在证明中，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律．‎ ‎2.当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．‎ ‎3.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.‎ 创新交汇系列6——分析法与综合法的交汇整合 ‎[2016·长沙模拟]已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c 是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与‎2f(b)的大小关系，并证明你的结论．‎ ‎[解题视点]　(1)先判断它们的大小，可用特例法．(2)用分析法探寻证题思路．(3)用综合法完成证明．事实上，取a＝1，b＝2，c＝4，则f(a)＋f(c)＝f(1)＋f(4)＝log218，‎2f(b)＝‎2f(2)＝log216，于是由log218>log216，猜测f(a)＋f(c)>‎2f(b)．‎ 要证f(a)＋f(c)>‎2f(b)，则只需证log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)，即证log2[(a＋2)(c＋2)]>log2(b＋2)2，也即证(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.展开整理得ac＋2(a＋c)>b2＋4b.‎ 因为b2＝ac，所以只要证a＋c>2，显然是成立的．‎ ‎[解]　f(a)＋f(c)>‎2f(b)．‎ 证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，‎ 所以a＋c>2.‎ 因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b，‎ 即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4，‎ 从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.‎ 因为f(x)＝log2x是增函数，‎ 所以log2[(a＋2)(c＋2)]>log2(b＋2)2，‎ 即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．‎ 故f(a)＋f(c)>‎2f(b)．‎ 答题启示　(1)综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程.有时要把分析法和综合法结合起来交替使用，才能成功.,(2)本题易错的原因一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范.将分析法和综合法整合，是证明数学问题的一种重要的思想方法.‎ ‎ 跟踪训练 ‎[2016·安徽模拟](1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；‎ ‎(2)11，∴x＝logab≥1，y＝logbc≥1，‎ 由(1)知所证明的不等式成立．‎