广西省桂林市龙胜中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷 12页

‎2019-2020学年第一学期半期考 ‎ 高三理科数学试题 ‎ ‎（考试时间：120分钟 总分：150分） ‎ 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 ‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知命题，命题若△ABC中，,则，则下列命题正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知函数，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.在中，为边上一点，且满足，为边中点，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.设为实数，函数的导函数为，且 是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式 为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，‎ 若，，，则的大小关系为(　　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设函数，其中，若仅存在两个正整数，使得，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：（本小题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，若，则实数 .‎ ‎14.中，,则角 .‎ ‎15.设是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则不等式的解集为 . ‎ ‎16.已知函数的图象关于直线对称，且，在区间上单调，则的值为 .‎ 三、解答题：（本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（本小题共12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值域.‎ 18. ‎（本小题共12分）‎ 一家小微企业生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，假设该企业每个月可生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销售收入为万元，且每生产1万件政府给予补助万元．‎ ‎（Ⅰ）求该企业的月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）若月产量万件时，求企业在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）．‎ ‎（注：月利润＝月销售收入月政府补助月总成本）‎ 19. ‎（本小题共12分）‎ 在中，角所对的边分别为若，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求面积的最大值．‎ 20. ‎（本小题共12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若关于的不等式的解集为，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 18. ‎（本小题共12分）‎ 已知函数，为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 19. 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题共10分）‎ 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线l的参数方程为 ‎（为参数），直线l与曲线C分别交于两点．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲（本小题共10分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当不等式的解集为时，求实数的取值范围．‎ 数学（理科）参考答案 ‎ 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B A C B C C A D B B D 二、 填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 一、 解答题 17. 解（1）‎ ‎…………………（3分）‎ ‎ ‎ ‎ 函数的单调递增区间为……………（6分）‎ （2） ‎ ‎ ‎ …………………（9分）‎ ‎ 当时，‎ 当时， …………………（11分）‎ 所以的值域为 …………………（12分）‎ ‎18.解：（1）依题意得 ‎（定义域未标注的扣一分）…………………（6分）‎ ‎（2）当时，‎ ‎∵…………………（9分）‎ ‎∴当时，，当时，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减 当时， …………………（11分）‎ ‎∴当月产量为万件时，最大月利润为()万元．‎ 答：当月产量为万件时，该企业所获得的最大月利润为()元．……（12分）‎ ‎19.（1）由余弦定理得： ，‎ 即…………………（1分）‎ 由正弦定理可得：‎ 即 …………………（3分）‎ ‎ ‎ ‎…………………（4分）‎ ‎…………………（5分）‎ 根据正弦定理…………………（6分）‎ ‎（2）由（1）知 ‎ 即…………………（9分）‎ ‎ （当且仅当时等号成立）‎ ‎ （当且仅当时等号成立） …………………（11分）‎ ‎ …………………（12分）‎ 故面积的最大值为平方单位。‎ ‎20.（1）依题意得，2和3是方程的两根 由韦达定理可知： …………………（1分）‎ ‎∴ …………………（3分）‎ 又∵，∴‎ 当且仅当时等号成立，…………………（5分）‎ 所以的最小值为.…………………（6分）‎ ‎（2）假设存在实数，使得对任意，存在，不等式成立 ‎ …………………（7分）‎ ‎∵时， …………………（8分）‎ ‎∴在成立 …………………（9分）‎ 记，，其对称轴为，‎ ‎①当，即时，‎ 由，∴ …………………（10分）‎ ‎②当，即时，‎ 由，∴ …………………（11分）‎ 综上所述，不存在实数，使得对任意，存在，不等式成立. …………………（12分）‎ ‎21.（1）设………………（1分）‎ ‎∴， ‎ ‎∴ …………………（2分）‎ ‎∵ ∴， ∴‎ ‎∴在上单调递增，…………………（3分）‎ 又 ‎∴时， ‎ ‎∴在上单调递增，…………………（4分）‎ 又 ‎∴时， ‎ 故当时，；…………………（5分）‎ ‎（2）∵‎ ‎∴，‎ ①当时，易知函数只有一个零点，不符合题意；…………………（6分）‎ ②当时，在上，，单调递减；在上，，单调递增；又，且， ‎ 不妨取且时，‎ ‎【或者考虑：当→，→】…………………（8分）‎ 所以函数有两个零点．‎ ③当时，由得或 ‎（i）当即时，在上， 成立，故在上单调递增，‎ 所以函数至多有一个零点，不符合题意．…………………（9分）‎ ‎（ii）当即时，在和上， ，单调递增；‎ 在上，单调递减；‎ 又，且，‎ 所以函数至多有一个零点，不符合题意．…………………（10分）‎ ‎（iii）当即时，在和上，单调递增；在上，单调递减；又，所以函数至多有一个零点，不符合题意．…………………（11分）‎ 综上所述：实数的取值范围是．…………………（12分）‎ 22. ‎（1）由得：‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为：(a > 0) ‎ 由消去参数t得直线l的普通方程为 …………………（5分）‎ (2) 解：当时，曲线C的直角坐标方程为：‎ 将直线l的参数方程，代入得：‎ ‎ …………………（7分）‎ 设两点对应的参数分别为t1、t2，‎ 则有 …………………（8分）‎ ‎∴, ‎ ‎ …………………（10分）‎ ‎23.(1)当时， ‎ 当时，，即， …………………（1分） ‎ 当时，，即 …………………（2分）‎ 当时，，无解 …………………（3分）‎ 综上，的解集为 …………………（5分）‎ ‎(2) …………………（7分）‎ 当，即时, 时等号成立；‎ 当，即时, 时等号成立 所以的最小值为 …………………（8分）‎ 即 或 …………………（10分）‎