宁夏青铜峡市高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题 15页

青铜峡市高级中学吴忠中学青铜峡分校2020学年第二学期高二年级数学(文)期中试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.若，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，逐一分析四个选项的真假，可得答案.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的基本性质，难度不大，属于基础题.‎ ‎2.复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，得到答案.‎ ‎【详解】，复数对应象限第二象限.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的化简，复数对应象限，属于简单题.‎ ‎3.平面直角坐标系下的点的极坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由于点在第三象限，则可取 则点的极坐标是 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了直角坐标化极坐标，属于基础题.‎ ‎4.不等式的解集是( )‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接解绝对值不等式得到答案.‎ ‎【详解】，则或，解得或.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.已知复数，则( )‎ A. 3 B. ‎5 ‎C. D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，再计算模得到答案.‎ ‎【详解】，故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6.某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为121的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2：4：2：3，则该样本中D类产品的数量为( )‎ A. 22件 B. 33件 C. 44件 D. 55件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用分层抽样的比例关系得到答案.‎ ‎【详解】样本中D类产品的数量为：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题.‎ ‎7.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有600名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图.则获得复赛资格的人数为( )‎ A. 640 B. ‎520 ‎C. 390 D. 240‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过频率分布直方图，得到成绩大于90分的频率，再根据共有600名学生参加了初赛求解.‎ ‎【详解】由频率分布直方图得：成绩大于90分的频率为：，‎ 又因为共有600名学生参加了初赛，‎ 所以获得复赛资格的人数为，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎8.某学校从编号依次为001，002，…，180的180个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中前两组的编号分别为8，23，则该样本中最后一组的学生的编号为( )‎ A. 008 B. ‎170 ‎C. 180 D. 173‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过系统抽样，根据样本中前两组的编号分别为8，23，得得到间隔，进而求得样本容量，然后根据等间距求解.‎ ‎【详解】因为是系统抽样的方法抽取一个样本，‎ 由样本中前两组的编号分别为8，23，‎ 得间隔为：，‎ 所以样本容量为，‎ 所以该样本中最后一组的学生的编号为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了系统抽样的概念，还考查了理解辨析、运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎9.已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点( )‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎1.5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2.5‎ ‎3.5‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归方程必过样本点求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 所以与的线性回归方程必过点.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎10.已知实数a，b满足（其中i为虚数单位），则复数的共轭复数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【详解】实数满足(其中为虚数单位)， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴ ， ‎ ‎∴， 则复数的共轭复数为． ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎11.某外卖企业两位员工今年月某天日派送外卖量的数据（单位：件），如茎叶图所示针对这天的数据，下面说法错误的是（ ）‎ A. 阿朱的日派送量的众数为 B. 阿紫的日派送量的中位数为 C. 阿朱的日派送量的中位数为 D. 阿朱的日派送外卖量更稳定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图的数据计算出阿朱和阿紫的日派送量的众数和中位数，可判断A、B、C选项的正误，根据阿朱和阿紫的日派送量数据的分布情况可可判断D选项的正误.‎ ‎【详解】由茎叶图可知，阿朱的日派送量由小到大分别为、、、、、、、、、，众数为，中位数为，‎ 阿紫的日派送量由小到大分别为、、、、、、、、、，中位数为，‎ 由茎叶图可知，阿朱的日派送量数据相对集中，阿紫的日派送量数据相对分散，所以，阿朱的日派送外卖量更稳定.‎ 所以，A、B、D选项正确，C选项错误.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用茎叶图计算众数和中位数，同时也考查了利用茎叶图的数据分布来比较样本的稳定性，考查数据分析能力，属于基础题.‎ ‎12.已知圆的参数方程为：（为参数），则圆心到直线 的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由参数方程可求得圆心的坐标，进而可求得圆心到直线的距离.‎ ‎【详解】由参数方程可知，圆心的坐标为，‎ 因此，圆心到直线的距离为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查点到直线距离的计算，同时也考查了圆的参数方程，考查计算能力，属于基础题.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.观察下列各式：，，，，，则_________ ．‎ ‎【答案】76‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从所给式子归纳呈现的规律，可得结论.‎ ‎【详解】观察，，，，,不难发现后一项的数值是它前面相邻两项数值的和，‎ 所以故答案为76.‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳推理，根据所给项观察出内含的规律是解决此类问题的关键.‎ ‎14.某中学生一周内每日睡眠时间分别是6，8，7，x，8，10，9(单位：小时)，若该组数据的平均数为8，则该组数据的方差为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知求出，再利用方差公式求解即可.