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  • 2021-06-16 发布

北京市海淀区2020届高三高考数学一模试卷

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‎2020年北京市海淀区高考数学一模试卷 一、选择题(共10小题)‎ ‎1.在复平面内,复数i(2﹣i)对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.已知集合A={x|0<x<3},A∩B={1},则集合B可以是(  )‎ A.{1,2} B.{1,3} C.{0,1,2} D.{1,2,3}‎ ‎3.已知双曲线x2‎-y‎2‎b‎2‎=‎1(b>0)的离心率为‎5‎,则b的值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎4.已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(  )‎ A.b﹣a<c+a B.c2<ab C.cb‎>‎ca D.|b|c<|a|c ‎5.在(‎1‎x‎-‎2x)6的展开式中,常数项为(  )‎ A.﹣120 B.120 C.﹣160 D.160‎ ‎6.如图,半径为1的圆M与直线l相切于点A,圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆M'时,圆M'与直线l相切于点B,点A运动到点A',线段AB的长度为‎3π‎2‎,则点M'到直线BA'的距离为(  )‎ A.1 B.‎3‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎7.已知函数f(x)=|x﹣m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x ‎)在区间(1,2)内单调递减,则m的取值范围为(  )‎ A.[﹣1,+∞) B.(﹣∞,﹣1] C.[﹣2,+∞) D.(﹣∞,﹣2]‎ ‎8.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为(  )‎ A.‎5‎ B.2‎2‎ C.2‎3‎ D.‎‎13‎ ‎9.若数列{an}满足a1=2,则“∀p,r∈N*,ap+r=apar”是“{an}为等比数列”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎10.形如‎2‎‎2‎n‎+‎1(n是非负整数)的数称为费马数,记为Fn.数学家费马根据F0,F1,F2,F3,F4都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出F5不是质数,那么F5的位数是(  )(参考数据:lg2≈0.3010)‎ A.9 B.10 C.11 D.12‎ 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.已知点P(1,2)在抛物线C:y2=2px上,则抛物线C的准线方程为   .‎ ‎12.在等差数列{an}中,a1=3,a2+a5=16,则数列{an}的前4项的和为   .‎ ‎13.已知非零向量a‎→‎,b‎→‎满足|a‎→‎|=|a‎→‎‎-‎b‎→‎|,则(a‎→‎‎-‎‎1‎‎2‎b‎→‎)•b‎→‎‎=‎   .‎ ‎14.在△ABC中,AB=4‎3‎,∠B‎=‎π‎4‎,点D在边BC上,∠ADC‎=‎‎2π‎3‎,CD=2,则AD=   ;△ACD的面积为   .‎ ‎15.如图,在等边三角形ABC中,AB=6.动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为f(x),给出下列三个结论:‎ ‎①函数f(x)的最大值为12;‎ ‎②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9;‎ ‎③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根.‎ 其中,所有正确结论的序号是   .‎ 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.‎ ‎16.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,AB=BB1=2BC=2,BC1‎=‎‎3‎,点E为A1C1的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:C1B⊥平面ABC;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A﹣BC﹣E的大小.‎ ‎17.已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.‎ ‎(Ⅰ)求f(0)的值;‎ ‎(Ⅱ)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2‎ ‎=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在[‎-‎π‎2‎,π‎6‎]上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.‎ ‎18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障.如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:‎ 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).‎ ‎(Ⅰ)从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率;‎ ‎(Ⅱ)从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.