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  • 2021-06-16 发布

山西省朔州市怀仁某校2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试卷

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数学(文)试题 一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分) ‎ ‎1.以点A(-5,4)为圆心且与x轴相切的圆的标准方程是(  )‎ A. (x+5)2+(y-4)2=25 B. (x+5)2+(y-4)2=16‎ C. (x-5)2+(y+4)2=16 D. (x-5)2+(y+4)2=25‎ ‎2.若直线2x+my=2m-4与直线mx+2y=m-2垂直,则(  )‎ A.m=2 B.m=-2 C.m=0 D.m∈R ‎3.若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,则下列命题 ‎(1)若l1∥l2,则斜率k1=k2; (2)若斜率k1=k2,则l1∥l2;‎ ‎(3)若l1∥l2,则倾斜角α1=α2; (4)若倾斜角α1=α2,则l1∥l2. 其中正确命题的个数是(  )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎4.直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为(  )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 ‎5.设圆C:(x-5)2+(y-3)2=5,过圆心C作直线l与圆交于A,B两点,与x轴交于P点,若A恰为线段BP的中点,则直线l的方程为(  )‎ A.x-3y+4=0,x+3y-14=0 B. 2x-y-7=0,2x+y-13=0‎ C.x-2y+1=0,x+2y-11=0 D. 3x-y-12=0,3x+y-18=0‎ ‎6.长方体的表面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为(  )‎ A.2 B. C.5 D.6‎ ‎7.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若a>0且a≠1,M=loga(a3+1),N=loga(a2+1),则M,N的大小关系为(  )‎ A.MN D.M≥N ‎9.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.8‎ ‎10..已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为 (  )‎ A. {x|x<-1或x>-lg 2} B. {x|-1-lg 2} D. {x|x<-lg 2}‎ ‎11.已知直线y=kx与圆x2+y2=3相交于M,N两点,则|MN|等于(  )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎12.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为(  )‎ A.0 B.1 C. D.3 ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) ‎ ‎13.经过点A(1,1)和点B(-3,2)的直线l1与过点C(4,5)和点D(a,-7)的直线l2平行,则a=________.‎ ‎14.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2x+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=________.‎ 15. 若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围为________.‎ 16. 动点P在平面区域C1:x2+y2≤2(|x|+|y|)内,动点Q在曲线C2:(x-4)2+(y-4)2=1上,则平面 区域C1的面积为________,|PQ|的最小值为________.‎ 三、解答题(10+12+12+12+12+12共70分) ‎ ‎17.求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比. ‎ ‎18..已知实数x、y满足方程x+y-4x+1=0.求:‎ ‎(1)的最大值和最小值; (2)y-x的最小值; (3)x+y的最大值和最小值.‎ ‎19.已知平面内两点A(8,-6),B(2,2).‎ ‎(1)求AB的中垂线方程;‎ ‎(2)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线l的方程;‎ ‎(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l,若反射光线过点A,求反射光线所在直线的方程.‎ ‎20 .甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表:‎ 某食物营养研究所想用x千克甲种食物,y千克乙种食物,z千克丙种食物配成100千克的混合食物,并使混合食物至少含56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.‎ (1) 用x、y表示混合食物成本C;‎ ‎(2)确定x、y、z的值,使成本最低.‎ ‎21.如图所示,已知P(4,0)是圆x+y=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.‎ ‎ ‎ ‎22.已知⊙O:x2+y2=1和点M(4,2). ‎ ‎(1)过点M向⊙O引切线l,求直线l的方程;‎ ‎(2)求以点M为圆心且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程;‎ ‎(3)设P为(2)中⊙M上任一点,过点P向⊙O引切线,切点为Q.试探究:平面内是否存在一定点R,使得为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.