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- 2021-06-16 发布
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阶段自测
卷
(
四
)
第六章
数列
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1.(2019·
衡水中学考试
)
已知等差数列
{
a
n
}
的公差为
2
，前
n
项和为
S
n
，且
S
10
＝
100
，则
a
7
的值为
A.11
B.12 C.13 D.14
√
所以
a
1
＝
1
.
所以
a
n
＝
2
n
－
1
，
故
a
7
＝
13
.
故
选
C.
一、选择题
(
本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
√
解析
设等差数列的首项为
a
1
，公差为
d
，
则
a
3
＝
a
1
＋
2
d
，
a
7
＝
a
1
＋
6
d
.
因为
a
1
，
a
3
，
a
7
成等比数列，
所以
(
a
1
＋
2
d
)
2
＝
a
1
(
a
1
＋
6
d
)
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
3.(2019·
四省联考
)
已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
6
＝
30
，
S
10
＝
10
，则
S
16
等于
A.
－
160
B
.
－
80
C.20 D.40
√
解得
a
1
＝
10
，
d
＝－
2
，
故
S
16
＝
16
a
1
＋
120
d
＝
16
×
10
＋
120
×
(
－
2)
＝－
80
，故选
B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
A.
－
3
B.5 C
.
－
31
D.33
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
5.(2019·
湖南五市十校联考
)
已知数列
{
a
n
}
满足
2
a
n
＝
a
n
－
1
＋
a
n
＋
1
(
n
≥
2)
，
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＝
12
，
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＝
9
，则
a
1
＋
a
6
等于
A.6
B.7 C.8 D.9
√
解析
由数列
{
a
n
}
满足
2
a
n
＝
a
n
－
1
＋
a
n
＋
1
(
n
≥
2)
得数列
{
a
n
}
为等差数列
，
所以
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＝
3
a
4
＝
12
，即
a
4
＝
4
，
同理
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＝
3
a
3
＝
9
，即
a
3
＝
3
，
所以
a
1
＋
a
6
＝
a
3
＋
a
4
＝
7.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
解析
依题意可知，这个同学第
1
天，第
2
天，
…
跑的路程依次成首项为
5 000
，公差为
200
的等差数列
，
6.(2019·
新乡模拟
)
为了参加冬季运动会的
5 000 m
长跑比赛，某同学给自己制定了
7
天的训练计划：第
1
天跑
5 000 m
，以后每天比前
1
天多跑
200 m
，则这个同学
7
天一共将跑
A.39 200 m
B.39
300 m
C.39 400 m
D.39
500 m
√
A.38
B.20 C.10 D.9
解析
因为
{
a
n
}
是等差数列，所以
a
m
－
1
＋
a
m
＋
1
＝
2
a
m
，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
由
S
2
m
－
1
＝
38
知
a
m
≠
0
，所以
a
m
＝
2
，
即
(2
m
－
1)
×
2
＝
38
，解得
m
＝
10
，故选
C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
√
解析
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，
∵
3
a
2
，
2
a
3
，
a
4
成等差数列，
∴
2
×
2
a
3
＝
3
a
2
＋
a
4
，
∴
4
a
2
q
＝
3
a
2
＋
a
2
q
2
，化为
q
2
－
4
q
＋
3
＝
0
，
解得
q
＝
1
或
3.
又数列的各项均不相等，
∴
q
≠
1
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
9.(2019·
广东六校联考
)
将正奇数数列
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
…
依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：
(1
，
3)
，
(5
，
7
，
9)
，
(11
，
13)
，
(15
，
17
，
19)
，
…
，称
(1
，
3)
为第
1
组，
(5
，
7
，
9)
为第
2
组，依此类推，则原数列中的
2 019
位于分组序列中的
A.
第
404
组
B
.
第
405
组
C.
第
808
组
D
.