‎ ‎19.已知函数f(x)=ex+ax.‎ ‎(Ⅰ)当a=﹣1时,‎ ‎①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;‎ ‎②求函数f(x)的最小值;‎ ‎(Ⅱ)求证:当a∈(﹣2,0)时,曲线y=f(x)与y=1﹣lnx有且只有一个交点.‎ ‎20.已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1(a>b>0)的离心率为‎3‎‎2‎,A1(﹣a,0),A2(a,0),B(0,b),△A1BA2的面积为2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线A1B与直线A2M交于点P,直线A1M与直线A2B交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.‎ ‎21.已知数列{an}是由正整数组成的无穷数列.若存在常数k∈N*,使得a2n﹣1+a2n=kan对任意的n∈N*成立,则称数列{an}具有性质Ψ(k).‎ ‎(Ⅰ)分别判断下列数列{an}是否具有性质Ψ(2);(直接写出结论)‎ ‎①an=1;②an=2n.‎ ‎(Ⅱ)若数列{an}满足an+1≥an(n=1,2,3,…),求证:“数列{an}具有性质Ψ(2)”是“数列{an}为常数列”的充分必要条件;‎ ‎(Ⅲ)已知数列{an}中a1=1,且an+1>an(n=1,2,3,…).若数列{an}具有性质Ψ(4),求数列{an}的通项公式.‎ 参考答案 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.在复平面内,复数i(2﹣i)对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【分析】首先进行复数的乘法运算,得到复数的代数形式的标准形式,根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标,看出所在的象限.‎ 解:∵复数z=i(2﹣i)=﹣i2+2i=1+2i ‎∴复数对应的点的坐标是(1,2)‎ 这个点在第一象限,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,本题解题的关键是写成标准形式,才能看出实部和虚部的值.‎ ‎2.已知集合A={x|0<x<3},A∩B={1},则集合B可以是(  )‎ A.{1,2} B.{1,3} C.{0,1,2} D.{1,2,3}‎ ‎【分析】根据A={x|0<x<3},A∩B={1},即可得出集合B可能的情况.‎ 解:∵A={x|0<x<3},A∩B={1},‎ ‎∴集合B可以是{1,3}.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了描述法、列举法的定义,交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎3.已知双曲线x2‎-y‎2‎b‎2‎=‎1(b>0)的离心率为‎5‎,则b的值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】利用双曲线的离心率公式,列出方程,求解b即可.‎ 解:双曲线x2‎-y‎2‎b‎2‎=‎1(b>0)的离心率为‎5‎,‎ 可得b‎2‎‎+1‎‎1‎‎=‎‎5‎,解得b=2,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查,基础题.‎ ‎4.已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(  )‎ A.b﹣a<c+a B.c2<ab C.cb‎>‎ca D.|b|c<|a|c ‎【分析】法1:根据数轴得到c<b<a<0且|c|>|b|>|a|,结合不等式基本性质逐一进行判断即可;‎ 法2:用特值法带入验证即可.‎ 解:(法1)根据数轴可得c<b<a<0且|c|>|b|>|a|,‎ 对于A:因为c<b,a<0,所以c+a<c,b﹣a>b,则c+a<c<b﹣a,即c+a<b﹣a,故A错误;‎ 对于B:因为c<b<a<0,|c|>|b|>|a|,所以c2>b2>a2,且b2>ab,所以c2>b2>ab,则c2>ab,故B错误;‎ 对于C:因为b<a<0,所以‎1‎b‎>‎‎1‎a,则cb‎<‎ca,故C错误;‎ 对于D:因为|b|>|a|,且c<0,所以|b|c<|a|c,故D正确,‎ ‎(法2)不妨令c=﹣5,b=﹣4,a=﹣1,‎ 则c+a=﹣6<b﹣a=﹣3,故A错误;c2=25>ab=4,故B错误;cb‎=‎5‎‎4‎<ca=‎5,故C错误;‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查不等式的相关应用,考查合情推理,属于中档题.‎ ‎5.在(‎1‎x‎-‎2x)6的展开式中,常数项为(  )‎ A.﹣120 B.120 C.﹣160 D.160‎ ‎【分析】先求出通项,然后令x的指数为零即可.‎ 解:由题意得:Tk+1‎‎=‎‎(-2‎)‎kC‎6‎kx2k﹣6,‎ 令2k﹣6=0得k=3,‎ 故常数项为T‎4‎‎=(-2‎)‎‎3‎C‎6‎‎3‎=-‎160.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力,属于基础题.‎ ‎6.如图,半径为1的圆M与直线l相切于点A,圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆M'时,圆M'与直线l相切于点B,点A运动到点A',线段AB的长度为‎3π‎2‎,则点M'到直线BA'的距离为(  )‎ A.1 B.‎3‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎【分析】根据条件可得圆旋转了‎3‎‎4‎个圆,作图可得到△A'M'B是等腰直角三角形,进而可求得M'到A'M的距离.