新高考2020高考数学二轮复习大题考法专训一解三角形20200113038 5页

大题考法专训（一） 解三角形 A级——中档题保分练 ‎1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B－cos‎2C＝sin‎2A＋sin Asin B．‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若A＝，△ABC的面积为4，M为BC的中点，求AM.‎ 解：(1)由cos2B－cos‎2C＝sin‎2A＋sin Asin B，‎ 得sin‎2C－sin2B＝sin‎2A＋sin Asin B．‎ 由正弦定理，得c2－b2＝a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，‎ 所以cos C＝＝＝－.‎ 因为0＜C＜π，所以C＝.‎ ‎(2)因为A＝，所以B＝.‎ 所以△ABC为等腰三角形，且顶角C＝.‎ 因为S△ABC＝absin C＝a2＝4，所以a＝4.‎ 在△MAC中，AC＝4，CM＝2，C＝，‎ 所以AM2＝AC2＋CM2－‎2AC·CM·cos C＝16＋4＋2×4×2×＝28，所以AM＝2.‎ ‎2．(2019·长沙统考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)＝csin.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若△ABC的面积为，周长为8，求a.‎ 解：(1)由题设得asin C＝ccos ，‎ 由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos ，‎ 所以sin A＝cos ，所以2sin cos ＝cos ，‎ 所以sin ＝，故A＝60°.‎ ‎(2)由题设得bcsin A＝，从而bc＝4.‎ - 5 -‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 得a2＝(b＋c)2－12.‎ 又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝.‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝7，sin C＝.‎ ‎(1)若cos B＝，求b的值；‎ ‎(2)若a＋b＝11，求△ABC的面积．‎ 解：(1)在△ABC中，因为cos B＝，且B∈(0，π)，所以sin B＝，‎ 根据正弦定理＝，及c＝7，sin C＝，解得b＝5.‎ ‎(2)在△ABC中，因为sin C＝，所以cos C＝±.‎ 当cos C＝时，根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ 及a＋b＝11，c＝7，‎ 得49＝121－2ab－，所以ab＝30，‎ 所以解得或 所以△ABC的面积S△ABC＝absin C＝6.‎ 当cos C＝－时，根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ 及a＋b＝11，c＝7，得ab＝45，‎ 此时方程组无解．‎ 综上，△ABC的面积为6.‎ B级——拔高题满分练 ‎1．(2019·福州质检)在Rt△ABC中∠C＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面积为3.‎ ‎(1)求边DE的长；‎ ‎(2)若AD＝3，求sin A的值．‎ 解：(1)如图，在△ECD中，S△ECD＝CE·CDsin∠DCE＝×3×5×sin∠DCE＝3，‎ - 5 -‎ 所以sin∠DCE＝，‎ 因为0°＜∠DCE＜90°，‎ 所以cos∠DCE＝＝，‎ 所以DE2＝CE2＋CD2－2·CE·CD·cos∠DCE＝9＋25－2×3×5×＝28，‎ 所以DE＝2.‎ ‎(2)因为∠ACB＝90°，所以sin∠ACD＝sin(90°－∠DCE)＝cos∠DCE＝，‎ 在△ADC中，由正弦定理，得＝，‎ 即＝，‎ 所以sin A＝.‎ ‎2．(2019·昆明质检)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acos B)＝b.‎ ‎(1)求角A；‎ ‎(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．‎ 解：(1)由2(c－acos B)＝b及正弦定理得2(sin C－sin Acos B)＝sin B，‎ 所以2sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin B，‎ 即2cos Asin B＝sin B，‎ 因为sin B≠0，所以cos A＝，又0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎(2)因为a＝2，所以由正弦定理得b＝4sin B，c＝4sin C，‎ 所以S△ABC＝bcsin A＝bc＝4sin Bsin C.‎ 因为C＝π－(A＋B)＝－B，所以sin C＝sin，‎ 所以S△ABC＝4sin Bsin ‎＝4sin B ‎＝2sin Bcos B＋2sin2B ‎＝sin 2B－cos 2B＋ ‎＝2sin＋.‎ - 5 -‎ 因为0＜B＜，所以－＜2B－＜，‎ 所以－＜sin≤1，‎ 所以0＜S△ABC≤2＋.‎ 即△ABC面积的取值范围为(0,2＋]．‎ ‎3.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝.‎ ‎(1)求CD；‎ ‎(2)求∠ABC.‎ 解：(1)∵S△BCD＝BD·BC·sin∠CBD＝，‎ BC＝2，BD＝3＋，‎ ‎∴sin∠CBD＝.‎ ‎∵∠ABC为锐角，∴∠CBD＝30°.‎ 在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(2)2＋(3＋)2－2×2×(3＋)×＝9，‎ ‎∴CD＝3.‎ ‎(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，解得sin∠BDC＝.‎ ‎∵BC＜BD，∴∠BDC为锐角，∴cos∠BDC＝.‎ 在△ACD中，由正弦定理得＝，‎ 即＝.①‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 即＝.②‎ ‎∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠BAC.‎ 由①②得＝，解得sin∠ABC＝.‎ - 5 -‎ ‎∴∠ABC为锐角，∴∠ABC＝45°.‎ - 5 -‎