辽宁省葫芦岛市普通高中2020届高三上学期学业质量监测（期末）数学（理）试题 10页

学 校 姓 名 考 号 ‎………………………………………………装…………订…………线………………………………………………‎ 葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试 高三数学（供理科考生使用）‎ 注意事项:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．‎ ‎3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．‎ ‎4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1. A={x|x-1>0},B={x|x2-x-6£0}，则A∩B=‎ ‎ A.[-2,1) B.[-2,3] C. (1,3] D.[1,3)‎ ‎2.已知i是虚数单位，复数 =‎ A．i-2 B．i+2 C．-2 D．2‎ ‎3.在等比数列{an}中，a4,a6是方程x2+5x+1=0的两根，则a5=‎ ‎ A.1 B. ±1 C. D.± ‎4. 已知 a,b均为单位向量，则|a-2b|=|2a+b|是a^b的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5. 2018年辽宁省正式实施高考改革。新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课 . 这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的 A．样本中的女生数量多于男生数量 B．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量 C．样本中的男生偏爱物理 D．样本中的女生偏爱历史 等高堆积条形图2‎ 等高堆积条形图1‎ ‎ ‎ O y x O y x y x O y x O ‎6. 函数f(x)=的图像大致为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，B=30°，a+c=2b，△ABC的面积为，则b=‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 函数f(x)=ln(x2-ax-3)在(1,+¥)单调递增，求a的取值范围 ‎ A.a£2 B.a<2 C. a£-2 D. a<-2‎ ‎9. 若3时，不等式f (-k-sinq -1)³ f (k2-sin2q )对 任意的kÎ[-1,0]恒成立,则q 的可能取值是 A.- B. C.- D. 第Ⅱ卷（选择题，共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第15题为两空题，第一空2分，第二空3分。）‎ ‎13. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________．‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 侧（左）视图 正（主）视图 俯视图 ‎14. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方”的钱币及用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．具体做法如下：现有“外圆内方”的钱币(如图)，测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2 cm,“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边长为‎1 cm，‎在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p，则圆周率π的近似值为 . ‎ ‎ ‎ ‎15. (1+ax2)(x-3)5的展开式中x7系数为2，则a的值为______, x5的系数为______.‎ ‎16. 已知双曲线C：- =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴切于点（2,0），且直线y= -2x经过线段PF1的中点且垂直于线段PF1，则双曲线C的方程为 ____________.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ P A B C D E ‎ 如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，‎ 且平面平面，为的中点，,，‎ ‎.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角P-AC-E的余弦值.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知数列{an}其前n项和Sn满足:Sn=2-(n+1)an+1(n∈N*), a1=0.‎ ‎（1）求数列{ an}的通项公式;‎ ‎（2）当n=1时，c1=1,当n³2且n∈N*时，设cn= ,求{cn}的前n项和Tn.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ ‎ 冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战. 全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄弱、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定. 据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%．现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；‎ ‎（2）现在要从年龄较大的第4,5组中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查，求第4组恰好抽到2人的概率；‎ ‎（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上顶点为A，点B (1，- )在椭圆E 上，F1,F2分别为E的左右焦点，Ð F1AF2=120°.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作x2+y2=b2的切线交椭圆于C，D两点,且C,F2,D不共线,问：DCF2D的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由. ‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)=xlnx+kx，k∈R.‎ ‎（1）求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎（2）若不等式f(x)£x2+x恒成立，求k的取值范围;‎ ‎（3）求证：当时，不等式成立.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时就写清题号。‎ ‎22．(本小题满分10分) 选修4−4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ.‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程及直线l的斜率；‎ ‎（2）直线l与圆C交于M,N两点，MN中点为Q，求Q点轨迹的直角坐标方程.‎ ‎23．(本小题满分10分) 选修4−5：不等式选讲 ‎ 设a,b是正实数, 求证:‎ ‎（1）若a+2b=1，求a2+b2的最小值;‎ ‎（2）若a2+4b2=1，求的最大值.‎ 葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试 高三数学（理）‎ 参考答案及评分标准 一、选择题 CBBCD AACBD AD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 2；181（本小题第一空2分，第二空3分） 16. - =1‎ 三、解答题 ‎17（本小题满分12分）‎ 解：（1）如图，取PA中点F，连结EF,BF. ‎ 因为E为PD中点，AD=4，所以EF∥AD，EF=AD=2.