2020届二轮复习　等比数列及其前n项和课件（全国通用） 11页

§6.3 等比数列及其前 n 项和 高考理数 考点一　等比数列及其性质 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一 个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的①      公比     ,公比通常用字母 q ( q ≠ 0)表示. 2.等比数列的通项公式 a n = a 1 · q n -1 ( a 1 · q ≠ 0)或 a n = a m · q n - m ( a m · q ≠ 0).既是等差数列又是等比数列的数 列是② 　非零常数列     . 3.等比数列的单调性 等比数列{ a n }的通项公式为 a n = a 1 · q n -1 ( a 1 · q ≠ 0),它的图象是分布在 y =   q x 曲线( q >0)上的一群③ 　孤立     的点. 知识清单 当 a 1 >0, q >1 时 , 等比数列 { a n } 是递增数列 ; 当 a 1 <0,0< q <1 时 , 等比数列 { a n } 是递增数列 ; 当 a 1 >0,0< q <1 时 , 等比数列 { a n } 是递减数列 ; 当 a 1 <0, q >1 时 , 等比数列 { a n } 是递减数列 ; 当 q <0 时 , 等比数列 { a n } 是摆动数列 ; 当 q =1 时 , 等比数列 { a n } 是常数列 . 4. 等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G , 使 a , G , b 成等比数列 , 那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项 , 即④      G = ±        ( a , b 同号 ). (1) a , G , b 成等比数列 ⇔ G 2 = ab ( a · b >0). (2) 同号的两个数才有等比中项 . 5.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广: a n = a m ·⑤      q n - m      ( n , m ∈N * ). (2)若{ a n }为等比数列,且 k + l = m + n ( k , l , m , n ∈N * ),则⑥      a k · a l = a m · a n      . (3)若{ a n },{ b n }(项数相同)是等比数列,则{ λa n }( λ ≠ 0),   ,{   },{ a n · b n },   仍是等比数列. 考点二　等比数列前 n 项和公式 1.等比数列{ a n }的前 n 项和公式 (1)当 q =1时, S n =⑦      na 1      . (2)当 q ≠ 1时, S n =   =   . 2.等比数列的前 n 项和的性质 (1) S n , S 2 n - S n , S 3 n - S 2 n 满足关系式( S 2 n - S n ) 2 = S n ·( S 3 n - S 2 n ),但不能说 S n , S 2 n - S n , S 3 n - S 2 n 成等比数列. (2)若等比数列{ a n }的项数为2 n ,公比为 q ,则   =⑧      q      , 其中 S 偶 、 S 奇 分 别是数列的偶数项和与奇数项和. 1. 等比数列可以由首项 a 1 和公比 q 确定 , 所有关于等比数列的计算和证 明 , 都可围绕 a 1 和 q 进行 . 2. 对于等比数列问题 , 一般给出两个条件 , 就可以通过列方程 ( 组 ) 求出 a 1 , q . 如果再给出第三个条件就可以完成 a n , a 1 , q , n , S n 的“知三求二”问题 . 注意　 (1) 等比数列求和要讨论 q =1 和 q ≠ 1 两种情况 . (2) 计算过程中 , 出现方程 q n = t 时 , 要看 q n 中的 n 是奇数还是偶数 . 若 n 是奇 数 , 则 q =   ; 若 n 是偶数 , 则 t >0 时 , q = ±   , t <0 时 , 无解 . 等比数列基本运算的解题技巧 方法 1 方法技巧 例1　(1)(2017湖南三湘名校联盟三模,10)一个等比数列{ a n }的前三项 的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有(　 B 　) A.13项　    B.12项　    C.11项　    D.10项 (2)(2017广东惠州第二次调研,4,5分)已知{ a n }为等比数列, a 4 + a 7 =2, a 5 a 6 =- 8,则 a 1 + a 10 =   (　 D 　) A.7　    B.5　    C.-5　    D.-7 解析　 (1) 设首项为 a 1 , 共有 n 项 , 公比为 q . 前三项之积为   q 3 =2, 最后三项之积为   q 3 n -6 =4, 两式相乘得   q 3( n -1) =8, 即   q n -1 =2, 又 a 1 · a 1 q · a 1 q 2 · … · a 1 q n -1 =64, ∴     =64, 则 (   q n -1 ) n =64 2 , ∴2 n =64 2 ,∴ n =12, 故选 B. (2) 由 a 5 a 6 = a 4 a 7 , 得 a 4 a 7 =-8, 解   得 a 4 =4, a 7 =-2 或 a 4 =-2, a 7 =4, ∴ q 3 =-   或 q 3 =-2. 当 q 3 =-   时 , a 1 + a 10 =   + a 4 q 6 =   +4 ×   =-7; 当 q 3 =-2时, a 1 + a 10 =   + a 4 q 6 =   +(-2)·(-2) 2 =-7,故选D. 1.定义法:若   = q ( q 为非零常数)或   = q ( q 为非零常数且 n ≥ 2),则{ a n } 是等比数列. 2.中项法:若数列{ a n }中, a n ≠ 0且   = a n · a n +2 ( n ∈N * ),则{ a n }是等比数列. 3.通项公式法:若数列的通项公式可写成 a n = c · q n ( c , q 均是不为0的常数, n ∈N * ),则{ a n }是等比数列. 4.前 n 项和公式法:若数列{ a n }的前 n 项和 S n = k · q n - k ( k 为常数且 k ≠ 0, q ≠ 0, 1),则{ a n }是等比数列. 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择 题、填空题中的判定. 等比数列的判定与证明 方法 2 例 2    (2016 课标全国 Ⅲ,17,12 分 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n =1+ λa n , 其中 λ ≠ 0. (1) 证明 { a n } 是等比数列 , 并求其通项公式 ; (2) 若 S 5 =   , 求 λ . 解析　(1)由题意得 a 1 = S 1 =1+ λa 1 , 故 λ ≠ 1, a 1 =   , a 1 ≠ 0.   (2分) 由 S n =1+ λa n , S n +1 =1+ λa n +1 得 a n +1 = λa n +1 - λa n ,即 a n +1 ( λ -1)= λa n .由 a 1 ≠ 0, λ ≠ 0得 a n ≠ 0,所以   =   . 因此{ a n }是首项为   ,公比为   的等比数列,于是 a n =     .   (6分) (2)由(1)得 S n =1-   . 由 S 5 =   得1-   =   ,即   =   . 解得 λ =-1.   (12分)