第
809
组
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
解析
正奇数数列
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
…
的通项公式为
a
n
＝
2
n
－
1
，
则
2 019
为第
1 010
个奇数
，
因为
按两项、三项分组
，
故
按
5
个一组分组是有
202
组
，
故
原数列中的
2 019
位于分组序列中的第
404
组，故选
A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
A.1 290
B.1
280
C.1
281
D.1
821
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
当
n
≥
2
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
(
n
＋
1)2
n
－
2
＋
1
，
故
a
9
＝
10
×
128
＋
1
＝
1 281.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
解析
由
S
n
＝
n
2
＋
4
n
，可得
a
n
＝
2
n
＋
3
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
二、填空题
(
本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
13.
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，其前
n
项和为
S
n
，若
a
4
＋
a
10
＝
0
，
2
S
12
＝
S
2
＋
10
，则
d
的值为
_____.
－
10
解析
由
a
4
＋
a
10
＝
0
，
2
S
12
＝
S
2
＋
10
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
∴
a
1
，
a
2
，
…
，
a
n
分别为－
1
，
0
，
5
，
0
，－
9
，
0
，
13
，
0
，－
17
，
0
，
21
，
0
，
…
，
归纳可得，每相邻四项和为
4
，
∴
S
2 019
＝
504
×
4
＋
a
2 017
＋
a
2 018
＋
a
2 019
＝
2 016
＋
[(
1
－
2
×2 017
)
＋
0
＋
(
2
×
2 019
－
1
)]
＝
2 016
＋
4
＝
2 020.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 020
16.(2019·
长沙长郡中学调研
)
已知点列
P
1
(1
，
y
1
)
，
P
2
(2
，
y
2
)
，
P
3
(3
，
y
3
)
，
…
，
P
n
＋
1
(
n
＋
1
，
y
n
＋
1
)
在
x
轴上的投影为
Q
1
，
Q
2
，
…
，
Q
n
＋
1
，且点
P
n
＋
1
满足
y
1
＝
1
，直线
P
n
P
n
＋
1
的
斜率
＝
2
n
.
则多边形
P
1
Q
1
Q
n
＋
1
P
n
＋
1
的面积为
____________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
3
×
2
n
－
n
－
3
解析
根据题意可得
y
n
＋
1
－
y
n
＝
2
n
，结合
y
1
＝
1
，应用累加法，可以求得
y
n
＋
1
＝
2
n
＋
1
－
1
，
根据题意可以将该多边形分成
n
个直角梯形计算，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为
S
＝
3(2
n
－
1)
－
n
＝
3
×
2
n
－
n
－
3.
三、解答题
(
本大题共
70
分
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
17.(10
分
)
已知
{
a
n
}
是以
a
为首项，
q
为公比的等比数列，
S
n
为它的前
n
项和
.
(1)
当
S
1
，
S
3
，
S
4
成等差数列时，求
q
的值；
解
由已知，得
a
n
＝
aq
n
－
1
，因此
S
1
＝
a
，
S
3
＝
a
(1
＋
q
＋
q
2
)
，
S
4
＝
a
(1
＋
q
＋
q
2
＋
q
3
).
当
S
1
，
S
3
，
S
4
成等差数列时，
S
4
－
S
3
＝
S
3
－
S
1
，
可得
aq
3
＝
aq
＋
aq
2
，化简得
q
2
－
q
－
1
＝
0.
(2)
当
S
m
，
S
n
，
S
l
成等差数列时，求证：对任意自然数
k
，
a
m
＋
k
，
a
n
＋
k
，
a
l
＋
k
也成等差数列
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
证明
若
q
＝
1
，则
{
a
n
}
的各项均为
a
，
此时
a
m
＋
k
，
a
n
＋
k
，
a
l
＋
k
显然成等差数列
.
若
q
≠
1
，由
S
m
，
S
n
，
S
l
成等差数列可得
S
m
＋
S
l
＝
2
S
n
，
整理得
q
m
＋
q
l
＝
2
q
n
.
因此
a
m
＋
k
＋
a
l
＋
k
＝
aq
k
－
1
(
q
m
＋
q
l
)
＝
2
aq
n
＋
k
－
1
＝
2
a
n
＋
k
，
所以
a
m
＋
k
，
a
n
＋
k
，
a
l
＋
k
成等差数列
.
