江苏省南京市金陵中学2021届高三数学上学期学情调研测试（一）试题（Word版附解析） 19页

金陵中学 2021 届高三年级学情调研测试（一） 数学试卷 命题人： 审核： 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 已知集合 A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|lnx＞0}，则(∁RA)∩B＝ ( ) A．∅ B．(0，4] C．(1，4] D．(4，＋∞) 2. 设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋b i 为纯虚数”的 ( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3. 下列命题中正确的是 ( ) A．若 a＞b，则 ac＞bc B．若 a＞b，c＞d，则 a－c＞b－d C．若 ab＞0，a＞b，则 1 a ＜ 1 b D．若 a＞b，c＞d，则 a c ＞ b d 4. 已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a4＝ 1 8 ，S3－a1＝ 3 4 ，则 S5＝ ( ) A． 31 32 B． 31 16 C． 31 8 D． 31 4 5. (x－1)(2x＋1)10 的展开式中 x10 的系数为 ( ) A．－512 B．1024 C．4096 D．5120 6. 某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 N(105，σ2)(σ＞0)，试 卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀(高于 120 分)的人数占总人数的 1 5 ，则此次数学考试 成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为( ) A．150 B．200 C．300 D．400 7. 如图，过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，交其准线于点 C，若|BC| ＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为 ( ) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝ 3x 8. 已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 P，直线 l：4x－3y＝0 与椭 圆 C 相交于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝6，点 P 到直线 l 的距离不小于 6 5 ，则椭圆离心率的取 值范围是 ( ) A．(0， 5 9 ] B．(0， 3 2 ] C．(0， 5 3 ] D．( 1 3 ， 3 2 ] 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9. 若函数 f(x)＝sin(2x－ π 3 )与 g(x)＝cos(x＋ π 4 )都在区间(a，b)(0＜a＜b＜π)上单调递减，则 b－a 的可 能取值为 ( ) A． π 6 B． π 3 C． π 2 D． 5π 12 10. 下列说法中正确的是 ( ) A．设随机变量 X 服从二项分布 B(6，1 2 )，则 P(X＝3)＝ 5 16 B．已知随机变量 X 服从正态分布 N(2，σ2)且 P(X＜4)＝0.9，则 P(0＜X＜2)＝0.4 C．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3 D．已知随机变量 ξ 满足 P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若 0＜x＜1 2 ，则 E(ξ)随着 x 的增大而减小， D(ξ)随着 x 的增大而增大 11. 下列四个命题中，是真命题的是 ( ) A．∀x∈R，且 x≠0，x＋1 x ≥2 B．若 x＞0，y＞0，则 x2＋y2 2 ≥ 2xy x＋y C．函数 f(x)＝x＋ 2－x2值域为[－ 2，2] D．已知函数 f(x)＝|x＋9 x ＋a|－a 在区间[1，9]上的最大值是 10，则实数 a 的取值范围为[－8，＋ ∞) 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…， 其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称 为“斐波那契数列”，记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则下列结论正确的是 ( ) A．a6＝8 B．S7＝33 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2022 D． a 2 1＋a 2 2＋…＋a 2 2019 a2019 ＝a2020 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知向量→ a ＝(2，－6)，→ b ＝(3，m)，若|→ a ＋→ b |＝|→ a －→ b |，则 m＝ ▲________． 14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生 2 人、高二学生 2 人、高三学生 1 人参加 A、B、C 三 个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少 1 人，最多 2 人参与，同一个年级的学生不去同一 个志愿点，高三学生不去 A 志愿点，则不同的安排方法有 ▲________种(用数字作答)． 15. 