高中数学选修2-3课件2_《两个基本原理》 14页

1.1 两个基本计数原理 问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有 3 班，汽车有 2 班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 解：因为一天中乘火车有 3 种走法，乘汽车有 2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种不同的走法。 分类计数原理又称为加法原理。 分类计数原理 完成一件事，有 n 类方式，在第 1 类方式中有 m 1 种不同的方法，在第 2 类方式中有 m 2 种不同的方法， … ，在第 n 类方式中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法。 问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有 3 班，汽车有 2 班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 这个问题与前一个问题有什么区别？ 在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地． 解：因为乘火车有 3 种走法，乘汽车有 2 种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有 3×2 ＝ 6 种不同的走法。 分步计数原理 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法， … ，做第 n 步时有 m n 种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。 分步计数原理又称为乘法原理。 分类计数原理 ( 加法原理 ) 中， “ 完成一件事，有 n 类方式 ” ，即每种方式都可以独立地完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。 分步计数原理 ( 乘法原理 ) 中， “ 完成一件事，需要分成 n 个步骤 ” ，是说每个步骤都不足以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步有 m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。 例 1 、某班共有男生 28 名、女生 20 名，从该班选出学生代表参加校学代会。 （ 1) 若学校分配给该班 1 名代表，有多少种不同的选法？ （ 2 ）若学校分配给该班 2 名代表，且男女生代表各 1 名，有多少种不同的选法？ 应用这两个原理的关键是看完成这件事情是 “ 分类 ” 还是 “ 分步 ” 。 例 2 、在下面两个图中，使电路接通的不同方法各有多少种？ （ 1 ） A B （ 2 ） B A 例 3 、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设置的信箱中， （ 1 ）密码为 4 位，每位均为 0 到 9 这 10 个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（ 2 ）密码为 4 位，每位均为 0 到 9 这 10 个数字中的一个，或是从 A 到 Z 这 26 个英文字母中的 1 个。这样的密码共有多少个？ （ 3 ）密码为 4 到 6 位，每位均为 0 到 9 这 10 个数字中的一个。这样的密码共有多少个？ 例 4 、（ 1 ） 4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ （ 2 ） 4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，共有多少种可能的结果？ 例 5 、某中学的一幢 5 层教学楼共有 3 处楼梯，问从 1 楼到 5 楼共有多少种不同的走法？ 例 6 、有 n 个元素的集合的子集共有多少个？ 1.1 两个基本计数原理（二） 什么是分类计数原理？ 什么是分步计数原理？ 应用这两个原理时应注意什么问题？ 例 1 、要从甲、乙、丙三名工人中选出两名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 例 2 、某艺术组有 9 人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中 7 人会钢琴， 3 人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各一人，有多少种不同的选法？ 例 3 、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？ 例 4 、（ 1 ） 8 张卡片上写着 0,1,2, … ,7 共 8 个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？ （ 2 ） 4 张卡片的正、反面分别写有 0 与 1 、 2 与 3 、 4 与 5 、 6 与 7 ，将其中的 3 张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？ 例 5 、自然数 2520 有多少个正约数？ 例 6 、书架上原来并排放着 5 本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同的插法有多少种？