‎ 解:根据条件可知圆周长=2π,因为BA‎=‎3‎‎2‎π=‎3‎‎4‎×‎2π,故可得A’位置如图:‎ ‎∠A'M'B=90°,则△A'M'B是等腰直角三角形,‎ 则M'到A'M的距离d‎=‎‎2‎‎2‎r‎=‎‎2‎‎2‎,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查点到直线的距离,考查圆旋转的长度求法,数中档题.‎ ‎7.已知函数f(x)=|x﹣m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1,2)内单调递减,则m的取值范围为(  )‎ A.[﹣1,+∞) B.(﹣∞,﹣1] C.[﹣2,+∞) D.(﹣∞,﹣2]‎ ‎【分析】根据题意,分析可得f(x)在区间(﹣2,﹣1)上递增,将f(x)写成分段函数的形式,分析可得f(x)在区间(m,+∞)上为增函数,据此可得m的取值范围.‎ 解:根据题意,函数f(x)=|x﹣m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1,2)内单调递减,‎ 则f(x)在区间(﹣2,﹣1)上递增,‎ 而f(x)=|x﹣m|‎=‎x-m,x≥m‎-x+m,x<m,在区间(m,+∞)上为增函数,‎ 则有m≤﹣2,即m的取值范围为(﹣∞,﹣2];‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性,涉及函数之间的对称性、不等式的解法,属于基础题.‎ ‎8.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为(  )‎ A.‎5‎ B.2‎2‎ C.2‎3‎ D.‎‎13‎ ‎【分析】首先把三视图转换为直观图,进一步求出最大棱长.‎ 解:根据几何体的三视图可得直观图为:该几何体为四棱锥体,‎ 如图所示:‎ 所以最长的棱长AB‎=‎2‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎=2‎‎3‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:三视图和直观图形之间的转换,几何体的棱长的求法和应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.‎ ‎9.若数列{an}满足a1=2,则“∀p,r∈N*,ap+r=apar”是“{an}为等比数列”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论.‎ 解:“∀p,r∈N*,ap+r=apar”,取p=n,r=1,则an+1=2an,‎ ‎∴{an}为等比数列.‎ 反之不成立.{an}为等比数列,则ap+r=2×qp+r﹣1,apar=22•qp+r﹣2,只有q=2时才能成立.‎ ‎∴数列{an}满足a1=2,则“∀p,r∈N*,ap+r=apar”是“{an}为等比数列”的充分不必要条件..‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎10.形如‎2‎‎2‎n‎+‎1(n是非负整数)的数称为费马数,记为Fn.数学家费马根据F0,F1,F2,F3,F4都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出F5不是质数,那么F5的位数是(  )(参考数据:lg2≈0.3010)‎ A.9 B.10 C.11 D.12‎ ‎【分析】根据所给定义表示出F5=109.632×109,进而即可判断出其位数.‎ 解:根据题意,F5‎=‎2‎‎2‎‎5‎+‎1=232+1≈232‎=1‎0‎lg‎2‎‎32‎=‎1032lg2≈1032×0.3010=109.632=100.632×109,‎ 因为1<100.632<10,所以F5的位数是10.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查指对数运算,考查学生阅读理解能力,属于中档题.‎ 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.已知点P(1,2)在抛物线C:y2=2px上,则抛物线C的准线方程为 x=﹣1 .‎ ‎【分析】把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p,而准线方程为x=-‎p‎2‎,从而得解.‎ 解:把点P(1,2)代入抛物线方程有,4=2p,∴p=2,‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=-p‎2‎=-1‎.‎ 故答案为:x=﹣1.‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程、准线方程等,考查学生的运算能力,属于基础题.‎ ‎12.在等差数列{an}中,a1=3,a2+a5=16,则数列{an}的前4项的和为 24 .‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出.‎ 解:设等差数列{an}的公差为d,∵a1=3,a2+a5=16,‎ ‎∴2×3+5d=16,解得d=2.‎ 则数列{an}的前4项的和=4×3‎+‎4×3‎‎2‎×‎2=24.‎ 故答案为:24.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎13.已知非零向量a‎→‎,b‎→‎满足|a‎→‎|=|a‎→‎‎-‎b‎→‎|,则(a‎→‎‎-‎‎1‎‎2‎b‎→‎)•b‎→‎‎=‎ 0 .‎ ‎【分析】把所给条件平方整理得到a‎→‎•b‎→‎‎=‎‎1‎‎2‎b‎→‎‎2‎;代入数量积即可求解结论.‎ 解:因为非零向量a‎→‎,b‎→‎满足|a‎→‎|=|a‎→‎‎-‎b‎→‎|,‎ ‎∴a‎→‎‎2‎‎=a‎→‎‎2‎-‎2a‎→‎•b‎→‎‎+‎b‎→‎‎2‎⇒a‎→‎•b‎→‎‎=‎‎1‎‎2‎b‎→‎‎2‎;‎ 则(a‎→‎‎-‎‎1‎‎2‎b‎→‎)•b‎→‎‎=a‎→‎⋅b‎→‎-‎1‎‎2‎b‎→‎‎2‎=‎0.