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 内有一个与各个面均相切的球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，则 AA1 的长度为 ▲________． 16. 已知函数 f(x)＝{k(1－sdo1(f(2,x)))，x＜0， x2－2k，x ≥ 0， 若函数 g(x)＝f(－x)＋f(x)有且仅有四个不同的零 点，则实数 k 的取值范围是 ▲________． 四、解答题：本题共 6 小题，第 17 题 10 分，其余每小题 12 分，共 70 分． 17. 现给出两个条件：①2c－ 3b＝2acosB，②(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，从中选出一个条件补充在 下面的问题中，并以此为依据求解问题． 在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，________． (1)求 A； (2)若 a＝ 3－1，求△ABC 周长的最大值． 18. 已知数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 Sn2＝an(Sn－ 1 2 )． (1)求 Sn 的表达式； (2)设 bn＝ Sn 2n＋1 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 19. 如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． (1)证明：MN∥平面 PAB； (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值． 20. 成都市现在已是拥有 1 400 多万人口的城市，机动车保有量已达 450 多万辆，成年人中约 40% 拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行 了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了 200 名成年人，然后对这 200 人进行问卷调查．这 200 人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规 定分数在 80 以上(含 80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示． 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 不具有很强安全意识 58 总计 200 (1)补全上面的 2×2 列联表，并判断能否有超过 95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有 驾驶证有关? (2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取 4 人，记“具有很强安全意识” 的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望． 附表及公式：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ，其中 n＝a＋b＋c＋d． P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21. 已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)，点(1， 3 2 )在椭圆 C 上，点 A(－3c，0)满足以 AF2 为直径的圆过椭圆的上顶点 B． (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知直线过右焦点 F2 且与椭圆 C 交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在点 P(t，0)使得PM → ·PN → 为定值?如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，说明理由． 22. 已知 f(x)＝ax3－3x2＋1(a＞0)，定义 h(x)＝max{f(x)，g(x)}＝{f(x)，f(x) ≥ g(x)， g(x)，f(x)＜g(x)． (1)求函数 f(x)的极小值； (2)若 g(x)＝xf '(x)，且存在 x∈[1，2]使 h(x)＝f(x)，求实数 a 的取值范围； (3)若 g(x)＝lnx，试讨论函数 h(x)(x＞0)的零点个数． 金陵中学高三年级学情调研测试（一） 数学试卷 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 已知集合 A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|lnx＞0}，则(∁RA)∩B＝( ) A．∅ B．(0，4] C．(1，4] D．(4，＋∞) 答案：C 解析：易得 A＝{x|x＜－1 或 x＞4}，B＝{x|x＞1}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤4}，(∁RA)∩B＝(1， 4]． 2. 设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋b i 为纯虚数”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为复数 a＋b i ＝a－bi 为纯虚数，所以 a＝0 且 b≠0，所以“ab＝0”是“复数a＋b i 为纯虚线” 的必要不充分条件． 3. 下列命题中正确的是( ) A．若 a＞b，则 ac＞bc B．若 a＞b，c＞d，则 a－c＞b－d C．若 ab＞0，a＞b，则 1 a ＜ 1 b D．