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- 2021-06-16 发布
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镇海中学2019学年第一学期期中考试
高三数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1. 已知集合A=x∈Zx2-4x-5≤0 , B=x0b，则下列不等式中一定成立的是 .
A. ac>bc B. a-bc2>0 C. 1a<1b D. -2a<-2b
3. 已知Sn是等差数列an的前n项和，且S2=4 , S4=18，则S6等于 .
A. 50 B. 42 C. 38 D. 36
4. 函数fx=4x23x的图像大致为 .
5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是 .
A. 76
B. 84
C. 76+82
D. 84+82
6. 将函数y=fx的图象向右平移π6个单位长度后，得到gx=sin2x+π6，则y=fx的函数解析式为 .
A. fx=-cos2x B. fx=sin(2x-π6)
C. fx=cos2x D. fx=cos(2x-π6)
7. 设命题p:lg(2x-1)≤0，命题q: x-(a+1)x-a≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 .
A. [0 , 12] B. (0 , 12) C. [0 , 12) D. ∅
8. 已知-π2<α-β<π2，sinα-2cosβ=1，cosα+2sinβ=2，则sin(β+π6)= .
A. 33 B. 63 C. ±63 D. ±33
9. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1 , F2，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且∠F1PF2=π3，若椭圆和双曲线的离心率分别为e1 , e2，则e12+e22的最小值为 .
A. 2+32 B. 4+23 C. 2+3 D. 1+3
10. 设a , b为正实数，且a+2b+1a+2b=132，则1a+2b的最大值和最小值之和为 .
A. 2 B. 92 C. 132 D. 9
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11. 抛物线方程y=2x2的焦点坐标为 ；准线方程为 .
12. 已知点A1 ,0 , B(0 ,2)，点P(a , b)在线段AB上，则直线AB的斜率为 ；a∙b的最大值为 .
13. 若实数(x , y)满足约束条件x-y-2≤0x+y-2≥0y≤1 ，则2x-y的最小值为 ；x2+(y+1)2的最小值为 .
14. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=12 , AB=1 , AD=3，则直线AA1与平面A1BD所成的角为 ；若空间的一条直线l与直线AA1所成的角为π4，则直线l与平面A1BD所成的最大角为 .
15. 已知数列an是等比数列且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a4的最大值为 .
16. 已知圆O: x2+y2=1，设点P是恒过点(0 ,4)的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足∠OPA≤π3，则直线l的斜率k的取值范围为 .
17. 已知点Ax1 , y1 , B(x2 , y2为单位圆上两点，且满足OA∙OB=12，则x1+y1+x2+y2的取值范围为 .
三、解答题（本大题共5小题，共74分）
18. 已知fx=sinx2∙cosx2+sinx2+a的最大值为22.
（I）求实数a的值；
（II）若f(α+π4)+f(α-π4)=23，求2sin(2α-π4)+11+tanα的值.
19. 在锐角∆ABC中，角A , B , C所对边分别为a , b , c，已知b=3 ，a2=c2-3c+9.
（I）求A；
（II）求sin2B+sin2C的取值范围.
20. 如图，在三棱锥P-ABC中，∆PAB和∆ABC都为等腰直角三角形，PA⊥PB，AB⊥AC，M为AC的中点，且PM=AC.
（I）求二面角P-AB-C的大小；
（II）求直线PM与平面PBC所成角的正弦值.
21. 已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1=2 , an+1=-3Sn+2 n∈N*.
（I）求数列an的通项公式；
（II）数列bn满足b1=-2，bn+1-bnn2+n=(3n+1)an，求数列bn通项公式.
22. 在平面直角坐标系中，已知F(2 , 0)，P(-2 , t)，若线段FP的中垂线l与抛物线
C: y2=2px (p>0)总是相切.
（I）求抛物线C的方程；
（II）若过点Q(2 ,1)的直线l'交抛物线C于M , N两点，过M , N分别作抛物线的切线l1 , l2相交于点A. l1 , l2分别与y轴交于点B , C.
（i）证明：当l'变化时，∆ABC的外接圆过定点，并求出定点的坐标；
（ii）求∆ABC的外接圆面积的最小值.
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