【数学】2018届一轮复习人教A版 平面向量的基本定理及坐标表示 学案 5页

平面向量的基本定理及坐标表示 ‎【考点梳理】‎ ‎1．平面向量基本定理 ‎(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ ‎(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.‎ ‎3．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎||＝.‎ ‎4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、平面向量基本定理及其应用 ‎【例1】(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 (　　)‎ A．e1与e1＋e2‎ B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2‎ D．e1＋3e2与6e2＋2e1‎ ‎(2)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.‎ ‎[答案] (1)D　(2) ‎[解析] (1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；‎ 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；‎ 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；‎ 选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．‎ ‎(2)选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，‎ 又＝λ＋μ＝＋，‎ 于是得解得 所以λ＋μ＝.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底 表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．‎ ‎2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．‎ ‎【对点训练】‎ 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________(用向量a，b表示)．‎ ‎[答案] b－a　b－a　a－b ‎[解析] ＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，＝＋＝－b＋＝b－a，＝＋＝－b－＝a－b.‎ 考点二、平面向量的坐标运算 ‎【例2】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b，‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ ‎[解析] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).‎ ‎(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)，‎ ‎∴解得 ‎(3)设O为坐标原点．∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．‎ ‎∴M(0,20).‎ 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)，∴＝(9，－18).‎ ‎【类题通法】‎ ‎1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则 ‎ 进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．‎ ‎2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标 进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起 ．‎ ‎【对点训练】‎ 已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，则|‎2a＋b|的最小值为________．‎ ‎[答案] 2 ‎[解析] 由条件得‎2a＋b＝(2＋t,2t－6)，所以|‎2a＋b|＝＝，当t＝2时，|‎2a＋b|的最小值为2.‎ 考点三、平面向量共线的坐标表示 ‎【例3】(1)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝(　　)‎ A．－2　　　 B．2‎ C．－3　　　 D．3‎ ‎(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．‎ ‎[答案] (1)C　(2)(2,4)‎ ‎[解析] (1)由题意可知a＋b＝(2,1＋m)，‎ ‎∵a∥(a＋b)，‎ ‎∴2＋(m＋1)＝0⇒m＝－3.‎ ‎(2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，‎ ‎∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，‎ 则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)．‎ ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，‎ ‎∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，‎ 即(4－x,2－y)＝(2，－2)，‎ ‎∴解得 故点D的坐标为(2,4)．‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa.‎ ‎2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________.‎ ‎[答案] ‎[解析] 由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，‎ 所以cos2θ＝，‎ 所以cos θ＝或－，又θ为锐角，所以θ＝.‎ ‎2．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________.‎ ‎[答案] k≠1‎ ‎[解析] 若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．‎ 因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，‎ ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，‎ 所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.‎