若 a＞b，c＞d，则 a c ＞ b d 答案：C 4. 已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a4＝ 1 8 ，S3－a1＝ 3 4 ，则 S5＝( ) A． 31 32 B． 31 16 C． 31 8 D． 31 4 答案：B 解析：由题得{a1q3＝ 1 8 ， a1(1－q3) 1－q －a1＝ 3 4 ， 解得 a1＝1，q＝ 1 2 ，所以 S5＝ a1(1－q5) 1－q ＝ 1－ 1 32 1－ 1 2 ＝ 31 16 ． 5. (x－1)(2x＋1)10 的展开式中 x10 的系数为( ) A．－512 B．1024 C．4096 D．5120 答案：C 解析：展开式中 x10 的项为 xC 1 10(2x)9－C 0 10(2x)10＝(C 1 10·29－C 0 10·210)x10， 所以，展开式中 x10 的系数为 C 1 10·29－C 0 10·210＝4096． 6. 某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 N(105，σ2)(σ＞0)，试 卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀(高于 120 分)的人数占总人数的 1 5 ，则此次数学考试 成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为( ) A．150 B．200 C．300 D．400 答案：C 解析：因为 P(X≤90)＝P(X≥120)＝0.2，所以 P(90≤X≤120)＝1－0.4＝0.6，所以 P(90≤X≤105)＝ 1 2 P(90≤X≤120)＝0.3，所以数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 1000×0.3＝300． 7. 如图，过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，交其准线于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为( ) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝ 3x 答案：B 解析：如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|＝a，则由 已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°． 在 Rt△ACE 中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以 6＋3a＝12，得 a＝ 2，|FC|＝3a＝6，所以 p＝|FG|＝1 2 |FC|＝3，因此抛物线方程为 y2＝6x． 8. 已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 P，直线 l：4x－3y＝0 与椭 圆 C 相交于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝6，点 P 到直线 l 的距离不小于 6 5 ，则椭圆离心率的取 值范围是( ) A．(0， 5 9 ] B．(0， 3 2 ] C．(0， 5 3 ] D．( 1 3 ， 3 2 ] 答案：C 解析：设椭圆的左焦点为 F'，根据椭圆的对称性可得|AF'|＝|BF|，|BF'|＝|AF|，所以 |AF'|＋|AF|＝|BF|＋|AF|＝6＝2a，解得 a＝3． 因为点 P 到直线 l 的距离不小于 6 5 ，所以 3b 42＋(－3)2 ≥ 6 5 ，解得 b≥2． 又 b＜a，所以 2≤b＜3，故 2 3 ≤ b a ＜1． 所以离心率 e＝ c a ＝ 1－ b2 a2 ∈(0， 5 3 ]． 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9. 若函数 f(x)＝sin(2x－ π 3 )与 g(x)＝cos(x＋ π 4 )都在区间(a，b)(0＜a＜b＜π)上单调递减，则 b－a 的可 能取值为( ) A． π 6 B． π 3 C． π 2 D． 5π 12 答案：AB 解析：考虑 f(x)与 g(x)在(0，π)上的单调性，可得函数 f(x)＝sin(2x－ π 3 )在( 5π 12 ， 11π 12 )上单调递减，g(x)＝ cos(x＋ π 4 )在(0， 3π 4 )上单调递减，所以这两个函数在区间( 5π 12 ， 3π 4 )上单调递减，因此 b－a≤ 3π 4 － 5π 12 ＝ π 3 ． 10. 下列说法中正确的是( ) A．设随机变量 X 服从二项分布 B(6，1 2 )，则 P(X＝3)＝ 5 16 B．已知随机变量 X 服从正态分布 N(2，σ2)且 P(X＜4)＝0.9，则 P(0＜X＜2)＝0.4 C．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3 D．已知随机变量 ξ 满足 P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若 0＜x＜1 2 ，则 E(ξ)随着 x 的增大而减小， D(ξ)随着 x 的增大而增大 答案：ABD 解析：设随机变量 X~B(6，1 2 )，则 P(X＝3)＝C36(1 2 )3×(1－1 2 )3＝ 5 16 ，A 正确 ； 因为随机变量 ξ~N(2，σ2)，所以正态曲线的对称轴是 x＝2，因为 P(X＜4)＝0.9，所以 P(0＜X＜ 4)＝0.8，所以 P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，B 正确； E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故 C 不正确； 由题意可知，E(ξ)＝1－x，D(ξ)＝x(1－x)＝－x2＋x，由一次函数和二次函数的性质知，当 0＜x＜ 1 2 时，E(ξ)随着 x 的增大而减小，D(ξ)随着 x 的增大而增大，故 D 正确． 