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  • 2021-06-16 发布

浙江省宁波市鄞州中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com 鄞州中学2019-2020学年高一上学期期中考试 数学试题 一、选择题:每小题4分,共40分 ‎1.已知集合A=,集合B=,则=( )‎ A. (-∞,1)∪[3,+∞) B. (0,1)∪[3,5]‎ C. (0,1]∪(3,5] D. (0,5]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 再求集合的补集,再根据交集定义求解即可 ‎【详解】由,‎ 又,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查集合的交并补混合运算,属于基础题 ‎2.下列选项中与是同一函数的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断每一组函数对应的定义域是否相同,再判断化简之后的表达式是否一致,即可求解 ‎【详解】对A,,,对应的定义域中,故不是同一函数;‎ 对B,,与表达式不一致,故不是同一函数;‎ 对C,,,,是同一函数;‎ 对D,,,定义域不同,不是同一函数;‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查同一函数的判断,需满足两点:定义域相同,对应关系相同(化简后表达式相同),属于中档题 ‎3.函数与函数在同一平面直角坐标系内的图像可能是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于参数不能确定,可结合图像,选定一个函数图像,去分析参数的范围,以确定另一个函数图像的合理性 ‎【详解】对,若对数型函数经过,则且,则,指数型函数应单调递减,图形不符合,排除;‎ 对,若指数型函数经过,则,则应单调递减且向右平移一个单位,图像符合,正确;‎ 对,若指数型函数经过,则,,则应为增函数且向右平移一个单位,都不符合,排除;‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查同一坐标系中指数型函数和对数型函数图像的识别,函数图像的增减性,函数平移法则,属于中档题 ‎4.以下四组数中大小比较正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合指数函数、对数函数、幂函数性质即可求解 ‎【详解】对A,,故,错误;‎ 对B,在第一象限为增函数,故,错误;‎ 对C,为增函数,故,正确;‎ 对D,,,故,错误;‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查根据指数函数,对数函数,幂函数性质比较大小,属于基础题 ‎5.函数的单调递增区间为( )‎ A. (-∞,-3),(1,+∞) B. (-∞,-2),(2,+∞)‎ C. (-3,0),(3,+∞) D. (-2,0),(0,2)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可借鉴对勾函数性质辅助解题,将函数拼凑为,再根据对勾函数增减性特征解题即可 ‎【详解】,当且仅当时,即时,在对应位置函数增减性发生变化,如图:‎ 故函数对应的单调增区间为:(-∞,-3),(1,+∞)‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查对勾型函数增减性的判断,可熟记函数增减性的基本区间,其他对勾型函数求解方法基本一致,也可结合函数图像平移法则加以理解,属于中档题 ‎6.函数的值域为( )‎ A. (0,+∞) B. (-∞,1) C. (1,+∞) D. (0,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可上下同时除以,再结合反比例函数特点求解值域即可 ‎【详解】,,故令,在为减函数,当时,,故 故选:D ‎【点睛】本题考查具体函数值域的求法,属于基础题 ‎7.已知奇函数在区间(0,+∞)上单调递减,且满足,则的解集为( )‎ A. (0,2) B. (0,1)∪(1,2)‎ C. (-∞,0)∪(1,2) D. (0,1)∪(2,+∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意画出拟合图像,结合图像求解即可 ‎【详解】在上单调递减,,可画出拟合图像(不唯一),如图:‎ 若要,则需满足或,解得 故选:D ‎【点睛】本题考查根据函数的奇偶性与增减性解不等式,能画出图像,采用数形结合思想是解题关键,属于中档题 ‎8.设函数的定义域为,则下列表述中错误的是( )‎ A. 若幂函数(且互质)关于原点中心对称,则都是奇数 B. 若对任意的,都有,则函数关于直线对称 C. 若函数是奇函数,则函数的图像关于点中心对称 D. 