‎ ‎【详解】由题得 所以该组数据的方差为：‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎15.若关于x的不等式的解集为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用绝对值的性质解不等式后与已知比较可求得．‎ ‎【详解】由得，即，‎ 所以，解得，所以．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式，掌握绝对值的性质是解题关键．‎ ‎16.某企业计划投入产品的广告费x（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）有如下对应数据：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎15‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎40‎ 由表中数据得线性回归方程为.投入的广告费时，销售额的预报值为_______百万元.‎ ‎【答案】62‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出中心点后得系数，然后可得预报值．‎ ‎【详解】由题意，，‎ 所以，，即回归方程是，‎ 时，，‎ 故答案为：62．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归直线方程，掌握回归直线的性质是解题关键．回归直线一定过中心点．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.‎ ‎17.在极坐标系中，圆C极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）.‎ ‎（1）写出圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）求直线l被圆C所截得弦长.‎ ‎【答案】（1），；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，可直接得出圆的直角坐标方程；根据直线的参数方程消去参数，可直接得出直线的普通方程；‎ ‎（2）用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，根据几何法求出弦长即可.‎ ‎【详解】（1）圆C的极坐标方程，可化为，‎ 化为直角坐标方程为:，‎ 即 直线（t为参数）的普通方程为；‎ ‎（2）圆心到直线的距离，∴直线l过圆心，‎ ‎∴弦长.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可求解.‎ ‎18.某市图书馆准备进一定量的书籍，由于不同年龄段对图书的种类需求不同，为了合理配备资源，现对该市看书人员随机抽取了一天60名读书者进行调查.将他们的年龄分成6段：，后得到如图所示的频率分布直方图，问：‎ ‎（1）在60名读书者中年龄分布在的人数；‎ ‎（2）估计60名读书者年龄的平均数和中位数.‎ ‎【答案】（1）36人；（2）54，55.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）从频率分布直方图中求出读书者中年龄分布在的频率，由此求得在60名读书者中年龄分布在的人数.‎ ‎（2）利用每组中点乘以对应的频率再相加，求得平均数的估计值；通过从左边开始，频率之和为的位置，由此求得中位数.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，‎ 所以60名读书者中年龄分布在的人数为人.‎ ‎（2）60名读书者年龄的平均数为：‎ ‎，‎ 设中位数为，则，‎ 解得，‎ 即60名读书者年龄的中位数为55.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图求频数，考查利用频率分布直方图估计平均数和中位数，属于基础题.‎ ‎19.某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的50名学生中有40人比较细心，另外10人比较粗心；在数学成绩不及格的50名学生中有20人比较细心，另外30人比较粗心.‎ ‎（1）试根据上述数据完成列联表：‎ 数学成绩及格 数学成绩不及格 合计 比较细心 ‎40‎ 比较粗心 合计 ‎50‎ ‎100‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？‎ ‎0.15‎ ‎010‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；（2）能 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意填写2×2列联表即可；（2）根据2×2列联表求得K2的观测值，对照临界值表即可得出结论．‎ ‎【详解】（1）填写的列联表如下：‎ 数学成绩及格 数学成绩不及格 合计 比较细心 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 比较粗心 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎（2）根据列联表可以求得的观测值 所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，准确计算是关键，是基础题．‎ ‎20.《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：‎ 年龄 ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 每周学习诗词的平均时间 ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（1）由表中数据分析，与呈线性相关关系，试求线性回归方程；‎ ‎（2）预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.‎ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：‎ ‎【答案】（1）；（2）4.5小时.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用最小二乘法求出线性回归方程；‎ ‎（2）由（1）得，将代入即可求出结果.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎；‎ ‎（2）当x=60时，‎ ‎.‎ 答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.5小时.‎ ‎【点睛】本题主要考查了运用最小二乘法求解线性回归方程，考查了学生的运算求解能力.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）去绝对值分类讨论，转化为解一元一次不等式；‎ ‎（2）根据绝对值不等式性质，求出，转化为解关于的一元二次不等式，即可求得结论.‎ ‎【详解】（1）当时，不等式化为，‎ 得，即；‎ 当时，不等式化为成立，即；‎ 当时，不等式化为，‎ 得，即；‎ 综上所述，所求不等式的解集为；‎ ‎（2），‎ 若恒成立，则，‎ 解得：，‎ 所以实数的取值范围.‎ ‎【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，考查转化与化归的思想，考查学生的运算求解能力.‎ ‎22.在直角坐标系中，已知曲线以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线 的交点为，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用公式直接将曲线普通方程化为极坐标方程即可；‎ ‎（2）将直线的极坐标方程分别代入曲线与曲线的极坐标方程，求出两点的极径，得到长度，再由点坐标，求出的高，从而可求出的面积.‎ ‎【详解】（1）由题意知，曲线的普通方程为，‎ 将代入，化简得，曲线的极坐标方程为；‎ ‎（2）设点，的极坐标分别为，‎ 则由，可得极坐标为，‎ 由，可得的极坐标为，‎ ‎∵，∴，‎ 又到直线的距离为，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的弦长问题，熟记公式即可，考查学生的运算求解能力.‎