11. 下列四个命题中，是真命题的是( ) A．∀x∈R，且 x≠0，x＋1 x ≥2 B．若 x＞0，y＞0，则 x2＋y2 2 ≥ 2xy x＋y C．函数 f(x)＝x＋ 2－x2值域为[－ 2，2] D．已知函数 f(x)＝|x＋9 x ＋a|－a 在区间[1，9]上的最大值是 10，则实数 a 的取值范围为[－8，＋ ∞) 答案：BCD 解析：对于 A，∀x∈R，且 x≠0，x＋1 x ≥2 对 x＜0 时不成立； 对于 B，若 x＞0，y＞0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为 x2＋y2 2 ≥ 2xy x＋y ，当且仅当 x＝y ＞0 时取等号，故 B 正确； 对于 C，令 x＝ 2cosθ，θ∈[0，π]，则 f(x)＝x＋ 2－x2＝ 2cosθ＋ 2sinθ＝2sin(θ＋ π 4 )，由 θ∈[0， π]，得 θ＋ π 4 ∈[ π 4 ， 5π 4 ]，f(x)＝2sin(θ＋ π 4 )∈[－ 2，2]； 对于 D，当 x∈[1，9]，x＋9 x ∈[6，10]，令 x＋9 x ＝t∈[6，10]，转化为 y＝|t＋a|－a 在 t∈[6，10] 有最大值是 10． ①－a≥10，当 t＝6 时，ymax＝|6＋a|－a＝－2a－6＝10，得 a＝－8(舍去)． ②－a≤6 时，当 t＝10 时，ymax＝10＋a－a＝10 恒成立． ③6＜－a＜10，ymax＝max{－2a－6，10}，此时只需－2a－6≤10，得－8≤a＜－6． 综上，a≥－8，故 D 正确． 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…， 其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称 为“斐波那契数列”，记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则下列结论正确的是( ) A．a6＝8 B．S7＝33 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2022 D． a 2 1＋a 2 2＋…＋a 2 2019 a2019 ＝a2020 答案：ABD 解析：由题意可得数列{an}满足递推关系 a1＝1，a2＝2，an＝an－2＋an－1(n≥3)． 对于 A，数列的前 6 项为 1，1，2，3，5，8，故 A 正确； 对于 B，S7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，故 B 正确； 对于 C，由 a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2019＝a2020－a2018，可得 a1＋a3＋a5＋…＋a2019 ＝a2020，故 C 不正确； 对于 D，因为 an＋2＝an＋1＋an，则 a12＝a2a1，a22＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1，a32＝a3(a4－a2)＝a3a4 －a3a2，…，a20182＝a2018a2019－a2017a2018，a22019＝a2019a2020－a2019a2018，所以 a12＋a22＋a32＋…＋a22019 ＝a2019a2020，故 D 正确． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知向量→ a ＝(2，－6)，→ b ＝(3，m)，若|→ a ＋→ b |＝|→ a －→ b |，则 m＝ ▲________． 答案：1 解析：若|→ a ＋→ b |＝|→ a －→ b |，则→ a ·→ b ＝0，即 2×3－6m＝0，则 m＝1． 14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生 2 人、高二学生 2 人、高三学生 1 人参加 A、B、C 三 个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少 1 人，最多 2 人参与，同一个年级的学生不去同一 个志愿点，高三学生不去 A 志愿点，则不同的安排方法有 ▲________种(用数字作答)． 答案：40 解析：根据题意，各社区人数应该为 2、2、1． 因为高三学生不能去 A 点，故高三学生只能去 B 点或 C 点． 若高三学生去 B 点且 B 点仅有 1 人，则剩余 4 人有 4 种排法； 若高三学生去 B 点且 B 点有 2 人，从高一、高二 4 人中选 1 人去 B 点有 C 1 4种，剩余 3 人有 4 种排法，所以共有 4×4＝16 种排法； 所以，高三学生去 B 点共有 20 种排法． 同理，高三学生去 C 点也有 20 中排法，因此一共有 40 种排法． 15. 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 内有一个与各个面均相切的球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，则 AA1 的长度为 ▲________． 答案：4 解析：由 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得 AC＝10． 设底面 Rt△ABC 的内切圆的半径为 r，则1 2 ×6×8＝1 2 ×(6＋8＋10)·r，得 r＝2．因为球与三个侧 面相切，所以内切球的半径也为 2． 又该球也与直三棱柱的上、下底面相切，所以 AA1＝2r＝4． 16. 已知函数 f(x)＝{k(1－sdo1(f(2,x)))，x＜0， x2－2k，x ≥ 0， 若函数 g(x)＝f(－x)＋f(x)有且仅有四个不同的零 点，则实数 k 的取值范围是 ▲________． 