2019届二轮复习第3讲　数列不等式的证明问题(选用)学案（全国通用） 13页

第3讲　数列不等式的证明问题(选用)‎ 高考定位　1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识.‎ 真 题 感 悟 ‎ (2017·浙江卷)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*).‎ 证明：当n∈N*时，‎ ‎(1)0＜xn＋1＜xn；‎ ‎(2)2xn＋1－xn≤；‎ ‎(3)≤xn≤.‎ 证明　(1)用数学归纳法证明：xn＞0.‎ 当n＝1时，x1＝1＞0.‎ 假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，xk＞0，‎ 那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则0＜xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾，故xk＋1＞0，‎ 因此xn＞0(n∈N*).‎ 所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)＞xn＋1，‎ 因此0＜xn＋1＜xn(x∈N*).‎ ‎(2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得，‎ xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1).‎ 记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0).‎ f′(x)＝＋ln＞0(x＞0)，‎ 函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，‎ 因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，‎ 故2xn＋1－xn≤(n∈N*).‎ ‎(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，‎ 所以xn≥xn－1≥xn－2≥…≥x1＝.‎ 故xn≥.‎ 由≥2xn＋1－xn得－≥2＞0，‎ 所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，‎ 故xn≤.‎ 综上，≤xn≤(n∈N*).‎ 考 点 整 合 ‎1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；‎ ‎(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.‎ ‎2.反证法 一般地，由证明pq转向证明：綈qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.‎ ‎3.放缩法 放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证A0且a≠1，n∈N*).‎ ‎(1)证明：当n≥2时，anb.‎ 证明　(1)由an＋1＝知，an与a1的符号相同，‎ 而a1＝a>0，所以an>0，‎ 所以an＋1＝≤1，当且仅当an＝1时，an＋1＝1，‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①因为a>0且a≠1，所以a2<1，‎ ＝>1，即有a21，即ak＋1ak＋1>ak≥b；‎ 若aka2>‎ ‎ a2 ‎ ＝a2≥a2.‎ 因为k≥＋1，‎ 所以(k－1)＋1≥＋1＝，‎ 所以 ak＋1>b.‎ 探究提高　数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题.因此，可以在数列不等式的证明中大显身手.在本例中，(1)首先根据条件等式的结构特征推出an>0，然后用数学归纳法证明即可；(2)首先由(1)知当k≥2时，1>ak＋1>ak≥b，然后利用数列的递推公式证明即可.‎ 热点二　反证法证明数列不等式 ‎【例2】 (2018·温州调考)已知数列{an}满足：an>0，an＋1＋<2(n∈N*).‎ ‎(1)求证：an＋21(n∈N*).‎ 证明　(1)由an>0，an＋1＋<2，‎ 得an＋1<2－<2.‎ 因为2>an＋2＋>2(由题知an＋1≠an＋2)，‎ 所以an＋2N时，an≤aN＋1<1.‎ 根据an＋1－1<1－＝<0，而an<1，‎ 所以>＝1＋，‎ 于是>1＋，‎ ‎……‎ >1＋.‎ 累加可得>n－1＋.(*)‎ 由假设可得aN＋n－1<0，‎ 而当n>－＋1时，显然有n－1＋>0，‎ 因此有1(n∈N*).‎ 法二　假设存在aN≤1(N≥1，N∈N*)，‎ 由(1)可得当n>N时，0≥>1.‎ 于是1－an>(1－an－1)，‎ ‎1－an－1>(1－an－2)，‎ ‎……‎ ‎1－aN＋2>(1－aN＋1).‎ 累乘可得1－an>(1－aN＋1)，(*)‎ 由(1)可得1－an<1，‎ 而当n>log＋N＋1时，‎ 则有(1－aN＋1)>1，‎ 这显然与(*)矛盾.‎ 所以an>1(n∈N*).‎ 探究提高　‎ 数列不等式需要对数列的范围及变化趋势进行探究，而条件又少，因此，反证法就成为解决这类问题的利器.在本例中，(1)首先根据已知不等式由an＋1＜2－<2证明不等式的右边，再根据已知不等式利用基本不等式，可证明不等式的左边；(2)考虑反证法，即假设存在aN≤1，利用条件和(1)，并结合放缩法逐步推出矛盾.进而证明不等式成立.‎ 热点三　放缩法证明数列不等式 ‎[考法1]　放缩为等比数列 ‎【例3－1】 (2018·宁波调研)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，n∈N*.