解
∵
4
S
n
＝
5
a
n
－
5
，
∴
4
a
1
＝
5
a
1
－
5
，
∴
a
1
＝
5.
当
n
≥
2
时，
4
S
n
－
1
＝
5
a
n
－
1
－
5
，
∴
4
a
n
＝
5
a
n
－
5
a
n
－
1
，
∴
a
n
＝
5
a
n
－
1
，
∴
{
a
n
}
是以
5
为首项，
5
为公比的等比数列，
∴
a
n
＝
5·5
n
－
1
＝
5
n
.
∴
b
n
＝
log
5
5
n
＝
n
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
18.(12
分
)(2019·
安徽皖南八校联考
)
数列
{
a
n
}
的前
n
项和记为
S
n
，且
4
S
n
＝
5
a
n
－
5
，数列
{
b
n
}
满足
b
n
＝
log
5
a
n
.
(1)
求数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
19.(12
分
)(2019·
安徽皖中名校联考
)
已知数列
{
a
n
}
满足：
a
n
＋
1
＝
2
a
n
－
n
＋
1
，
a
1
＝
3.
(1)
设数列
{
b
n
}
满足：
b
n
＝
a
n
－
n
，求证：数列
{
b
n
}
是等比数列；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
又
b
1
＝
a
1
－
1
＝
3
－
1
＝
2
，
∴
{
b
n
}
是以
2
为首项，
2
为公比的等比数列
.
(2)
求出数列
{
a
n
}
的通项公式和前
n
项和
S
n
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
解
由
(1)
得
b
n
＝
2
n
，
∴
a
n
＝
2
n
＋
n
，
∴
S
n
＝
(2
1
＋
1)
＋
(2
2
＋
2)
＋
…
＋
(2
n
＋
n
)
＝
(2
1
＋
2
2
＋
…
＋
2
n
)
＋
(1
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
)
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20.(12
分
)(2019·
湖南衡阳八中月考
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
＝
2
a
n
－
n
(
n
∈
N
*
).
(1)
证明：
{
a
n
＋
1}
是等比数列；
证明
当
n
＝
1
时，
S
1
＝
2
a
1
－
1
，
∴
a
1
＝
1.
∵
S
n
＝
2
a
n
－
n
，
∴
S
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
1
－
(
n
＋
1)
，
∴
a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
1
，
∴
a
n
＋
1
＋
1
＝
2(
a
n
＋
1)
，
∴
{
a
n
＋
1}
是以
a
1
＋
1
＝
2
为首项，
2
为公比的等比数列
.
21
22
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
21
22
解
由
(1)
得
a
n
＋
1
＝
2
n
，
∴
b
n
＝
log
2
2
n
＝
n
，
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
21.(12
分
)(2019·
青岛调研
)
已知数列
{
a
n
}
的各项均为正数，其前
n
项和为
S
n
.
21
22
(2)
若
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2
，
b
n
＝
a
2
n
－
1
＋
a
2
n
，且数列
{
b
n
}
是公比为
3
的等比数列，求
S
2
n
.
解
S
2
n
＝
a
1
＋
a
2
＋
…
＋
a
2
n
＝
(
a
1
＋
a
2
)
＋
(
a
3
＋
a
4
)
＋
…
＋
(
a
2
n
－
1
＋
a
2
n
)
＝
b
1
＋
b
2
＋
…
＋
b
n
，
∵
b
1
＝
a
1
＋
a
2
＝
3
，
{
b
n
}
是公比为
3
的等比数列，
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
21
22
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
22.(12
分
)(2019·
湖南岳阳一中质检
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
S
n
＝
2
a
n
－
2.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
21
22
解
∵
S
n
＝
2
a
n
－
2
，
①
∴
S
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
1
－
2
，
②
∴②
－
①
得
a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
1
－
2
a
n
(
n
≥
1)
，
∴
{
a
n
}
是首项为
2
，公比为
2
的等比数列
.
∴
a
n
＝
2
n
.
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
21
22
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
21
22
当
n
＝
1
时，
b
1
＝
1
成立，
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