答案：(27，＋∞) 解析：g(x)＝{x2＋ 2k x －k，x＞0， －4k，x＝0， x2－ 2k x －k，x＜0， 为偶函数，图像关于 y 轴对称． 当 k＝0 时，原函数有且只有一个零点，不符题意，故 k≠0． 所以，g(x)有且仅有四个不同的零点可转化为 g(x)＝x2＋ 2k x －k，x＞0 有且仅有两个不同的零点． 当 k＜0 时，函数 g(x)在(0，＋∞)单调递增，最多一个零点，不符题意； 当 k＞0 时，g'(x)＝ 2(x3－k) x2 ，x＞0，列表如下： x (0，k 1 3 ) k 1 3 (k 1 3 ，＋∞) g'(x) － 0 ＋ g(x) 单调递减 极小值 单调递增 要使 g(x)在(0，＋∞)有且仅有两个不同的零点，则 g(x)min＝g(k 1 3 )＝k 2 3 ＋ 2k k 1 3 －k＜0，解得 k＞ 27． 易知，当 x→0 及 x→＋∞时，均有 g(x)→＋∞，所以 g(x)在(0，k 1 3 )和(k 1 3 ，＋∞)上各有一个零点， 符合题意． 综上，实数 k 的取值范围是(27，＋∞)． 四、解答题：本题共 6 小题，第 17 题 10 分，其余每小题 12 分，共 70 分． 17. 现给出两个条件：①2c－ 3b＝2acosB，②(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，从中选出一个条件补充在 下面的问题中，并以此为依据求解问题． 在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，________． (1)求 A； (2)若 a＝ 3－1，求△ABC 周长的最大值． 解析：若选择条件①2c－ 3b＝2acosB． (1)由余弦定理可得 2c－ 3b＝2acosB＝2a· a2＋c2－b2 2ac ，整理得 c2＋b2－a2＝ 3bc，………2 分 可得 cosA＝ b2＋c2－a2 2bc ＝ 3bc 2bc ＝ 3 2 ．…………………………………………………3 分 因为 A∈(0，π)，所以 A＝ π 6 ． …………………………………………………………5 分 (2)由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，得( 3－1)2＝b2＋c2－2bc· 3 2 ，………6 分 即 4－2 3＝b2＋c2－ 3bc＝(b＋c)2－(2＋ 3)bc，亦即(2＋ 3)bc＝(b＋c)2－(4－2 3)， 因为 bc≤ (b＋c)2 4 ，当且仅当 b＝c 时取等号， 所以(b＋c)2－(4－2 3)≤(2＋ 3)× (b＋c)2 4 ， 解得 b＋c≤2 2，…………………………………………………………8 分 当且仅当 b＝c＝ 2时取等号． 所 以 a ＋ b ＋ c≤2 2＋ 3－ 1 ， 即 △ ABC 周 长 的 最 大 值 为 2 2＋ 3－ 1．…………………………………………………10 分 若选择条件②(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC． (1)由条件得 2bcosA＝ 3acosC＋ 3ccosA， 由正弦定理得 2sinBcosA＝ 3(sinAcosC＋sinCcosA)＝ 3sin(A＋C)＝ 3sinB．………2 分 因为 sinB≠0，所以 cosA＝ 3 2 ，…………………………………………………3 分 因为 A∈(0，π)，所以 A＝ π 6 ． (2)同上 18. 已知数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 Sn2＝an(Sn－ 1 2 )． (1)求 Sn 的表达式； (2)设 bn＝ Sn 2n＋1 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 解析：(1)因为 Sn2＝an(Sn－ 1 2 )， 当 n≥2 时，Sn2＝(Sn－Sn－1)(Sn－ 1 2 )，即 2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn．①…………2 分 由题意得 Sn－1·Sn≠0，所以 1 Sn － 1 Sn－1 ＝2， 即数列{ 1 Sn }是首项为 1 S1 ＝ 1 a1 ＝1，公差为 2 的等差数列．…………5 分 所以 1 Sn ＝1＋2(n－1)＝2n－1，得 Sn＝ 1 2n－1 ． …………………………………………7 分 (2)易得 bn＝ Sn 2n＋1 ＝ 1 (2n－1)(2n＋1) ……………………………8 分 ＝ 1 2 ( 1 2n－1 － 1 2n＋1 )，……………………………10 分 所以 Tn＝ 1 2 [(1－ 1 3 )＋( 1 3 － 1 5 )＋…＋( 1 2n－1 － 1 2n＋1 )]＝ 1 2 (1－ 1 2n＋1 ) ＝ n 2n＋1 ． …………………………………12 分 19. 如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． (1)证明：MN∥平面 PAB； (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值． (1)证明：取 BP 的中点 T，连接 AT，TN． 由 N 为 PC 的中点，知 TN∥BC，TN＝1 2BC＝2． 又 AD∥BC，AM＝2 3AD＝2，所以 TN __ ∥ AM，因此四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN∥AT． …………………………………3 分 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB． …………………………………5 分 (2)取 BC 的中点 E，连接 AE． 