2018届二轮复习圆锥曲线的概念与性质与弦有关的计算问题课件（全国通用） 116页

第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关 的计算问题 【 知识回顾 】 1. 圆锥曲线的定义式 (1) 椭圆 :|PF 1 |+|PF 2 |=2a(2a>|F 1 F 2 |); (2) 双曲线 :||PF 1 |-|PF 2 ||=2a(2a<|F 1 F 2 |); (3) 抛物线 :|PF|=|PM|, 点 F 不在直线 l 上 , PM⊥ l 于 M( l 为抛物线的准线方程 ). 2. 圆锥曲线的重要性质 (1) 椭圆、双曲线中 a,b,c 之间的关系 : ① 在椭圆中 :________; 离心率为 ② 在双曲线中 :________; 离心率为 a 2 =b 2 +c 2 c 2 =a 2 +b 2 (2) 双曲线的渐近线方程与焦点坐标 : ① 双曲线 =1(a>0,b>0) 的渐近线方程为 _______; 焦点坐标 F 1 _______,F 2 ______; ② 双曲线 =1(a>0,b>0) 的渐近线方程为 ______, 焦点坐标 F 1 _______,F 2 ______. (-c,0) (c,0) (0,-c) (0,c) (3) 抛物线的焦点坐标与准线方程 : ① 抛物线 y 2 =±2px(p>0) 的焦点坐标为 ______, 准线方 程为 _ _ _ _ _ _ ; ② 抛物线 x 2 =±2py(p>0) 的焦点坐标为 _ _ _ _ _ _ , 准线方 程为 _ _ _ _ _ _ . 3. 弦长问题 (1) 直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求 , 利用根与系数的关系 , 进行整体代入 . 即当斜 率为 k, 直线与圆锥曲线交于 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ) 时 , (2) 过抛物线焦点的弦长 抛物线 y 2 =2px(p>0) 过焦点 F 的弦 AB, 若 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则 x 1 x 2 = ,y 1 y 2 =-p 2 , 弦长 |AB|=_______. x 1 +x 2 +p 【 易错提醒 】 1. 忽略条件致误 : 应用圆锥曲线定义解题时 , 易忽视定义中的条件导致错误 . 2. 忽略焦点的位置致误 : 当焦点位置没有明确给出时应对焦点位置进行分类讨论 , 椭圆、双曲线有两种情况 , 抛物线有四种情况 . 3. 混淆 a,b,c 的关系致误 : 在椭圆中 a 2 =b 2 +c 2 , 在双曲线中 c 2 =a 2 +b 2 , 在使用时谨防张冠李戴 . 4. 注意隐含条件 : 圆锥曲线上点的横坐标、纵坐标是有范围的 , 在涉及求最值或范围问题时可能要用到 . 【 考题回访 】 1.(2016· 全国卷 Ⅰ) 已知方程 表示 双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4 ，则 n 的取值 范围是 ( 　　 ) A.(-1 ， 3) B.(-1 ， ) C.(0 ， 3) D.(0 ， ) 【 解析 】 选 A. 表示双曲线， 则 (m 2 +n)(3m 2 -n)>0 ， 所以 -m 2 0) 与 C 交于点 P,PF⊥x 轴 , 则 k= 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 因为抛物线方程是 y 2 =4x, 所以 F(1,0). 又因为 PF⊥x 轴 , 所以 P(1,2), 把 P 点坐标代入曲线方程 y= (k>0), 即 =2, 所以 k=2. 3.(2016 · 天津高考 ) 已知双曲线 =1(b>0), 以原点为圆心 , 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点 , 四边形 ABCD 的面积为 2b, 则双曲线的方程为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 渐近线 OB: 所以 x 0 =1, 所以 所以 所以 b 2 =12, 所以 4.(2014 · 全国卷 Ⅰ) 已知抛物线 C:y 2 =x 的焦点为 F, A(x 0 ,y 0 ) 是 C 上一点 ,|AF|= x 0 , 则 x 0 = 　 ( 　　 ) A.1 B.2 C.4 D.8 【 解析 】 选 A. 