【数学】2021届一轮复习人教版（理）第4章第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案 15页

第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ‎[最新考纲]　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．‎ ‎1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：‎ x ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 ‎1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．‎ ‎2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)‎ ‎(2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)‎ ‎(3)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．(　　)‎ ‎(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)‎ A．2，4π，　　　 B．2，， C．2，，－ D．2，4π，－ C　[由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.]‎ ‎2．为了得到函数y＝2sin(2x－)的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 A　[y＝2sin(2x－)＝2sin 2(x－)．]‎ ‎3．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为________．‎ y＝10sin(x＋)＋20，x∈[6，14]　[从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期 所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，‎ 又×＝14－6，所以ω＝.‎ 又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，‎ 所以y＝10sin(x＋)＋20，x∈[6，14]．]‎ ‎4．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 收购价格y(元/斤)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________．‎ y＝6－cosx　[设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin(x＋φ)＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin(＋φ)＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin(x－)＋6＝6－cos x.]‎ 考点1　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 ‎　(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．‎ ‎(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．‎ ‎　已知函数y＝2sin(2x＋)．‎ ‎(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；‎ ‎(2)[一题多解]说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．‎ ‎[解]　(1)描点画出图象，如图所示：‎ ‎(2)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋)的图象；‎ 再把y＝sin(x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋)的图象；‎ 最后把y＝sin(2x＋)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋)的图象．‎ 法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；‎ 再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin[2(x＋)]＝sin(2x＋ ‎)的图象；‎ 再将y＝sin(2x＋)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin(2x＋)的图象．‎ ‎　三角函数图象变换中的3个注意点 ‎(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数．‎ ‎(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向．‎ ‎(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．‎ ‎　1.要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 5x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 B　[函数y＝cos 5x＝sin＝sin 5，‎ y＝sin＝sin 5，设平移φ个单位，‎ 则＋φ＝－，‎ 解得φ＝－，故把函数y＝cos 5x的图象向右平移个单位，可得函数y＝‎ sin的图象．]‎ ‎2．若把函数y＝sin(ωx－)的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是(　　)‎ A．2　　 B. C. D. A　[y＝sin(ωx＋π－)和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.‎ ‎∴2是ω的一个可能值．]‎ ‎3．将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为________．‎ π　[把函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，‎ 可得y＝sin＝sin的图象，‎ ‎∵所得图象关于直线x＝对称，∴4×＋4φ＋＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)，‎ ‎∵φ＞0，∴φmin＝.]‎ 考点2　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤 ‎(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.‎ ‎(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.‎ ‎(3)求φ，常用方法有：‎ ‎①‎ 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.‎ ‎　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝________．‎ ‎(2)(2019·重庆六校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的部分图象如图所示，则f(－)＝________．‎ ‎(1)2sin(2x－)　(2)－　[(1)由题图可知，A＝2，T＝2[－(－)]＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin(2x－)．‎ ‎(2)由函数的图象可得A＝，×＝－，可得ω＝2，则2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，又0＜φ＜，所以φ＝，故f(x)＝sin(2x＋)，所以f(－)＝－.]‎ ‎　一般情况下，ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，它有无数个，如果求出的φ的值不在指定范围内，可以通过加减的整数倍达到目的．‎ ‎　1.(2019·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ B　[因为f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝－cos 2(ωx＋φ)，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝，由题图知＜1，且＞1，即＜T＜2，又ω为正整数，所以ω的值为2，故选B.]‎ ‎2.(2019·合肥模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)‎ A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[，]上单调递减 D．