‎ 高二文科数学期中答案解析 1. B 【解析】∵所求的圆以点A(-5,4)为圆心且与x轴相切,∴所求圆的半径R=4,‎ ‎∴圆的标准方程为(x+5)2+(y-4)2=16,故选B.‎ 2. ‎【答案】C 【解析】当m=0时,两直线对应的方程分别为x=-2和y=-1,满足两直线垂直.‎ 当m≠0时,两直线对应的方程分别为y=-+2-和y=,‎ 若满足两直线垂直,则对应的斜率之积为·=1≠-1,‎ ‎∴此时不成立.故m=0,故选C.‎ ‎3.【答案】C 【解析】(1)当两直线都垂直与x轴,得到l1∥l2,但是两斜率不存在,此命题错误;‎ ‎(2)因为两直线的斜率相等即斜率k1=k2,得到倾斜角的正切值相等即tanα1=tanα2,即可得到α1=α2,所以l1∥l2,此命题正确;‎ ‎(3)因为l1∥l2,根据两直线平行,得到α1=α2,此命题正确;‎ ‎(4)因为两直线的倾斜角α1=α2,根据同位角相等,得到l1∥l2,此命题正确;所以正确的命题个数是3, 故选C.‎ ‎4【答案】D 【解析】由题设知圆心到直线的距离d=,而(a+b)2≤2(a2+b2),得d≤,圆的半径r=,所以直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为相交或相切.故选D.‎ ‎5.【答案】C 【解析】∵圆C:(x-5)2+(y-3)2=5,∴C(5,3),‎ ‎∵过圆心C作直线l与圆交于A,B两点, ∴设直线l的方程为y-3=k(x-5),‎ 令y=0,得x=5-,即P(5-,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立,消去x可得(1+)y2-6(1+)y++4=0,‎ 由根与系数的关系可得y1+y2=6,y1y2==,①‎ ‎∵A为BP的中点, ∴=y1,即y2=2y1,②把②代入①可得y2=4,y1=2,y1y2==8,‎ ‎∴k=±, ∴直线l的方程为y-3=±(x-5), 即x-2y+1=0或x+2y-11=0,故选C.‎ ‎6.【答案】C ‎【解析】设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,由题意可知,‎ ‎4(a+b+c)=24,①2ab+2bc+2ac=11,② 由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25,‎ 则这个长方体的一条对角线长为5, 故选C.‎ ‎7.【答案】D【解析】由题意几何体的体积,就是正方体的体积减去8个正三棱锥的体积,‎ V正方体-8V三棱锥=1-8×××××=. 故选D.‎ ‎8.【答案】C【解析】当a>1时,a3+1>a2+1,此时,y=logax为(0,+∞)上的增函数,‎ ‎∴loga(a3+1)>loga(a2+1); 当0loga(a2+1), ∴当a>0且a≠1时,总有M>N.‎ 9. ‎【答案】C 【解析】由题意知,l=(r+R), S圆台侧=π(r+R)·l=π·2l·l=32π, ∴l=4.‎ 10. ‎【答案】D 【解析】 由已知条件0<10x<,解得x0,∴>0,易知a>0. ∴≥,∴≤x++3.‎ ‎∵x>0,x++3≥2+3=5(x=1时取等号),∴≤5.∴a≥.‎ ‎16.【答案】8+4π 2-1 【解析】C1:由x2+y2-2|x|-2|y|≤0,得 或或或 ‎∴平面区域C1的面积为(2)2+2π()2=8+4π.易得A(1,1),B(4,4),‎ AB==3, ∴PQ的最小值为AB--1=2-1‎ ‎17.【答案】如图等边△ABC为圆锥的轴截面,截球面得圆O.‎ 设球的半径OE=R,OA==2OE=2R,∴AD=OA+OD=2R+R=3R,‎ BD=AD·tan 30°=R, .....................................................5分 ‎∴V球=πR3,V圆锥=π·BD2×AD=π(R)2×3R=3πR3, 则V球∶V圆锥=4∶9. ...............10分 ‎18.(每小题4分,共12分)‎ ‎19.(每小题4分,共12分)‎ ‎20.【答案】x=50千克,z=30千克时成本最低.‎ ‎【解析】(1)依题意x、y、z满足x+y+z=100z=100-x-y.‎ ‎∴成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400(元). ...............................................4分 ‎(2)依题意 ∵z=100-x-y, ‎ ‎∴ 作出不等式组所对应的可行域,如下图所示.‎ 联立⟹交点A(50,20).‎ 作直线7x+5y+400=C,则易知该直线截距越小,C越小,所以该直线过A(50,20)时,直线在y轴截距最小,从而C最小,此时7×50+5×20+400=C=850元.‎ ‎∴x=50千克,z=30千克时成本最低. ......................................................12分 ‎21.‎ 22. ‎(每小题4分,共12分)‎ ‎(1)若直线l的斜率不存在,显然不合题意;‎ 设切线l方程为y-2=k(x-4),易得=1,解得k=. ∴切线l方程为y-2=(x-4). ‎ ‎(2)圆心到直线y=2x-1的距离为,设圆的半径为r,则r2=22+()2=9,‎ ‎∴⊙M的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.‎ ‎(3)假设存在这样的点R(a,b),点P的坐标为(x,y),相应的定值为λ,‎ 根据题意可得PQ=,∴=λ,‎ 即x2+y2-1=λ2(x2+y2-2ax-2by+a2+b2),(*)‎ 又点P在圆M上,∴(x-4)2+(y-2)2=9,即x2+y2=8x+4y-11,代入(*)式得:‎ ‎8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a2+b2-11)] 若系数对应相等,则等式恒成立,‎ ‎∴ 解得a=2,b=1,λ=或a=,b=,λ=.‎ ‎∴可以找到这样的定点R,使得为定值.如点R的坐标为(2,1)时,比值为;‎ 点R的坐标为(,)时,比值为.‎

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