根据抛物线的定义可知 |AF|=x 0 + 解得 x 0 =1. 5.(2014 · 全国卷 Ⅱ) 设 F 为抛物线 C:y 2 =3x 的焦点 , 过 F 且 倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点 , 则 | AB| = 　 ( 　　 ) A. B.6 C.12 D.7 【 解析 】 选 C. 设 |AF|=2m,|BF|=2n, 则由抛物线 的定义和直角三角形知识可得 , 2m=2× 2n=2× 解得 所以 m+n=6. |AB|=|AF|+|BF|=2m+2n=12. 故选 C. 热点考向一 　圆锥曲线的定义、标准方程与性质 命题解读 : 主要考查圆锥曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等性质 , 以选择题、填空题为主 . 【 典例 1】 (1)(2016 · 承德一模 ) 已知抛物线 C:y 2 =8x 的 焦点为 F, 准线为 l ,P 是 l 上一点 ,Q 是直线 PF 与 C 的一个交 点 , 若 则 |QF|= 　 ( 　　 ) (2)(2016 · 郑州二模 ) 经过点 (2,1), 且渐近线与圆 x 2 +(y-2) 2 =1 相切的双曲线的标准方程为　 ( 　　 ) (3)(2016 · 福州一模 ) 已知椭圆 (a>b>0) 的左 右焦点分别为 F 1 ,F 2 , 过点 F 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点 , 若△ F 1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 , 则椭圆 的离心率为　 ( 　　 ) 【 解题导引 】 (1) 先由向量的线性关系及相似三角形的性质 , 确定线段间的比例关系 , 再根据抛物线的定义求解线段长度 . (2) 先求双曲线的渐近线方程 , 根据渐近线方程判断焦点的位置 , 然后列方程组求解 . (3) 根据△ F 1 AB 的周长为 4a, 把 AF 1 ,AF 2 用 a 表示 , 再根据勾股定理找出 a,c 满足的关系式 . 【 规范解答 】 (1) 选 B. 如图所示 , 因为 所以 过点 Q 作 QM⊥ l , 垂足为 M, 则 MQ∥x 轴 , 所以 所以 |MQ|=3, 由抛物线定义知 |QF|=|QM|=3. (2) 选 A. 设双曲线的渐近线方程为 y= kx , 即 kx-y =0, 由题 意知 解得 k=± , 则双曲线的焦点在 x 轴 , 设双曲线方程为 所以 , 所求方程为 (3) 选 D. 设 |F 1 F 2 |=2c,|AF 1 |=m, 若△ F 1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 , 所以 |AB|=|AF 1 |=m,|BF 1 |= m. 由椭圆的定义可知△ F 1 AB 的周长为 4a, 所以 4a=2m+ m,m=2(2- )a. 所以 |AF 2 |=2a-m=(2 -2)a. 因为 |AF 1 | 2 +|AF 2 | 2 =|F 1 F 2 | 2 , 所以 4(2- ) 2 a 2 +4( -1) 2 a 2 =4c 2 , 所以 e 2 =9-6 ,e= 【 母题变式 】 1. 本例 (3) 中若椭圆改为双曲线 (a>0,b>0) 过 F 2 的直线与双曲线交于 A,B 两点 , 其他条件不变 , 则双曲 线离心率 e 2 的值为 ________. 【 解析 】 如图所示 : 因为 |AF 1 |-|AF 2 |=2a,|BF 1 |-|BF 2 |=2a, |BF 1 |=|AF 2 |+|BF 2 |, 所以 |AF 2 |=2a,|AF 1 |=4a. 所以 |BF 1 |=2 a,|BF 2 |=2 a-2a. 因为 |F 1 F 2 | 2 =|BF 1 | 2 +|BF 2 | 2 , 所以 (2c) 2 =(2 a) 2 +(2 a-2a) 2 , 所以 e 2 =5-2 . 答案 : 5-2 2. 在本例 (3) 中若条件变为 “ 在双曲线 (a>0,b>0) 中 ,A 1 ,A 2 是左、右顶点 ,F 是右焦点 ,B 是虚轴的上端点 , 若在线段 BF 上存在点 P, 使得△ PA 1 A 2 构成以 A 1 A 2 为斜边的直角三角形 ” , 试求双曲线离心率 e 的取值范围 . 