‎ 故答案为:0.‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积以及模长的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力.‎ ‎14.在△ABC中,AB=4‎3‎,∠B‎=‎π‎4‎,点D在边BC上,∠ADC‎=‎‎2π‎3‎,CD=2,则AD= 4‎2‎ ;△ACD的面积为 2‎6‎ .‎ ‎【分析】先根据正弦定理求得AD,进而求得三角形的面积.‎ 解:如图;‎ 因为在△ABC中,AB=4‎3‎,∠B‎=‎π‎4‎,点D在边BC上,∠ADC‎=‎‎2π‎3‎,CD=2,‎ 所以:ADsin∠ABD‎=‎ABsin∠ADB⇒AD‎=‎4‎3‎×sinπ‎4‎sinπ‎3‎=‎4‎2‎;‎ S△ACD‎=‎‎1‎‎2‎•AD•CD•sin∠ADC‎=‎1‎‎2‎×‎4‎2‎‎×‎2×sin‎2π‎3‎‎=‎2‎6‎;‎ 故答案为:4‎2‎,2‎6‎.‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积,属于基础题目.‎ ‎15.如图,在等边三角形ABC中,AB=6.动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为f(x),给出下列三个结论:‎ ‎①函数f(x)的最大值为12;‎ ‎②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9;‎ ‎③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根.‎ 其中,所有正确结论的序号是 ①② .‎ ‎【分析】写出函数解析式并作出图象,数形结合进行逐一分析 解:由题可得函数f(x)‎=‎‎3+(x-3‎)‎‎2‎,0≤x<6‎‎3+(x-9‎)‎‎2‎,6≤x<12‎‎3+(x-15‎)‎‎2‎,12≤x≤18‎,作出图象如图:‎ 则当点P与△ABC顶点重合时,即x=0,6,12,18时,f(x)取得最大值12,故①正确;‎ 又f(x)=f(18﹣x),所以函数f(x)的对称轴为x=9,故②正确;‎ 由图象可得,函数f(x)图象与y=kx+3的交点个数为6个,故方程有6个实根,故③错误.‎ 故答案为:①②.‎ ‎【点评】本题考查命题的真假性判断,涉及函数的应用、图象与性质,数形结合思想,逻辑推理能力,属于难题 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.‎ ‎16.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,AB=BB1=2BC=2,BC1‎=‎‎3‎,点E为A1C1的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:C1B⊥平面ABC;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A﹣BC﹣E的大小.‎ ‎【分析】(Ⅰ)证明AB⊥C1B.CB⊥C1B.利用直线与平面垂直的判断定理证明C1B⊥平面ABC.‎ ‎(Ⅱ)以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz.求出平面BCE的法向量,平面ABC的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可,‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:因为AB⊥平面BB1C1C,C1B⊂平面BB1C1C 所以AB⊥C1B.‎ 在△BCC1中,BC=1,BC‎1‎=‎‎3‎,CC1=2,‎ 所以BC‎2‎+BC‎1‎‎2‎=CC‎1‎‎2‎.‎ 所以CB⊥C1B.‎ 因为AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,‎ 所以C1B⊥平面ABC.‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,AB⊥C1B,BC⊥C1B,AB⊥BC,‎ 如图,以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz.‎ 则B(0,0,0),E(-‎1‎‎2‎,‎3‎,1)‎,C(1,0,0).BC‎→‎‎=(1,0,0)‎,BE‎→‎‎=(-‎1‎‎2‎,‎3‎,1)‎.‎ 设平面BCE的法向量为n‎→‎‎=‎(x,y,z),‎ 则n‎→‎‎⋅BC‎→‎=0‎n‎→‎‎⋅BE‎→‎=0‎,‎ 即x=0,‎‎-‎1‎‎2‎x+‎3‎y+z=0.‎ 令y=‎‎3‎则x=0,z=﹣3,‎ 所以n‎→‎‎=(0,‎3‎,-3)‎.‎ 又因为平面ABC的法向量为m‎→‎‎=‎(0,1,0),‎ 所以cos<m‎→‎,n‎→‎>=m‎→‎‎⋅‎n‎→‎‎|m‎→‎||n‎→‎|‎=‎‎1‎‎2‎.‎ 由题知二面角A﹣BC﹣E为锐角,所以其大小为π‎3‎.‎ ‎【点评】本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面垂直的判断定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力,是中档题.‎ ‎17.已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.‎ ‎(Ⅰ)求f(0)的值;‎ ‎(Ⅱ)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在[‎-‎π‎2‎,π‎6‎]上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式求出f(0)的值;‎ ‎(Ⅱ)选择条件①时f(x)的一个周期为π,‎ 利用三角恒等变换化简f(x),再求f(x)在‎[-π‎2‎,π‎6‎]‎的最小值.‎ 选择条件②时f(x)的一个周期为2π,‎ 化简f(x),利用三角函数的性质求出f(x)在‎[-π‎2‎,π‎6‎]‎的最小值.