函数的图像与函数的图像关于直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合奇函数性质可判断A正确;结合函数对称性可判断B,D正确;结合奇函数定义可判断C错;‎ ‎【详解】对A,若幂函数(且互质)关于原点中心对称,则一定有,即,则都是奇数,A正确;‎ 对B、D,对于任意的,都有,令,可得,‎ 即函数关于直线对称,函数的图像与函数的图像关于直线对称,B、D正确;‎ 对C,若函数是奇函数,对函数,当时,,,函数图像关于中心对称,C错误;‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查函数基本性质的判断,能应用奇偶性,对称性解题是关键,属于中档题 ‎9.已知函数为奇函数,当时,.若有三个不同实根,则三个实根的和的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先求出函数解析式,根据函数特征画出函数图像,再采用数形结合法求解即可 ‎【详解】为奇函数,当时,,,又,即,故,画出函数图像,如图:‎ 有三个不同实根,令,则等价于与图像有三个交点,,当时,,令,解得,则;同理,当时,当时,令,解得,则,所以三个实根的和的取值范围是 故选:B ‎【点睛】本题考查奇函数的对称性,方程根与函数交点问题的转化,数形结合思想的应用,属于中档题 ‎10.设二次函数,若函数与函数有相同的最小值,则实数的取值范围是( )‎ A (-∞,0]∪[2,+∞) B. (-∞,0]‎ C. (-∞,2] D. [2,+∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于参数的不确定性,可进行分类讨论,再结合二次函数对称轴和最值特点求解 ‎【详解】当时,,,,符合题意;‎ 当时,对称轴为,画出大致图像,‎ 令,,则,,显然能取到相同的最小值,符合;‎ 当时,对称轴为,,令,,要使与函数有相同的最小值,则需满足:,解得 综上所述,则 故选:C ‎【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质,含参分类讨论是解题关键,属于中档题 二、填空题:单空题每题4分,多空题每题6分 ‎11.已知分段函数,则_____,_____.‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数定义进行求解即可 ‎【详解】;,则 故答案为:2;0‎ ‎【点睛】本题考查分段函数具体函数值求法,属于基础题 ‎12.已知函数,则函数的定义域为_____,函数的定义域为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数型函数定义和分式性质进行求解即可 ‎【详解】由题可得:,解得,则函数的定义域为,对 则有,解得且,即函数的定义域为 故答案为:;‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数的定义域,具体函数的定义域,属于基础题 ‎13.已知函数对于任意的,恒有,则的解析式为___________,的定义域为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可采用拼凑法,,再采用整体代换法即可求解 ‎【详解】,令,则,即的解析式为,定义域为 ‎【点睛】本题考查换元法求函数解析式,属于基础题 ‎14.若,,则_________(用含a、b的式子表示);若, 则__________(用含c的式子表示).‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的性质和运算法则,再结合换底公式即可求解 ‎【详解】;‎ ‎,又,解得,‎ 故答案为:;‎ ‎【点睛】本题考查对数值的求法,对数的运算性质,换底公式的应用,属于中档题 ‎15.设函数,若,则______.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察函数特点,应满足部分为奇函数,可设,再令分别等于1和-1即可求解 ‎【详解】由题可知,部分表达式满足奇函数特点,令,则,为奇函数,,解得,‎ 故 故答案为:-4‎ ‎【点睛】本题考查奇函数性质应用,具体函数值的求法,属于中档题 ‎16.已知分段函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可画出与的图像,再根据函数有三个零点进一步判断实数的取值范围即可 ‎【详解】由题,先画出与的图像,如图:‎ 由图可知,要使分段函数存在三个零点,则图中三个点必须存在,则只有在时才满足;‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查函数图像零点个数判断问题,数形结合思想,属于中档题 ‎17.