【 解析 】 由题意知以线段 A 1 A 2 为直径的圆和线段 BF 有公共点 , 则原点到直线 BF 的距离小于或等于 a, 又直线 BF 的方程为 即 bx+cy-bc =0, 所以 整理得 a 4 -3a 2 c 2 +c 4 ≤0, 即 e 4 -3e 2 +1≤0, 解得 又 e>1, 所以 1b>0) 的左焦点 ,A,B 分别为 C 的左 , 右顶点 . P 为 C 上一点 , 且 PF⊥x 轴 . 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M, 与 y 轴交于点 E. 若直线 BM 经过 OE 的中点 , 则 C 的离心率 为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 由题意可知直线 AE 的斜率存在 , 设为 k, 直 线 AE 的方程为 y= k( x+a ), 令 x=0 可得点 E 坐标为 ( 0,ka), 所以 OE 的中点 H 坐标为 又右顶点 B(a,0), 所以可得 直线 BM 的斜率为 - , 可设其方程为 y=- x+ a, 联立 可得点 M 横坐标为 - , 又点 M 的横坐标和 左焦点相同 , 所以 - =-c, 所以 e= . 2.(2016 · 合肥二模 ) 已知抛物线 y 2 =2px(p>0) 上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p, 则直线 MF 的斜率为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 设 M(x 0 ,y 0 ), 由题意 x 0 + =2p, 则 x 0 = , 从而 y 0 2 =3p 2 , 【 加固训练 】 1. 已知 F 1 ,F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点 ,P 是它们的一 个公共点 , 且∠ F 1 PF 2 = , 则椭圆和双曲线的离心率的 倒数之和的最大值为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 设 |PF 1 |=m,|PF 2 |=n,F 1 F 2 =2c 且 m>n, 则椭 圆与双曲线离心率的倒数和为 由余弦定理 4c 2 =m 2 +n 2 -2m · n · cos =m 2 +n 2 -mn. 即 n 2 -mn+m 2 -4c 2 =0, 关于 n 的一元二次方程有解 , Δ=m 2 -4(m 2 -4c 2 )≥0, 故 16c 2 ≥3m 2 , 2. 已知椭圆 C 1 : 与双曲线 C 2 : 有相 同的焦点 , 则椭圆 C 1 的离心率 e 的取值范围为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 因为椭圆 C 1 : 与双曲线 C 2 : 有相同的焦点 , 所以 m>0,n<0. 且 m+2-(-n)= m-n , 解得 n=-1. 所以椭圆 C 1 的离心率 e= 又 e<1, 所以椭圆 C 1 的离心率 e 的取值范围为 3. 已知抛物线 y 2 =2px 的焦点 F 与双曲线 =1 的右焦 点重合 , 抛物线的准线与 x 轴的交点为 K, 点 A 在抛物线上 且 |AK|= |AF|, 则△ AFK 的面积为 ( 　　 ) A.4 B.8 C.16 D.32 【 解析 】 选 D. 因为抛物线 y 2 =2px 的焦点 F 与双曲线 =1 的右焦点重合 , 所以 p=8. 设 A(m,n ), 又 |AK|= |AF|, 所以 m+4=|n|, 又 n 2 =16m, 解得 m=4,|n|=8, 所以△ AFK 的面积为 S= ×8×8=32. 4. 设 F 是双曲线 C: 的一个焦点 , 若 C 上存在点 P, 使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点 , 则 C 的离心率为 ________. 【 解析 】 根据对称性 , 不妨设 F(c,0), 短轴端点为 (0,b), 从而可知点 (-c,2b) 在双曲线上 , 所以 答案 : 热点考向二 　圆锥曲线与圆、直线的综合 命题解读 : 主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与圆相结合时处理问题的能力 . 