由 AB ＝AC ， 得 AE⊥BC ， 因 为 AD∥BC ， 所 以 AE⊥AD ，AE ＝ AB2－BE2＝ AB2－(BC 2 )2＝ 5． 以 A 为原点，AE，AD，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 A－xyz． 由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C( 5，2，0)，N( 5 2 ，1，2)，PM → ＝(0，2，－4)，PN → ＝ ( 5 2 ，1，－2)，AN → ＝( 5 2 ，1，2)．…………………………………7 分 设 n＝(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则{n·PM → ＝0， n·PN → ＝0， 即{2y－4z＝0， 5 2 x＋y－2z＝0，可取 n＝(0，2， 1)． ……………………………………………………………………9 分 于是|cos＜n，AN → ＞|＝ |n·AN → | |n|·|AN → | ＝8 5 25 ．…………………………………11 分 设 AN 与平面 PMN 所成角为 θ，则 sin θ＝8 5 25 ，即直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 8 5 25 ． …………………………………12 分 20. 成都市现在已是拥有 1 400 多万人口的城市，机动车保有量已达 450 多万辆，成年人中约 40% 拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行 了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了 200 名成年人，然后对这 200 人进行问卷调查．这 200 人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规 定分数在 80 以上(含 80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示． 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 不具有很强安全意识 58 总计 200 (1)补全上面的 2×2 列联表，并判断能否有超过 95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有 驾驶证有关? (2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取 4 人，记“具有很强安全意识” 的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望． 附表及公式：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ，其中 n＝a＋b＋c＋d． P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：(1)200 人中拥有驾驶证的占 40%，有 80 人，没有驾驶证的有 120 人；具有很强安全意识的占 20%，有 40 人，不具有很强安全意识的有 160 人． 补全的 2×2 列联表如表所示： 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 22 18 40 不具有很强安全意识 58 102 160 总计 80 120 200 …………………………………2 分 计算得 K2＝200 × (22 × 102－18 × 58)2 40 × 80 × 160 × 120 ＝75 16 ＝4.6875＞3.841， 所 以 有 超 过 95% 的 把 握 认 为 “ 具 有 很 强 安 全 意 识 ” 与 拥 有 驾 驶 证 有 关． …………………………………5 分 (2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为1 5 ，所以 X＝0， 1，2，3，4，且 X~B(4，1 5 )． 于是 P(X＝k)＝Ck4·(1 5 )k·(4 5 )4－k(k＝0，1，2，3，4)，X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 256 625 256 625 96 625 16 625 1 625 …………………………………10 分 所以 E(X)＝4×1 5 ＝4 5 ． 答：X 的数学期望为4 5 ． …………………………………12 分 21. 已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)，点(1， 3 2 )在椭圆 C 上，点 A(－3c，0)满足以 AF2 为直径的圆过椭圆的上顶点 B． (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知直线过右焦点 F2 且与椭圆 C 交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在点 P(t，0)使得PM → ·PN → 为定值?如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，说明理由． 解析：(1)因为点(1， 3 2 )在椭圆 C 上，所以 1 a2 ＋ 9 4b2 ＝1． 又点 A(－3c，0)满足以 AF2 为直径的圆过椭圆的上顶点 B，所以 AB⊥BF2，即AB → ·BF2 → ＝(3c， b)·(c，－b)＝0，即 b2＝3c2． 又 a2＝b2＋c2，解得 a2＝4，b2＝3． 