不等式对任意恒成立,则___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将不等式转化为①或②,进一步求解即可 ‎【详解】由题可知等价于①或②,先解①,,即,‎ 又,所以,解得,等价于,要使不等式对任意恒成立,只能取到;‎ ‎②显然无解;‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】本题考查不等式的转化,绝对值不等连式的应用,二次函数恒成立问题的转化,属于中档题 三、解答题:5小题,共74分 ‎18.设全集为,集合,集合,其中.‎ ‎(1)若,求集合;‎ ‎(2)若集合、满足,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别对集合和集合进行化简,再求即可;‎ ‎(2)根据子集定义求解即可,不要忽略的情况 ‎【详解】(1)集合中,根据高次不等式解得,‎ 当时,集合,则,,则;‎ ‎(2)若满足,当集合时,即时,解得;当时,分两种情况,第一种:,无解,第二种情况:,解得,综上所述,‎ ‎【点睛】本题考查集合交并补的混合运算,根据包含关系求参数,属于基础题 ‎19.知是定义在上的函数,对定义域内的任意实数、,都有,且当时,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)用定义证明在上的单调性;‎ ‎(3)若,解不等式.‎ ‎【答案】(1)0(2)在上为减函数,证明见详解(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)可采用赋值法,令,即可求解;‎ ‎(2)可令,结合单调性定义进行求解即可;‎ ‎(3)观察式子特点可知,,再结合增减性解不等式即可;‎ ‎【详解】(1)令,得,解得;‎ ‎(2)在上为减函数,证明如下:‎ 设,则,有,令,则有,变形得,故在上为减函数;‎ ‎(3)令得,,则,由(2)可知,函数在上为减函数,故,解得 ‎【点睛】本题考查抽象函数具体值的求法,单调性的证明,由函数增减性解不等式,属于中档题 ‎20.已知函数().‎ ‎(1)若,求函数在上的值域;‎ ‎(2)若,解关于的不等式;‎ ‎(3)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,,先求在值域,再求的值域即可;‎ ‎(2)结合指数函数的单调性进行求解即可;‎ ‎(3)对底数进行分类讨论,确定的增减性,再根据复合函数同增异减,结合二次函数进一步判断的取值范围即可 ‎【详解】(1)当时,,令,的对称轴为,当,,,故,;‎ ‎(2)当时,,等价于 即,即,化简得,‎ 即;‎ ‎(3)当时为减函数,又,的对称轴为,要使函数在区间上单调递增,则需满足,解,则;‎ 当时,为增函数,要使函数在区间上单调递增,则需满足,解得,则;‎ 综上所述,‎ ‎【点睛】本题考查指数型复合函数值域的求法,根据函数增减性解不等式,由函数的增减性求参数范围,属于中档题 ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)若,用列举法表示函数的零点构成的集合;‎ ‎(2)若关于的方程在上有两个解、,求的取值范围,并证明.‎ ‎【答案】(1)(2);证明过程见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,,分类讨论去绝对值,再求零点即可;‎ ‎(2)去掉绝对值,将表示成分段函数,分段讨论方程根的情况,可判断两根一个在,一个在,再结合具体函数进行求证即可 ‎【详解】(1)时,,‎ 若或,令,‎ 得或(舍去),‎ 若,令,得,‎ 综上,函数的零点为,,故对应集合为;‎ ‎(2),‎ 因为方程在上至多有1个实根,‎ 方程,在,上至多有一个实根,‎ 结合已知,可得方程在上的两个解,中的1个在,‎ ‎1个在,不妨设,,,设,‎ 数形结合可分析出,解得,‎ ‎,,,,‎ 令,,在上递增,当时,,‎ 因为,‎ 所以;‎ ‎【点睛】本题考查绝对值函数的解法,函数零点的求法,分段函数零点的判断与求解,属于中档题 ‎22.已知函数,函数,其中实数.‎ ‎(1)当时,对恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)设,若不等式在上有解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由可判断的取值范围,将变形成,再结合对称轴与区间的关系进一步讨论即可;‎ ‎(2)可先判断函数的对称性,再由可确定,为两函数的一个交点,再讨论与的大小关系,结合图像进一步确定的图像,再根据在上有解求解参数范围即可 ‎【详解】(1)由题可知,要使当时,对恒成立,即对于恒成立,,,;‎ 当时,即时,在单增,,解得;‎ 当时,即时,在单减,,无解;‎ 当时,即时,满足,无解;‎ 综上所述,‎ ‎(2),,‎ ‎,,,;‎ 当时,即,即,解得,‎ 求的交点,即,解得,‎ 将代入,得,解得,则,‎ 当时,解得,函数图像如图所示,则,无解,‎ 综上所述 ‎【点睛】本题考查含参二次函数在定区间满足某条件的参数求法,新定义函数能成立问题的求解,绝对值函数的应用,属于难题 ‎ ‎

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