【数学】2018届一轮复习人教A版直线的倾斜角与斜率、直线方程学案 9页

‎1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．‎ ‎2．掌握确定直线位置的几何要素．‎ ‎3．掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．‎ 知识点一　直线的倾斜角与斜率 ‎ ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴______与直线l______方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．‎ ‎(2)倾斜角的范围为________．‎ ‎2．直线的斜率 ‎(1)定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．‎ ‎(2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________.‎ 答案 ‎1．(1)正向　向上　0°　(2)[0°，180°)‎ ‎2．(1)正切值　tanα　(2) ‎1．直线2x＋1＝0的倾斜角为________．‎ 解析：直线2x＋1＝0的斜率不存在，倾斜角为90°.‎ 答案：90°‎ ‎2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)‎ A．1 B．4‎ C．1或3 D．1或4‎ 解析：由题意知，＝1，解得m＝1.‎ 答案：A 知识点二　直线方程 ‎ ‎1．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 ‎____________‎ 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 ‎____________‎ 两点式 过两点 ‎____________‎ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ‎____________‎ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0‎ ‎(A2＋B2≠0)‎ 所有直线 ‎2.线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．‎ 答案 ‎1．y＝kx＋b　y－y0＝k(x－x0)　＝　＋＝1‎ ‎2.　 ‎3．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.则直线l的方程为(　　)‎ A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0‎ C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0‎ 解析：由点斜式得y－5＝－(x＋2)，即3x＋4y－14＝0.‎ 答案：A ‎4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．－2或－1 D．－2或1‎ 解析：当a＝0时，直线方程为y－2＝0，不满足题意，所以a≠0，所以在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2＋a，则由2＋a＝，得a＝－2或a＝1.‎ 答案：D ‎5．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的斜率等于直线x＋y＝0的斜率的2倍，则这条直线的方程为________．‎ 解析：由x＋y＝0，得y＝－x，故所求直线的斜率k＝－，又该直线过点A(2，－3)，所以这条直线的方程为 y－(－3)＝－(x－2)，整理得2x＋y－4＋3＝0.‎ 答案：2x＋y－4＋3＝0‎ 热点一　直线的倾斜角与斜率 ‎ ‎【例1】　(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A．[0，π) B.∪ C. D.∪ ‎(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．‎ ‎【解析】　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π.‎ ‎(2)如图，‎ ‎∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，‎ ‎∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；‎ ‎(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率.‎ ‎1．若将例题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．‎ 解：∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，‎ ‎∴kAP＝＝，‎ kBP＝＝.‎ 如图可知，直线l斜率的取值范围为.‎ ‎2．若将例题(2)条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围．‎ 解：‎ 法1：如图所示，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，由图可观察出：直线l 倾斜角α的范围是∪.‎ 法2：由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0.‎ ‎∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上．∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1.‎ ‎∴直线l的倾斜角α的范围是∪.‎ ‎【总结反思】‎ 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0).‎ 热点二　直线方程的求法 ‎ ‎【例2】　求适合下列条件的直线的方程：‎ ‎(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是；‎ ‎(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．‎ ‎【解】　(1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝.∴cosα＝±，直线的斜率k＝tanα＝±.又直线在y轴上的截距是－5，‎ 由斜截式得直线方程为y＝±x－5.‎ ‎(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)．‎ ‎∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1.‎ ‎∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(3)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.‎ ‎∵tanα＝3，∴tan2α＝＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎【总结反思】‎ 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，当两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.‎ ‎ ‎ ‎(1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)‎ A．2x＋y－12＝0‎ B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0‎ C．x－2y－1＝0‎ D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0‎ ‎(2)已知直线l过直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与直线x－3y＋2＝0垂直，则直线l的方程为________.‎ 解析：(1)当直线过原点时，由直线过点(5,2)，可得直线的斜率为，故直线的方程为y＝x，即2x－5y＝0.当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为k(k≠0)，则在y轴上的截距是2k，直线的方程为＋＝1，把点(5,2)代入可得＋＝1，解得k＝6.故直线的方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.故选B.‎ ‎(2)由条件可设直线l的方程为3x＋y＋m＝0.解方程得直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点坐标为(－1,1)．由题意，得3×(－1)＋1＋m＝0，即m＝2.故直线l的方程为3x＋y＋2＝0.‎ 答案：(1)B　(2)3x＋y＋2＝0‎ 热点三　直线方程的应用 ‎ 考向1　与基本不等式相结合求最值 ‎【例3】　已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O 为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程．‎ ‎【解】　设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝‎2a＋b－5＝(‎2a＋b)－5＝＋≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.‎ ‎【总结反思】‎ 直线方程与平面向量结合的问题，应注意两点：一是要用坐标准确表示向量；二是正确使用有关的公式.‎ 考向2　与函数单调性相结合求最值 ‎【例4】　(2016·北京卷)已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(　　)‎ A．－1 B．3‎ C．7 D．8‎ ‎【解析】　依题意得kAB＝＝－2，∴线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2,4]，即y＝－2x＋9，x∈[2,4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2,4]．设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2,4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7.‎ ‎【答案】　C 考向3　与几何图形相结合的问题 ‎【例5】　已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________________．‎ ‎【解析】　‎ 作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以<<.‎ ‎【答案】　<< ‎【总结反思】‎ 与直线有关的最值问题的解题思路 ‎(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y.‎ ‎(2)将问题转化成关于x(或y)的函数．‎ ‎(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值.‎ ‎ ‎ ‎(1)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎(2)(2017·兰州模拟)已知直线l1：ax－2y＝‎2a－4，l2：2x＋a2y＝‎2a2＋4，当00，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b＝2时取到，故a＋b的最小值为4.‎ ‎(2)由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，面积最小．‎ 答案：(1)C　(2) ‎1．直线的倾斜角和斜率的关系 ‎(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．‎ ‎(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：‎ α ‎0°‎ ‎0°<α<90°‎ ‎90°‎ ‎90°<α<180°‎ k ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ ‎2．与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点 ‎(1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．‎ ‎(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．‎ ‎(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．‎