【 典例 2】 (1)(2016 · 平顶山二模 ) 已知点 E(-λ,0) (λ≥0), 动点 A,B 均在抛物线 C:y 2 =2px(p>0) 上 , 若 的最小值为 0, 则 λ 的值为　 ( 　　 ) A. 　　　 B.0 　　　 C.p 　　　　 D.2p (2)(2016 · 承德二模 ) 已知椭圆 C: (a>b>0) 的 离心率为 且过点 ① 求椭圆 C 的方程 ; ② 设与圆 O:x 2 +y 2 = 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点 , 求△ OAB 面积的最大值及取得最大值时直线 l 的方程 . 【 解题导引 】 (1) 根据 的最小值为 0 知 ,∠AEB 的 最大值为 90°, 此时直线 EA,EB 均与抛物线相切 , 且直线 EA,EB 的斜率分别为 1 和 -1. (2)① 直接列方程组求 a,b 的值 ;② 分直线 l 的斜率存在 与不存在两种情况求解 , 当斜率存在时 , 求△ OAB 面积的 最大值 , 实际上是求 |AB| 的最大值 . 【 规范解答 】 (1) 选 A. 当 的最小值为 0 时 , 直线 EA,EB 相互垂直且都与抛物线相切 , 根据抛物线的对称 性不妨令直线 EA 的方程为 y= x+λ , 由 得 y 2 -2py+2pλ=0, 则 Δ=4p 2 -8pλ=0, 解得 λ= . (2)① 由题意可得 : a 2 =3,b 2 =1, 所以 +y 2 =1. ② (ⅰ) 当直线 l 的斜率 k 不存在时 ,x=± , 所以 y=± , 所以 |AB|= . 又圆半径为 . 所以 S △OAB = (ⅱ) 当直线 l 的斜率 k 存在时 , 设直线 l 方程为 y= kx+m , A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), (1+3k 2 )x 2 +6kmx+3m 2 -3=0, 又直线 l 与圆相切 , 则有 即 4m 2 =3(1+k 2 ) 所以 |AB|= 当且仅当 即 k=± 时等号成立 , S △OAB = 所以△ OAB 面积的最大值为 , 此时直线 l 的方程为 y=± x±1. 【 规律方法 】 处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点 (1) 注意圆心、半径和平面几何知识的应用 , 如直径所对的圆周角为直角 , 构成了垂直关系 ; 弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等 . (2) 注意圆与特殊线的位置关系 , 如圆的直径与椭圆长轴 ( 短轴 ), 与双曲线的实轴 ( 虚轴 ) 的关系 ; 圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等 . 【 题组过关 】 1.(2016 · 长沙二模 ) 双曲线 (a>0,b>0) 与椭 圆 的焦点相同 , 若过右焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有两个不同交点 , 则此双曲线实 半轴长的取值范围是　 ( 　　 ) A.(2,4) B.(2,4] C.[2,4) D.(2,+∞) 【 解析 】 选 A. 椭圆 的半焦距 c=4. 要使直线与双曲线有两个交点 , 需使双曲线的其中一渐 近线方程的斜率小于直线的斜率 , 即 即 b< a, 所以 c 2 -a 2 <3a 2 , 整理得 c<2a, 所以 a>2, 又 ab>0), 直线 x+ky-3=0 所经过的定点是 (3,0), 即点 F(3,0). 因为椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8, 所以 a+3=8,a=5, 所以 b 2 =5 2 -3 2 =16, 所以椭圆 C 的方程为 (2) 因为点 P(m,n ) 在椭圆 C 上 , 所以 即 n 2 =16- 又原点到直线 l :mx+ny =1 的距离 d= 所以直线 l :mx+ny =1 与圆 O:x 2 +y 2 =1 恒相交 , 则 l 2 =4(1 2 -d 2 )= 因为 -5≤m≤5, 所以 【 加固训练 】 已知椭圆 C 1 过点 且其右顶点与椭圆 C 2 :x 2 +2y 2 =4 的右焦点重合 . (1) 求椭圆 C 1 的标准方程 . (2) 设 O 为原点 , 若点 A 在椭圆 C 1 上 , 点 B 在椭圆 C 2 上 , 且 OA⊥OB, 试判断直线 AB 与圆 x 2 +y 2 =1 的位置关系 , 并证明你的结论 . 