2018届高三数学一轮复习： 第2章 第12节 课时分层训练15 5页

课时分层训练(十五)　‎ 导数与函数的极值、最值 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(　　)‎ A．y＝x3　　　　　　　 B.y＝ln(－x)‎ C．y＝xe－x D.y＝x＋ D　[由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．]　‎ ‎2．当函数y＝x·2x取极小值时，x等于(　　)‎ ‎【导学号：01772089】‎ A. B.－ C．－ln 2 D.ln 2‎ B　[令y′＝2x＋x·2xln 2＝0，‎ ‎∴x＝－.‎ 经验证，－为函数y＝x·2x的极小值点．]‎ ‎3．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)‎ A.　　　 B.1‎ C.0　　　 D.不存在 A　[f′(x)＝x－＝，且x>0，令f′(x)>0，得x>1，令f′(x)<0，得0<‎ x<1，所以f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝－ln 1＝.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)‎ ‎【导学号：01772090】‎ A．(－1,2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)‎ C．(－3,6) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ B　[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，‎ 由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，‎ ‎∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，‎ ‎∴a＞6或a＜－3.]‎ ‎5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是(　　)‎ A　　　　B　　　　　C　　　　　D D　[因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0.选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.]‎ 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝x3＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________. ‎ ‎【导学号：01772091】‎ ‎－　[f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.]‎ ‎7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(－∞，－1)　[∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.‎ ‎∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，‎ 则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，‎ ‎∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]‎ ‎8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．‎ ‎30　23 000　[设该商品的利润为y元，由题意知，‎ y＝Q(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，‎ 则y′＝－3p2－300p＋11 700，‎ 令y′＝0得p＝30或p＝－130(舍)，‎ 当p∈(0,30)时，y′＞0，当p∈(30，＋∞)时，y′＜0，‎ 因此当p＝30时，y有最大值，ymax＝23 000.]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．‎ ‎(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；‎ ‎(2)当a<0时，若函数满足y极大＝1，y极小＝－3，试求y＝f(x)的解析式．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.‎ 依题意f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，‎ 即2ax≥3x2.∵x＞0，∴2a≥3x，∴2a≥6，∴a≥3，‎ 即a的取值范围是[3，＋∞).5分 ‎(2)∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝x(－3x＋‎2a)．‎ ‎∵a＜0，当x∈时，f′(x)≤0，f(x)递减．‎ 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)递增．‎ 当x∈[0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)递减. 8分 ‎∴⇒ ‎∴f(x)＝－x3－3x2＋1. 12分 ‎10．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距‎18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．‎ ‎(1)试将y表示为x的函数；‎ ‎(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．‎ ‎[解]　(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝＋.5分 ‎(2)因为a＝1，所以y＝＋，‎ y′＝k，8分 令y′＝0，得x＝，‎ 又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，‎ 所以，污染源B的污染强度b的值为8.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·石家庄一模)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0)，且f(x)的极大值为，则m的值为(　　)‎ ‎【导学号：01772092】‎ A．－　　 B.－ C.　　　 D. D　[由题意可得f(m)＝m3＋am2＋bm＝0，m≠0，则m2＋am＋b＝0　①，且f′(m)＝‎3m2‎＋2am＋b＝0　②，①－②化简得m＝－，f′(x)＝3x2＋2ax＋b的两根为－和－，则b＝，f＝，解得a＝－3，m＝，故选D.]‎ ‎2．(2016·北京高考改编)设函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．‎ ‎2　[当x＞0时，f(x)＝－2x＜0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x ‎＋1)，当x＜－1时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，‎ 故f′(x)＝3ax2＋b.2分 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，‎ 故有即 化简得解得 5分 ‎(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，‎ f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.‎ 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，‎ 故f(x)在(－∞，－2)上为增函数； 7分 当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，‎ 故f(x)在(－2,2)上为减函数； 8分 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，‎ 故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．‎ 由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值，‎ f(－2)＝16＋c，‎ f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.‎ 由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12. 10分 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，‎ f(2)＝－16＋c＝－4，‎ 因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. 12分