在区间[，]上单调递增 B　[由题意得，A＝2，T＝4×(－)＝π，故ω＝＝2.当x＝时取得最大值2，所以2＝2sin(2×＋φ)，且|φ|＜，所以φ＝，所以函数的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．当x∈[，]时，2x＋∈[，]，又由正弦函数y＝sin x的图象与性质可知，函数y＝sin x在[，]上单调递增，故函数f(x)在[，]上单调递增．当x∈[，]时，2x＋∈[，]，由函数y＝sin x的图象与性质知此区间上不单调，故选B.]‎ ‎3.已知函数f(x)＝sin(πx＋θ)(|θ|＜)的部分图象如图所示，且 f(0)＝－，则图中m的值为________．‎ 　[因为f(0)＝sin θ＝－，且|θ|＜，所以θ＝－，所以f(x)＝sin(πx－)，所以f(m)＝sin(mπ－)＝－，所以mπ－＝2kπ＋，k∈Z，所以m＝2k＋，k∈Z.又周期T＝2，所以0＜m＜2，所以m＝.]‎ 考点3　三角函数图象与性质的综合应用 ‎　函数零点(方程根)问题 ‎　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在(，π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．‎ ‎(－2，－1)　[方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x ‎＝2sin(2x＋)，x∈(，π)．‎ 设2x＋＝t，则t∈(π，π)，‎ 所以题目条件可转化为＝sin t，t∈(π，π)有两个不同的实数根．‎ 所以y1＝和y2＝sin t，t∈(π，π)的图象有两个不同交点，如图：‎ 由图象观察知，的取值范围是(－1，－)，‎ 故m的取值范围是(－2，－1)．]‎ ‎[母题探究]　(变条件)将本例中“有两个不同的实数根”改为“有实根”，则m的取值范围为________．‎ ‎[－2，1)　[由例题可知，∈[－1，)，‎ ‎∴－2≤m＜1，即m的取值范围为[－2，1)．]‎ ‎　三角函数的零点问题可转化为两个函数图象的交点问题．‎ ‎　三角函数图象与性质的综合问题 ‎　已知函数f(x)＝sin(2ωx＋)(ω＞0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点(－，0)，求当m取得最小值时，g(x)在[－，]上的单调递增区间．‎ ‎[解]　(1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，‎ 得函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝，得ω＝1，‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin(2x＋)．‎ ‎(2)将f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)＝sin[2(x＋m)＋]＝sin(2x＋‎2m＋)的图象，根据g(x)的图象恰好经过点(－，0)，‎ 可得sin(－＋‎2m＋)＝0，即sin(‎2m－)＝0，‎ 所以‎2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，‎ 因为m＞0，‎ 所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.‎ 此时，g(x)＝sin(2x＋)．‎ 因为x∈[－，]，所以2x＋∈[，]．‎ 当2x＋∈[，]，即x∈[－，－]时，g(x)单调递增，‎ 当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，g(x)单调递增．‎ 综上，g(x)在区间[－，]上的单调递增区间是[－，－]和[，]．‎ ‎　研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．‎ ‎　1.(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g()＝，则f()＝(　　)‎ A．－2 B．－ C. D．2‎ C　[∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数， ∴φ＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴f(x)＝Asin ωx，则g(x)＝Asin(x)．由g(x)的最小正周期T＝2π，得＝＝1，∴ω＝2.又g()＝Asin ＝A＝，∴A＝2，‎ ‎∴f(x)＝2sin 2x，∴f()＝2sin ＝，故选C.]‎ ‎2．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：‎ ‎①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在单调递增；④ω的取值范围是.‎ 其中所有正确结论的编号是(　　)‎ A．①④ B．②③‎ C．①②③ D．①③④‎ D　[如图，根据题意知，xA≤2π＜xB，根据图象可知函数f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2π＜xB，有≤2π＜，得≤ω＜，所以④正确；当x∈时，＜ωx＋＜＋，因为≤ω＜，所以＋＜＜，所以函数f(x)在单调递增，所以③正确．‎ ‎]‎ 课外素养提升⑤　逻辑推理与数学运算——三角函数中ω的确定方法 数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.‎ 三角函数的周期T与ω的关系 ‎【例1】　为了使函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)‎ A．98π　 B.π C.π D．100π B　[由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.]‎ ‎[评析]　解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系．‎ 三角函数的单调性与ω的关系 ‎【例2】　若f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间[－，]上是增函数，则ω的取值范围是________．‎ ‎(0，]　[法一：因为x∈[－，](ω＞0)，‎ 所以ωx∈[－，]，‎ 因为f(x)＝2sin ωx在[－，]上是增函数，‎ 所以 故0＜ω≤.‎ 法二：画出函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)的图象如图所示．‎ 要使f(x)在[－，]上是增函数，需(ω＞0)，‎ 即0＜ω≤.‎ 法三：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)得 ‎－＋≤x≤＋(k∈Z)，‎ 故f(x)的单调递增区间是[－＋，＋](k∈Z)，‎ 由题意[－，]⊆[－＋，＋](k∈Z，ω＞0)，‎ 从而有即0＜ω≤.]‎ ‎[评析]　根据正弦函数的单调递增区间，确定函数f(x)的单调递增区间，根据函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间[－，]上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围．‎ ‎【例3】　(1)已知f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞)，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________．(结果用区间表示)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．‎ ‎(1)[，]　(2)　[(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin(ωx－)，‎ 令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．‎ 当k＝0时，≤π，即≤ω，‎ 当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.‎ 综上，≤ω≤.‎ ‎(2)显然ω≠0，分两种情况：‎ 若ω＞0，当x∈[－，]时，－ω≤ωx≤ω.‎ 因函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.‎ 若ω＜0，当x∈[－，]时，ω≤ωx≤－ω，‎ 因函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.‎ 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥.]‎ ‎[评析]　这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，‎ 函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何．‎