【 解析 】 (1) 因为椭圆 C 2 : 的右焦点为 ( ,0), 所以可设椭圆 C 1 : 又椭圆 C 1 过点 所以 解得 b 2 = 故椭圆 C 1 的标准方程为 (2) 直线 AB 与圆 x 2 +y 2 =1 相切 . 证明如下 : 设原点到直线 AB 的距离为 d. ① 若 OA 斜率不存在 , 则 B(±2,0), 此时 |AB|= 由 |OA| · |OB|=| AB|d 得 ,d=1. ② 若 OA 斜率存在 , 由已知 OA⊥OB, 可设 OA:y = kx,OB:ky =-x, 即 d=1. 综上 , 直线 AB 与圆 x 2 +y 2 =1 相切 . 热点考向三 　圆锥曲线中的最值 ( 范围 ) 及与 弦有关的问题 命题解读 : 主要考查直线与圆锥曲线相交时的弦长公式和最值的求法 , 三种题型都有可能出现 . 命题角度一　圆锥曲线中的最值 ( 范围 ) 问题 【 典例 3】 (2016 · 衡阳二模 ) 已知抛物线 E:y =ax 2 上三 个不同的点 A(1,1),B,C 满足关系式 (1) 求抛物线 E 的方程 . (2) 求△ ABC 的外接圆面积的最小值及此时△ ABC 的外接 圆的方程 . 【 题目拆解 】 解答本题第 (2) 问 , 可拆解成四个小题 : ① 设 B(x 1 ,x 1 2 ),C(x 2 ,x 2 2 ), 根据 找出 x 1 ,x 2 的关系式 , 用 x 1 表示 x 2 ; ② 求 x 2 的取值范围 ; ③ 用 x 2 表示△ ABC 的外接圆的直径 |AC|; ④ 利用导数求 |AC| 的最小值 , 从而求出△ ABC 的外接圆面积的最小值 . 【 规范解答 】 (1) 因为 1=a×1 2 , 所以 a=1, 抛物线 E 的方程为 y=x 2 . (2) 设 B(x 1 ,x 1 2 ),C(x 2 ,x 2 2 ), 则 =(x 1 -1,x 1 2 -1), =(x 2 -x 1 ,x 2 2 -x 1 2 ) 因为 ⇒ (x 1 -1)(x 2 -x 1 )+(x 1 2 -1)(x 2 2 -x 1 2 )=0, 因为 x 1 ≠1,x 1 ≠x 2 , 所以 1+(x 1 +1)(x 1 +x 2 )=0, 且 x 1 ≠-1, 所以 x 2 = 当 x 1 +1>0 时 ,x 2 ≤-1; 当 x 1 +1<0 时 ,x 2 ≥3, 所以 x 2 ∈(-∞,-1]∪[3,+∞). 因为 所以 AB⊥BC, 从而△ ABC 的外接圆的直径为 |AC|, 要使△ ABC 的外接圆面积最小 , 须 |AC| 最小 . 因为 |AC|= 令 f(x )=x 4 -x 2 -2x+2,x∈(-∞,-1]∪[3,+∞), 所以 f′(x)=4x 3 -2x-2=(x-1)(4x 2 +4x+2) =(x-1)[(2x+1) 2 +1]. 所以 x∈(-∞,-1] 时 , f′(x )<0,f(x) 递减 ; x∈[3,+∞) 时 , f′(x )>0,f(x) 递增 . 又 f(-1)=4,f(3)=68, 所以 | AC| min =2, 此时 x 2 =-1, 所以 r=1,△ABC 的外接圆面积 S min =π. 所以 C(-1,1). 所以△ ABC 的外接圆的圆心为 (0,1), 半径 r=1, 所以△ ABC 的外接圆方程为 x 2 +(y-1) 2 =1. 【 易错警示 】 解答本题易出现以下二种错误 : (1) 不会应用消元法把 |AC| 用一个变量表示 . (2) 不会应用导数求 |AC| 的最小值 . 命题角度二　与弦、弦中点有关的问题 【 典例 4】 (2016 · 全国卷 Ⅲ) 已知抛物线 C:y 2 =2x 的焦点为 F, 平行于 x 轴的两条直线 l 1 , l 2 分别交 C 于 A,B 两点 , 交 C 的准线于 P,Q 两点 . (1) 若 F 在线段 AB 上 ,R 是 PQ 的中点 , 证明 :AR∥FQ. (2) 若△ PQF 的面积是△ ABF 的面积的两倍 , 求 AB 中点的轨迹方程 . 【 解题导引 】 (1) 先写出直线 AB 的方程 , 再通过斜率相等证明 AR∥FQ. (2) 设出 AB 中点的坐标 , 利用 S △PQF =2S △ABF 列等式求轨迹方程 . 