‎ ‎(1)求a2；‎ ‎(2)求的通项公式；‎ ‎(3)设{an}的前n项的和为Sn，求证：≤Sn<.‎ ‎(1)解　由条件可知a2＝＝.‎ ‎(2)解　由an＋1＝得＝·－，‎ 即－1＝，‎ 所以是等比数列，‎ 又－1＝，则－1＝×＝，‎ 所以＝＋1.‎ ‎(3)证明　由(2)可得 an＝≥＝.‎ 所以Sn≥＋·＋…＋· ‎＝，‎ 故Sn≥成立.‎ 另一方面an＝<＝，‎ 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ‎<＋＋＋＋…＋ ‎＝＋－·<＋<，n≥3，‎ 又S1＝<，S2＝<，因此Sn<.‎ 所以≤Sn<.‎ ‎[考法2]　放缩为裂项求和 ‎【例3－2】 (2018·金华联考)已知数列{an}中，a1＝3，2an＋1＝a－2an＋4.‎ ‎(1)证明：an＋1>an；‎ ‎(2)证明：an≥2＋；‎ ‎(3)设数列的前n项和为Sn，求证：1－≤Sn<1.‎ 证明　(1)∵2an＋1－2an＝a－4an＋4＝(an－2)2≥0，‎ ‎∴an＋1≥an≥3，∴(an－2)2>0，‎ ‎∴an＋1>an.‎ ‎(2)∵2an＋1－4＝a－2an＝an(an－2)，‎ ‎∴＝≥，‎ ‎∴an－2≥(an－1－2)≥(an－2－2)≥…≥(a1－2)＝，‎ ‎∴an≥2＋.‎ ‎(3)∵2(an＋1－2)＝an(an－2)，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＝－，∴＝－，‎ ‎∴Sn＝＋＋…＋ ‎ ＝－＋－＋…＋－ ‎ ＝－ ‎ ＝1－.‎ ‎∵an＋1－2≥，∴0<≤，‎ ‎∴1－≤Sn＝1－<1.‎ 探究提高　数列中不等式的证明本身就是放缩的结果，在证明过程中，要善于观察数列通项的特点，结合不等式的结构合理地选择放大与缩小，常见的两种放缩方式是：①放缩成等比数列求和形式；②放缩成裂项求和形式.‎ 数列、不等式是高中数学的重点内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点之一.命题方式灵活，对学生的数学思维要求较高，具有良好的高考选拔功能.数列中不等式的证明，是浙江省高考数学试题的特色，解决问题方法独特，需要综合运用分析法、放缩法、反证法、数学归纳法、以及构造函数借助导数的工具、不等式的性质等解决问题.‎ ‎1.(2016·浙江卷)设数列{an}满足|an－|≤1，n∈N*.‎ ‎(1)证明：|an|≥2n－1(|a1|－2)，n∈N*；‎ ‎(2)若|an|≤，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*.‎ 证明　(1)由≤1得|an|－|an＋1|≤1，‎ 故－≤，n∈N*，‎ 所以－＝＋＋…＋≤＋＋…＋＝1－＜1，‎ 因此|an|≥2n－1(|a1|－2).‎ ‎(2)任取n∈N*，由(1)知，对于任意m＞n，‎ －＝＋＋…＋≤＋＋…＋＝ ‎＜，‎ 故|an|＜·2n≤·2n＝2＋·2n.‎ 从而对于任意m＞n，均有|an|＜2＋·2n.①‎ 由m的任意性得|an|≤2.‎ 否则，存在n0∈N*，‎ 与①式矛盾.综上，对于任意n∈N*，均有|an|≤2.‎ ‎2.(2018·学军中学月考)已知数列{an}满足，a1＝1，an＝－.‎ ‎(1)求证：≤an≤1；‎ ‎(2)求证：|an＋1－an|≤；‎ ‎(3)求证：|a2n－an|≤.‎ 证明　(1)用数学归纳法证明.‎ ‎①当n＝1时，命题显然成立；‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，有≤ak≤1成立，‎ 则当n＝k＋1时，ak＋1＝≤<1，‎ ak＋1＝≥＝，即当n＝k＋1时也成立，‎ 所以对任意n∈N*，都有≤an≤1.‎ ‎(2)当n＝1时，|a2－a1|＝，‎ 当n≥2时，∵＝·＝1＋≥1＋＝，‎ ‎∴|an＋1－an|＝ ‎＝ ‎≤|an－an－1|≤…≤|a2－a1|‎ ‎＝·<.‎ 综上所述，|an＋1－an|≤.‎ ‎(3)当n＝1时，|a2－a1|＝＝<；‎ 当n≥2时，由(2)知 ‎|a2n－an|≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an|≤ ‎＝－≤－＝.‎ 综上所述，|a2n－an|≤.‎ ‎3.(2018·浙东北大联盟考试)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an－，数列的前n项和为Sn.证明：当n∈N*时，‎ ‎(1)0n－.‎ 证明　(1)由于an＋1－an＝－≤0，‎ 则an＋1≤an.‎ 若an＋1＝an，则an＝0，与a1＝矛盾，‎ 故an≠0，从而an＋1a2>a3>…>an.‎ 又＝1－≥1－>0，‎ 则an＋1与an同号.‎ 又a1＝>0，则an＋1>0，故0－.‎ 当n≥2时，＝＋＋…＋＋>－＋－＋…＋1－＋＝3－＝>0，从而an<.‎ 当n＝1时，a1＝＝，从而an≤.‎ ‎(3)由＝1－≥1－ ‎＝1－(当且仅当n＝1时，取等号)，‎ 得Sn＝＋＋…＋≥n－>n－.‎ ‎4.(2017·杭州质量检测)已知数列{an}的各项均为非负数，其前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有an＋1≤.‎ ‎(1)若a1＝1，a505＝2 017，求a6的最大值；‎ ‎(2)若对任意n∈N*，都有Sn≤1，求证：0≤an－an＋1≤.‎ ‎(1)解　由题意知an＋1－an≤an＋2－an＋1，‎ 设di＝ai＋1－ai(i＝1，2，…，504)，‎ 则d1≤d2≤d3≤…≤d504，‎ 且d1＋d2＋d3＋…＋d504＝a505－a1＝2 016.‎ ‎∵≤ ‎＝，‎ ‎∴d1＋d2＋…＋d5≤20，‎ ‎∴a6＝a1＋(d1＋d2＋…＋d5)≤21，a6的最大值为21.‎ ‎(2)证明　若存在k∈N*，使得ak