广东省深圳市高级中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题 20页

深圳高级中学(集团）2019-2020学年高三第一次测试 文科数学 一：选择题。‎ ‎1.集合，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由及，则，故选项为B.‎ 考点：（1）绝对值不等式的解法；（2）集合的运算.‎ ‎2.若复数，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，．‎ 所以的虚部为．故D正确．‎ 考点：复数的运算．‎ ‎3.已知向量，若，则的值为(　　)．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于，故，解得.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量平行的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α）的值．‎ ‎【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），‎ ‎∴tanα，则tan（α）3，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．‎ ‎5.下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项逐一分析函数的定义域和单调性，由此得出正确结论.‎ ‎【详解】对于A选项，函数的定义域为，在上递减，在上递增，不符合题意.‎ 对于B选项，函数的定义域为，在上递减，不符合题意.‎ 对于C选项，函数的定义域为，由于，故函数在上递增，符合题意.‎ 对于D选项，函数的定义域为，且在定义域上递减.‎ 综上所述，本小题选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性的判断，考查利用导数判断函数的单调性，属于基础题.‎ ‎6.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由等比数列的性质可得成等比，故选D.‎ ‎7.设函数，，“是偶函数”是“图象关于原点对称”（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．反之不成立，例如f（x）＝x2．‎ ‎【详解】“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．‎ 反之不成立，例如f（x）＝x2，满足y＝|f（x）|是偶函数，x∈R．‎ 因此，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎8.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是（ ）（参考数据：，，）‎ A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，‎ 两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.‎ ‎【考点】增长率问题，常用对数的应用 ‎【名师点睛】本题考查等比数列实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．‎ ‎9.将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数的最大值是 B. 函数的最小正周期为 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图像关于直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后利用三角函数的变换求解再根据正弦函数的性质进行判断即可．‎ ‎【详解】化简得，向右平移后可得，再把所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标长度不变）得到函数，‎ 所以，‎ 由三角函数性质知：的最大值为，故A错；‎ 最小正周期为，故B错；‎ 对称轴为，，给k赋值，x取不到，故D错；‎ 又-，则-，‎ ‎∴单调增区间为，，‎ 当k=0时，单调增区间为故C正确，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象变换，两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，属于基础题．‎ ‎10.如图，平面四边形ABCD中，E、F是AD、BD中点，AB＝AD＝CD＝2， BD＝2 ，∠BDC ‎＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△，使平面⊥平面BCD，则四面体中，下列结论不正确是 ( )‎ A. EF∥平面 B. 异面直线CD与所成的角为90°‎ C. 异面直线EF与所成的角为60°‎ D. 直线与平面BCD所成的角为30°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线平行判定定理、异面直线所成角、直线与平面所成角等知识对选项A、B、C、D进行逐一判断其正确与否.‎ ‎【详解】解：选项A：因为E、F是AD、BD中点，‎ 所以，‎ 因为平面，‎ 平面，‎ 所以EF∥平面，‎ 所以选项A正确；‎ 选项B：因为平面⊥平面BCD，‎ 平面平面BCD，‎ 且∠BDC＝90°，即，‎ 又因为平面BCD，‎ 故平面，‎ 故，‎ 所以异面直线CD与所成的角为90°，‎ 选项B正确；‎ 选项C：由选项B可知平面，‎ 所以，‎ 因为AD＝CD＝2，‎ 即＝CD＝2，‎ 所以由勾股定理得，，‎ 中，‎ BC＝，‎ 在中，‎ ‎，‎ 故，即，‎ 因为，‎ 所以，‎ 故选项C错误；‎ 选项D：连接 因为 所以 因为是中点，‎ 所以，‎ 因为平面⊥平面BCD，‎ 平面平面BCD，‎ 又因为平面，‎ 故平面，‎ 所以即为直线与平面BCD所成的角，‎ 在中，，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故直线与平面BCD所成角为30°，‎ 故选项D正确，‎ 本题不正确的选项为C，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，解题的关键是要能准确运用线面平行的判定定理给与证明，能准确分析出线线、线面所成角等.‎ ‎11.已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，原不等式等价于两次求导可证明在上递减，从而可得结论.‎ ‎【详解】由题意，，，‎ 设，‎ ‎，‎ 设，‎ ‎，‎ 在单调递减，且，‎ ‎,‎ 所以在递减，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出；（2）令 求出的范围，可得增区间；（3）令求出的范围， 可得减区间.‎ ‎12.已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式，画出函数的图像，根据，可知与图像有两个不同的交点，结合图像求得正确选项..‎ ‎【详解】由于为正实数，故排除B选项.当时，，所以，由此画出函数图像如下图所示. 由于与相切时，不满足题意；所以 .‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题．‎ ‎13.函数的值域为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查对数型的复合函数值域问题，关键是能够求解出真数所处的范围，再结合对数函数求得值域.‎ ‎【详解】‎ 且 ‎ 值域为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查对数型的复合函数的值域问题，属于基础题.