【 规范解答 】 (1) 由题意可知 设 l 1 :y=a, l 2 :y=b 且 ab≠0, 记过 A,B 两点的直线方程为 l , 由点 A,B 可得直线方程为 2x-(a+b)y+ab=0, 因为点 F 在线段 AB 上 , 所以 ab+1=0, 记直线 AR 的斜率为 k 1 , 直线 FQ 的斜率为 k 2 , 所以 又因为 ab+1=0, 所以 所以 k 1 =k 2 , 即 AR∥FQ. (2) 设直线 AB 与 x 轴的交点为 D( x 1 ,0 ), 所以 S △ABF = 又 S △PQF = 所以由题意可得 S △PQF =2S △ABF 即 : 解得 x 1 =0( 舍 ) 或 x 1 =1. 设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y ). 当 AB 与 x 轴不垂直时 , 由 k AB = k DE 可得 (x≠1). 而 所以 y 2 =x-1(x≠1). 当 AB 与 x 轴垂直时 ,E 与 D 重合 , 所以 , 所求轨迹方程为 y 2 =x-1. 【 规律方法 】 1. 与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 (1) 数形结合法 : 利用待求量的几何意义 , 确定出临界位置后数形结合求解 . (2) 构建不等式法 : 利用已知或隐含的不等关系 , 构建以待求量为元的不等式求解 . (3) 构建函数法 : 先引入变量构建以待求量为因变量的函数 , 再求其值域 . 2. 弦中点问题的解法 点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算 , 但要注意直线斜率是否存在 . 3. 与弦端点相关问题的解法 解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法 , 就是将其转化为端点的坐标关系 , 再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系 , 构建方程 ( 组 ) 求解 . 【 题组过关 】 1.(2016 · 商丘二模 ) 抛物线 y 2 =2px(p>0) 的焦点为 F, 已 知点 A,B 为抛物线上的两个动点 , 且满足∠ AFB=120°. 过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN, 垂足为 N, 则 的最大值为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 设 |AF|= a,|BF |=b, 连接 AF,BF, 由抛物线定义 , 得 |AF|=|AQ|,|BF|=|BP|, 在梯形 ABPQ 中 ,2|MN|=|AQ|+|BP|= a+b , 由余弦定理得 , AB 2 =a 2 +b 2 -2abcos120°=a 2 +b 2 +ab, 配方得 ,|AB| 2 =(a+b) 2 -ab, 又因为 ab≤ 所以 (a+b) 2 -ab≥(a+b) 2 - (a+b) 2 = (a+b) 2 , 得到 AB≥ ( a+b ). 所以 即 的最大值为 2.(2016 · 天津高考 ) 设椭圆 的右焦点 为 F, 右顶点为 A. 已知 其中 O 为原点 ,e 为 椭圆的离心率 . (1) 求椭圆的方程 . (2) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B( 点 B 不在 x 轴上 ), 垂 直于 l 的直线与 l 交于点 M, 与 y 轴交于点 H. 若 BF⊥HF, 且 ∠ MOA≤∠MAO, 求直线 l 的斜率的取值范围 . 【 解析 】 (1) 由题意 , 如图所示 : 已知 所以 解得 a=2, 所以椭圆方程为 : (2) 由已知 , 设 l 斜率为 k(k≠0), 方程为 y=k(x-2). 设 B(x B ,y B ),M(x 0 ,k(x 0 -2)),x 0 ≥1(∠MOA≤∠MAO), H(0,y H ), 与椭圆的方程联立可得 整理得 (3+4k 2 )x 2 -16k 2 x+16k 2 -12=0,Δ>0 成立 . 由根与系数的关系得 2 · x B = 所以 l HM :y-k(x 0 -2)=- (x-x 0 ), 令 x=0, 得 y H = x 0 -2k, 因为 HF⊥FB, 所以 =(-1,y H ) · (x B -1,y B )=0, 即 1-x B +y H y B 所以 x 0 = ≥1, 所以 8k 2 ≥3, 所以 k≥ 或 k≤- . 