2021高考数学一轮复习课后限时集训42空间图形的基本关系与公理文北师大版2 8页

‎ 课后限时集训42‎ 空间图形的基本关系与公理 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．下列命题中，真命题的个数为(　　)‎ ‎①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； ‎ ‎②两条直线可以确定一个平面；‎ ‎③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；‎ ‎④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.‎ A．1 B．2　　　　‎ C．3　　　　 D．4‎ B　[根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]‎ ‎2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 A　[由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．]‎ ‎3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)‎ A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c C　[对于A，B，D，a与c可能相交、平行或异面，因此A，B，D不正确，根据异面直线所成角的定义知C正确．]‎ ‎4．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(　　)‎ A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上 - 8 -‎ C．点P必在平面DBC内 D．点P必在平面ABC外 A　[如图，因为EF平面ABC，而GH平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．]‎ ‎5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. D　[连接BC1，易证BC1∥AD1，‎ 则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．‎ 连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，‎ 则A1C1＝，A1B＝BC1＝，‎ 在△A1BC1中，由余弦定理得 cos∠A1BC1＝＝.]‎ 二、填空题 ‎6．已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有________条．‎ ‎4　[作出长方体ABCDEFGH.‎ 在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4条．]‎ ‎7．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为________．‎ ‎30°　[如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．‎ 由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1，‎ - 8 -‎ GE∥CD，且GE＝CD＝2，‎ ‎∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．‎ 又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.‎ 因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，‎ sin∠GEF＝＝，可得∠GEF＝30°，‎ ‎∴EF与CD所成角的度数为30°.]‎ ‎8．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，‎ ‎①GH与EF平行；‎ ‎②BD与MN为异面直线；‎ ‎③GH与MN成60°角；‎ ‎④DE与MN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ ‎②③④　[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．]‎ 三、解答题 ‎9．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.‎ 求证：(1)E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)三直线FH，EG，AC共点．‎ ‎[证明](1)连接EF，GH，‎ 因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD.‎ - 8 -‎ 又因为CG＝BC，CH＝DC，‎ 所以GH∥BD，所以EF∥GH，‎ 所以E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，所以设FH∩AC＝M，‎ 所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.‎ 又因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，‎ 所以M∈EG，所以FH，EG，AC共点．‎ ‎10．如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ ‎[解](1)S△ABC＝×2×2＝2，‎ 三棱锥PABC的体积为 V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．‎ 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎ ‎1．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小为(　　)‎ A．30°　　　　 B．60°‎ C．75° D．90°‎ D　[将正三棱柱ABCA1B1C1补为四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2，又因为BC1＝C1D＝ - 8 -‎ ‎，所以∠BC1D＝90°.]‎ ‎2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱CC1，A1D1的中点，则异面直线A1B与MN所成的角为(　　)‎ A．30°　　　B．45° C．60°　　　D．90°‎ A　[如图，取C1D1的中点P，连接PM，PN，CD1.‎ 因为M为棱CC1的中点，P为C1D1的中点，所以PM∥CD1，所以PM∥A1B，‎ 则∠PMN是异面直线A1B与MN所成角的平面角．‎ 设AB＝2，‎ 在△PMN中，PM＝PN＝，MN＝，‎ 则cos∠PMN＝＝，即∠PMN＝30°.‎ 故选A.]‎ ‎3.如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题：‎ ‎①直线MN平面PQR；‎ ‎②点K在直线MN上；‎ ‎③M，N，K，A四点共面．‎ 其中正确结论的序号为________．‎ ‎①②③　[由题意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，‎ 从而点M，N，K∈平面PQR.‎ 所以直线MN平面PQR，故①正确．‎ - 8 -‎ 同理可得点M，N，K∈平面BCD.‎ 从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确．‎ 因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．]‎ ‎4．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．‎ ‎(1)求四棱锥OABCD的体积；‎ ‎(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．‎ ‎[解](1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥OABCD的体积V＝×4×2＝.‎ ‎(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，‎ ‎∴ME∥OC，‎ 则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，‎ ‎∵()2＋()2＝()2，‎ 即DE2＋EM2＝MD2，‎ ‎∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，‎ ‎∴tan∠EMD＝＝＝.‎ ‎∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.‎ ‎5．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点．‎ - 8 -‎ ‎(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？‎ ‎[解](1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，‎ 所以GHAD.‎ 又BCAD，‎ 故GHBC.所以四边形BCHG是平行四边形．‎ ‎(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：‎ 由BEFA，G是FA的中点知，BEGF，‎ 所以EFBG.‎ 由(1)知BG∥CH，‎ 所以EF∥CH，故EC，FH共面．‎ 又点D在直线FH上，‎ 所以C，D，F，E四点共面．‎ ‎1．平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. A　[根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角．‎ 设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.‎ 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，‎ 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，‎ ‎∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.‎ ‎∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.‎ 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．‎ - 8 -‎ 在正方体ABCDA1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，‎ 故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.]‎ ‎2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. C　[如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBAE1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．‎ 连接DF，由题意，得DF＝＝，‎ FB1＝＝2，DB1＝＝.‎ 在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1cos∠DB1F，即5＝4＋5－2×2××cos∠DB1F，∴cos∠DB1F＝.]‎ - 8 -‎