‎ ‎14.若，则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式将已知条件左边展开，化简后求得的值.‎ ‎【详解】由得，，‎ ‎，‎ ‎.所以.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两角和与差的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为，这个数列的前项和_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据“等和数列”的定义找到数列的规律，找到的规律，由此求得的表达式.‎ ‎【详解】根据“等和数列”的定义可知，数列的规律为 即奇数项为，偶数项为. .‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义数列，考查数列求和的方法，考查分析与求解问题的能力，属于基础题.‎ ‎16.已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析： 三棱锥展开后为一等边三角形，设此此三角形的边长为．则，得．所以三棱锥的棱长为，可得棱长的高设内切球的半径为，，得，所以.‎ 考点：1.空间几何的性质；2.球的体积公式.‎ 三、解答题（解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．‎ ‎【答案】330‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先设数列的公差为，首项为，根据成等比数列可知，可求得与的值，进而求得，利用等差数列求和公式可得结果.‎ 试题解析：设数列的公差为，则，， ．由成等比数列得，即 ‎，整理得， 解得或．当时，．当时，，于是 ．‎ ‎18.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求周长的最大值。‎ ‎【答案】（1）；（2）12‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本题考察的是解三角形的相关问题，根据题意利用正弦定理，进行化简，即可求得角的大小 ‎（2）已知，要求三角形的周长最大值，只要求出的最大值即可，根据余弦定理和基本不等式建立相应的不等式，即可求出所求的最大值．‎ 试题解析：（1）依正弦定理可将 化 又因为在中，，所以有，‎ 即，∴．‎ ‎（2）因为的周长，‎ 所以当最大时，的周长最大．‎ 因为，即，‎ 即（当且仅当时等号成立）‎ 所以周长的最大值为12．‎ 考点：解三角形相关问题 ‎19.已知数列的前项和为，．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）求．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用化简已知条件，得到，由此证得数列是等差数列.（2）由（1）求得的表达式，然后利用裂项求和法求得表达式的值.‎ ‎【详解】（1）证明：因为当时，，‎ 所以．所以, ‎ 因为所以，所以，‎ 所以． ‎ 所以是以为首项，以1为公差的等差数列． ‎ ‎（2）由（1）可得，所以 所以 所以1‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知递推关系式证等差数列，考查裂项求和法，属于基础题.‎ ‎20.在△ABC中，,点D在线段AC上，且,‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求BC和AC的长 ‎【答案】(1) ；(2) BC=3，AC=3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式，求得的值.（2）设出的长，在三角形、、中，分别用余弦定理列方程，解方程求得，进而求得的长.‎ ‎【详解】(1).‎ ‎(2)设则 在中，,‎ 即…① ‎ 在中，，，‎ 由得…② ‎ 由①、②解得，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查二倍角公式，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎21.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.‎ ‎(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；‎ ‎(2)求三棱锥P－ABC体积的最大值；‎ ‎(3)若，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明AC⊥DO，PO⊥AC，再证明AC⊥平面PDO；（2）当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1，再求三棱锥P－ABC体积的最大值；（3）先证明PB＝PC＝BC，在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．再求其最小值.‎ ‎【详解】(1)证明：在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO.‎ 又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC.‎ 因为DO∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO.‎ ‎(2)解：因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.‎ 又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为.‎ 又因为三棱锥P－ABC的高PO＝1，‎ 故三棱锥P－ABC体积的最大值为.‎ ‎ (3)解：‎ 在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，‎ 所以.‎ 同理，所以PB＝PC＝BC.‎ 在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．‎ 当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．‎ 又因为OP＝OB，，所以垂直平分PB，即E为PB的中点．‎ 从而，‎ 即CE＋OE的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．‎ ‎22.函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) 或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得函数的导函数和定义域，对分成等种情况，分类讨论函数的单调性.（2）将分离常数化为，构造函数 ‎，利用导数求得的单调性和最值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）， ‎ ‎（i）当时，，令,得，令,得，‎ 函数在上单调递增，上单调递减； ‎ ‎（ii）当时，令，得, ‎ 令,得，令,得，‎ 函数在和上单调递增，上单调递减； ‎ ‎（iii）当时，，函数f(x)在上单调递增； ‎ ‎（iv）当时，‎ 令,得，令,得 函数在和上单调递增，上单调递减； ‎ 综上所述：当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 ‎（2）当时，，由，得，‎ 又，所以，要使方程在区间上有唯一实数解，‎ 只需有唯一实数解， ‎ 令，∴，‎ 由得；得，‎ ‎∴在区间上是增函数，在区间上是减函数.‎ ‎，，，故或 ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