所以直线 l 的斜率的取值范围为 【 加固训练 】 1.(2016 · 安阳一模 ) 如图 , 已知抛物线 y 2 =4x 的焦点为 F, 过 F 的直线交抛物线于 M,N 两点 , 其准线 l 与 x 轴交于 K 点 . (1) 求证 :KF 平分∠ MKN. (2)O 为坐标原点 , 直线 MO,NO 分别交准 线于点 P,Q, 求 |PQ|+|MN| 的最小值 . 【 解析 】 抛物线 y 2 =4x 的焦点为 F(1,0), 准线方程为 x= -1. 设直线 MN 的方程为 x=my+1,M,N 的坐标分别是 M( ,y 1 ),N( ,y 2 ), 由 消去 x 得 y 2 -4my-4=0, 所以 y 1 +y 2 =4m,y 1 y 2 =-4. (1) 由题意 , 设 KM 与 KN 的斜率分别为 k 1 ,k 2 , 显然只需证明 k 1 +k 2 =0 即可 . 因为 K(-1,0), 所以 所以 KF 平分∠ MKN. (2) 由 M,O,P 三点共线可求出 P 点的坐标为 由 N,O,Q 三点共线可求出 Q 点的坐标为 则 而 |MN|= 所以 |PQ|+|MN|= +4(1+m 2 ) 所以当 m=0 时 ,|MN|+|PQ| 取最小值 8. 2.(2016 · 银川二模 ) 已知动点 M(x,y ) 到直线 l :x =4 的距离是它到点 N(1,0) 的距离的 2 倍 . (1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程 . (2) 过点 P(0,3) 的直线 m 与轨迹 C 交于 A,B 两点 , 若 A 是 PB 的中点 , 求直线 m 的斜率 . 【 解析 】 (1) 如图① , 设点 M 到直线 l 的距离为 d, 根据题意 , d=2|MN|, 由此得 |4-x| 化简得 所以动点 M 的轨迹 C 的方程为 (2) 方法一 : 由题意 , 设直线 m 的方程为 y=kx+3,A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ), 如图② . 将 y=kx+3 代入 中 , 有 (3+4k 2 )x 2 +24kx+24=0, 其中 ,Δ=(24k) 2 -4×24(3+4k 2 ) =96(2k 2 -3)>0, 由根与系数的关系 , 得 又 A 是 PB 的中点 , 故 x 2 =2x 1 . 　③ 将③代入①② , 得 可得 且 k 2 > , 解得 k=- 或 k= , 所以直线 m 的斜率为 - 或 . 方法二 : 由题意 , 设直线 m 的方程为 y=kx+3,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ). 因为 A 是 PB 的中点 , 联立①②③④ , 解得 即点 B 的坐标为 (2,0) 或 (-2,0), 所以直线 m 的斜率为 - 或 . 3.(2016 · 衡阳一模 ) 已知椭圆 C: (a>b>0) 过点 离心率为 , 点 F 1 ,F 2 分别为其左右焦点 . (1) 求椭圆 C 的标准方程 . (2) 若 y 2 =4x 上存在两个点 M,N, 椭圆上有两个点 P,Q 满足 M, N,F 2 三点共线 ,P,Q,F 2 三点共线 , 且 PQ⊥MN, 求四边形 PMQN 面积的最小值 . 【 解析 】 (1) 由题意得 : a 2 -b 2 =c 2 , 得 b=c, 因为椭圆过点 则 解得 c=1, 所以 a 2 =2, 所以椭圆 C 的方程为 (2) 当直线 MN 斜率不存在时 , 直线 PQ 的斜率为 0, 易得 |MN|=4,|PQ|=2 ,S=4 . 当直线 MN 斜率存在时 , 设直线方程为 :y=k(x-1)(k≠0), 与 y 2 =4x 联立得 k 2 x 2 -(2k 2 +4)x+k 2 =0, 令 M(x 1 ,y 1 ),N(x 2 ,y 2 ), 则 x 1 +x 2 = +2,x 1 x 2 =1, |MN|= 即有 |MN|= +4, 因为 PQ⊥MN, 所以直线 PQ 的方程为 : y=- (x-1), 将直线与椭圆联立得 , (k 2 +2)x 2 -4x+2-2k 2 =0, 令 P(x 3 ,y 3 ),Q(x 4 ,y 4 ), 由弦长公式 |PQ|= 代入计算可得 |PQ|= 所以四边形 PMQN 的面积 令 1+k 2 =t(t>1), 上式 所以 S≥ . 最小值为 .