所以椭圆的方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1． …………………………………4 分 (2)易得右焦点 F2(1，0)，假设存在点 P(t，0)满足要求． ①当直线 MN 的斜率不为 0 时，设直线 MM 的方程为 x＝my＋1，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立{x＝my＋1， 3x2＋4y2＝1，整理可得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，则 y1＋y2＝ －6m 4＋3m2 ，y1·y2＝ －9 4＋3m2 ，所以 x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝ 8 4＋3m2 ，x1x2＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝ －9m2 4＋3m2 ＋ －6m2 4＋3m2 ＋1＝ 4－12m2 4＋3m2 ． …………………………………6 分 因为PM → ·PN → ＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝ 4－12m2 4＋3m2 － 8t 4＋3m2 ＋t2－ 9 4＋3m2 ＝ t2(4＋3m2)－12m2－8t－5 4＋3m2 ＝ 3m2(t2－4)＋4t2－8t－5 4＋3m2 ． …………………………………9 分 要使PM → ·PN → 为定值，则 t2－4 1 ＝ 4t2－8t－5 4 ，解得 t＝ 11 8 ，此时PM → ·PN → ＝－ 135 64 为定值． …………………………………11 分 ②当直线 MM 的斜率为 0 时，则 M(－2，0)，N(2，0)，P( 11 8 ，0)，此时PM → ·PN → ＝(－2－ 11 8 ，0)·(2－ 11 8 ，0)＝－ 135 64 ． …………………………………12 分 综上，所以存在 P( 11 8 ，0)，使PM → ·PN → 为定值． 22. 已知 f(x)＝ax3－3x2＋1(a＞0)，定义 h(x)＝max{f(x)，g(x)}＝{f(x)，f(x) ≥ g(x)， g(x)，f(x)＜g(x)． (1)求函数 f(x)的极小值； (2)若 g(x)＝xf'(x)，且存在 x∈[1，2]使 h(x)＝f(x)，求实数 a 的取值范围； (3)若 g(x)＝lnx，试讨论函数 h(x)(x＞0)的零点个数． 解 析 ： (1) 求 导 得 f'(x) ＝ 3ax2 － 6x ＝ 3x(ax － 2) ， 令 f'(x) ＝ 0 ， 得 x1 ＝ 0 或 x2 ＝ 2 a ．…………………………………1 分 因为 a＞0，所以 x1＜x2，列表如下： x (－∞，0) 0 (0， 2 a ) 2 a (2 a，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以 f(x)的极小值为 f(2 a )＝ 8 a2－12 a2＋1＝1－ 4 a2．…………………………………3 分 (2)g(x)＝xf'(x)＝3ax3－6x2． 因为存在 x∈[1，2]使 h(x)＝f(x)，所以 f(x)≥g(x)在 x∈[1，2]上有解，即 ax3－3x2＋1≥3ax3－6x2 在 x∈[1，2]上有解，即不等式 2a≤1 x3＋3 x 在 x∈[1，2]上有解．………………………5 分 设 y＝1 x3＋3 x ＝3x2＋1 x3 ，x∈[1，2]． 因为 y'＝－3x2－3 x4 ＜0 对 x∈[1，2]恒成立，所以 y＝1 x3＋3 x 在[1，2]上递减，故当 x＝1 时，ymax＝ 4． 所以 2a≤4，即 a≤2，故 a 的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7 分 (3)由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上的最小值为 f(2 a )＝1－ 4 a2． ①当 1－ 4 a2＞0，即 a＞2 时，f(x)＞0 在(0，＋∞)上恒成立，所以 h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥f(x)＞ 0，因此 h(x)在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8 分 ②当 1－ 4 a2＝0，即 a＝2 时，f(x)min＝f(1)＝0，又 g(1)＝0，所以 h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞) 上有且仅有一个零点．…………………………………9 分 ③当 1－ 4 a2＜0，即 0＜a＜2 时，设 φ(x)＝f(x)－g(x)＝ax3－3x2＋1－lnx，0＜x＜1． 因为 φ'(x)＝3ax2－6x－1 x ＜6x(x－1)－1 x ＜0，所以 φ(x)在(0，1)上单调递减． 又 φ(1)＝a－2＜0，φ(1 e )＝ a e3＋2e2－3 e2 ＞0，所以存在唯一的 x0∈(1 e，1 )，使得 φ(x0)＝0． (i)当 0＜x≤x0 时，因为 φ(x)＝f(x)－g(x)≥φ(x0)＝0，所以 h(x)＝f(x)且 h(x)为减函数． 又 h(x0)＝f(x0)＝g(x0)＝lnx0＜ln1＝0，f(0)＝1＞0，所以 h(x)在(0，x0)上有一个零点． (ii)当 x0＜x＜1 时，因为 φ(x)＝f(x)－g(x)＜φ(x0)＝0，所以 h(x)＝g(x)且 h(x)为增函数． 因为 g(1)＝0，又 h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＝lnx＞0 在 x＞1 上恒成立，所以 h(x)在(x0，＋∞) 上有且仅有一个零点． 从而 h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点． 综上，当 0＜a＜2 时，h(x)有两个零点；当 a＝2 时，h(x)有一个零点；当 a＞2 时，h(x)无零 点． …………………………………12 分