‎ 又因为BC∥AD，BC=2，所以EF∥BC，EF=BC，‎ 所以四边形EFBC为平行四边形. ……………………………………………………2‎ 所以CE∥BF.‎ 又因为CEË平面PAB,BFÌ平面PAB，‎ 所以 CE∥平面PAB ……………………………………………………………………4 ‎ ‎（2）取AD中点O，连结OP，OB.‎ 因为DPAD为等边三角形，所以PO^OD.‎ O P A B C D E F 又因为平面PAD^平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ 所以PO^平面ABCD.‎ 因为OD∥BC，OD=BC=2，‎ 所以四边形BCDO为平行四边形.‎ 因为CD^AD，所以OB^OD. ………………………………………………………………6‎ 如图建立空间直角坐标系O-xyz，‎ 则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1, ),P(0,0,2)‎ 所以=(2,4,0), =(0,3,). =(0,2,2)‎ 设平面ACE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，‎ 则即令x1=-2，则n1=(-2,1,-)，…………………………8‎ 显然，平面ACP的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，‎ 则即 令z2=1，则n2=(2,-,1)，………………………10‎ 所以cos< n1,n2>===.‎ 由题知，二面角P-AC-E为锐角，‎ 所以二面角P-AC-E的余弦值为.……………………………………………………12 ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 解：(1) 当n=1时，a1=S1=2-2a2=0,得a2=1…………………………………………………2‎ ‎ 当n³2时，an=Sn-Sn-1=nan -(n+1)an+1,即(n+1)an+1=(n-1)an,‎ 因为a2¹0，所以= ……………………………………………………………4‎ ‎ =´´……´= ´´……´=, an= ‎ 综上所述，an= ………………………………………………6‎ ‎ (2) 当n=1时,T1=1 ………………………………………………………………………8‎ ‎ 当n³2时,cn=(n-1)·2n ‎ Tn=1+22+2´23+……+(n-1)´2n ‎ 2Tn= 2+ 23+……+(n-2)´2n +(n-1)´2n+1‎ ‎ -Tn=3+23……+ 2n-(n-1)´2n+1………………………………………10‎ ‎= 3+-(n-1)´2n+1=-5-(n-2) 2n+1‎ ‎ Tn=5+(n-2)2n+1 ‎ ‎ 综上所述，Tn=5+(n-2)2n+1 ……………………………………………………12‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 解 ：(1)由10´(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1，得a=0.035， ………………………………1‎ 平均数为20´0.1+30´0.15+40´0.35+50´0.3+60´0.1=41.5岁；……………………………2‎ 设中位数为x，则10´0.010+10´0.015+(x-35) ´0.035=0.5，∴x»42.1岁． ……………3‎ ‎(2)第4,5组抽取的人数分别为6人，2人．‎ 设第4组中恰好抽取2人的事件为A，则P(A)==． ……………………………6‎ ‎(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为P=，…………8‎ X的所有可能取值为0,1,2,3，‎ ‎∴P(x=0)=C(1-)3=，‎ P(x=1)=C()1 (1-)2= , ‎ P(x=2)=C()2 (1-)1= , ‎ P(x=3)=C()3= ， ……………………………………………………………………10‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∵X～B(3,)， ∴E(X)=3´=．…………………………………………………………12‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 解：(1)由Ð F1AF2=120°，得=………………………①,‎ B点 (1，－)代入椭圆方程得 ＋＝………1②,‎ 由①②得a2=4,b2＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1. ……………………………………4‎ ‎（2）由题意,设CD的方程为y=kx+m(k<0,m>0),‎ ‎∵CD与圆x2+y2=1相切,∴=1,即m2=1+k2,‎ 由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0 , D>0‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2= - , x1x2= ………………………………………6‎ ‎∴|CD|=|x1-x2|= ‎=== ………………………8‎ 又|CF2|2=(x1-)2+y2=(x1-)2+1-＝(x1-4)2 ,‎ ‎∴|CF2|=(4-x1) ……………………………………………………………………………10‎ 同理|DF2|=(4-x2),‎ ‎∴|CF2|+|DF2|=4 - ( x1+x2)= 4+ ‎∴|CD|+|CF2|+|DF2|=4‎ 即△CF2D的周长为定值. ……………………………………………………………………12‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 解：(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+¥),‎ f¢(x)=1+lnx+k, f¢(1)=1+ k,‎ ‎∵f(1)=k,∴函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-k=(k+1)(x-1),‎ 即y=(k+1)x-1 ………………………………………………………………………………3‎ ‎(2)设g(x)=lnx-x+k-1, g¢(x)=-1,‎ xÎ(0,1), g¢(x)>0,g(x)单调递增，‎ xÎ(1,+¥), g¢(x)<0,g(x)单调递减，‎ ‎∵不等式f(x)£x2+x恒成立，且x>0，‎ ‎∴lnx-x+k-1£0,∴g(x)max=g(1)=k-2£0即可，故k£2……………………………………6‎ ‎ (3)由（2）可知：当k=2时，lnx£x-1恒成立，‎ 令x= ,由于i∈N*，>0.‎ 故，ln<-1,整理得：ln(4i2-1)>1- 变形得：：ln(4i2-1)>1-，即：ln(4i2-1)>1-( - )‎ i=1,2,3……,n时，有ln3>1- (1-)’‎ ‎ ln5>1- (1-)‎ ‎ …………‎ ‎ ln(4n2-1)> 1- ( - )‎ 两边同时相加得： >n-(1-)=> 所以不等式在n∈N*上恒成立.‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 解：(1)由ρ=2sinθ得x2+y2−2y=0,‎ 即圆C的直角坐标方程为x2+(y−)2=5.……………………………………………………2‎ ‎ 由直线l的参数方程可得=1,故直线l的斜率为1. ……………………………………4‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2), 中点Q(x,y) ,将M,N代入圆方程得：‎ x12+y12−2y1=0………………①, ‎ x22+y22−2y2=0………………②, ‎ ①-②得:(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2-2)=0……………………………………………6‎ 化简得2x+(2y−2)=0‎ 因为直线l2的斜率为1，所以上式可化为x+y−=0……………………………………8‎ 代入圆的方程x2+y2−2y=0，解得x=± 所以Q点的轨迹方程为x+y−=0，xÎ[-,]……………………………………10‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 解：（1）法 一：由得，0