‎ 解:(Ⅰ)由函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x,‎ 则f(0)=2cos20+sin0=2;‎ ‎(Ⅱ)选择条件①,则f(x)的一个周期为π;‎ 由f(x)=2cos2x+sin2x ‎=(cos2x+1)+sin2x ‎=‎2‎(‎2‎‎2‎sin2x+‎2‎‎2‎cos2x)+1‎‎ ‎ ‎=‎2‎sin(2x+π‎4‎)+1‎‎;‎ 因为x∈[-π‎2‎,π‎6‎]‎,所以‎2x+π‎4‎∈[-‎3π‎4‎,‎7π‎12‎]‎;‎ 所以‎-1≤sin(2x+π‎4‎)≤1‎,‎ 所以‎1-‎2‎≤f(x)≤1+‎‎2‎;‎ 当‎2x+π‎4‎=-‎π‎2‎,即x=-‎‎3π‎8‎时,f(x)在‎[-π‎2‎,π‎6‎]‎取得最小值为‎1-‎‎2‎.‎ 选择条件②,则f(x)的一个周期为2π;‎ 由f(x)=2cos2x+sinx ‎=2(1﹣sin2x)+sinx ‎=-2(sinx-‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎+‎‎17‎‎8‎‎;‎ 因为x∈[-π‎2‎,π‎6‎]‎,所以sinx∈[-1,‎1‎‎2‎]‎;‎ 所以当sinx=﹣1,即x=-‎π‎2‎时,f(x)在‎[-π‎2‎,π‎6‎]‎取得最小值为﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了转化与运算能力,是基础题.‎ ‎18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障.如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:‎ 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).‎ ‎(Ⅰ)从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率;‎ ‎(Ⅱ)从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.‎ ‎【分析】(Ⅰ)按照古典概型概率计算公式计算即可;‎ ‎(Ⅱ)显然这是一个超几何分布,按照超几何分布的概率计算方法,分别算出随机变量X取0,1,2时的概率,然后画出分布列,即可求期望;‎ ‎(Ⅲ)结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可.‎ 解:(Ⅰ)设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年,研发投入占当年总营收的百分比超过10%”,‎ 从2010年至2019年一共10年,其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年,‎ 所以P(A)=‎‎9‎‎10‎.‎ ‎(Ⅱ)由图表信息,从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元,所以X的所有可能取值为0,1,2.‎ 且P(X=0)=C‎5‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎‎2‎‎9‎;P(X=1)=C‎5‎‎1‎C‎5‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎‎5‎‎9‎;P(X=2)=C‎5‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎‎2‎‎9‎.‎ 所以X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎2‎‎9‎‎ ‎ ‎5‎‎9‎‎ ‎ ‎2‎‎9‎‎ ‎ 故X的期望E(X)=0×‎2‎‎9‎+1×‎5‎‎9‎+2×‎2‎‎9‎=1‎.‎ ‎(Ⅲ)从两个方面可以看出,该公式是比较重视研发的:‎ 一、从2010年至2019年,每年的研发投入是逐年增加的(2018年除外),并且增加的幅度总体上逐渐加大;‎ 二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的,虽然2015年往后有些波动,但是总体占比还是较高的.‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法,注意对题意的理解需到位、准确.同时考查学生的数学建模的素养,属于中档题.‎ ‎19.已知函数f(x)=ex+ax.‎ ‎(Ⅰ)当a=﹣1时,‎ ‎①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;‎ ‎②求函数f(x)的最小值;‎ ‎(Ⅱ)求证:当a∈(﹣2,0)时,曲线y=f(x)与y=1﹣lnx有且只有一个交点.‎ ‎【分析】(Ⅰ)①将a=﹣1带入,求导,求出切线斜率及切点,利用点斜式方程即得解;‎ ‎②求出函数函数f(x)的单调性情况,进而得出最值;‎ ‎(Ⅱ)即证函数g(x)=ex+ax+lnx﹣1仅有一个零点,利用导数可知函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,结合零点存在性定理即得证.‎ 解:(Ⅰ)①当a=﹣1时,f(x)=ex﹣x,则 f'(x)=ex﹣1.‎ 所以f'(0)=0.‎ 又f(0)=1,‎ 所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;‎ ‎②令f'(x)=0,得x=0,此时f'(x),f(x)随x的变化如下:‎ x ‎(﹣∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,+∞)‎ f'(x)‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 可知f(x)min=f(0)=1,函数f(x)的最小值为1.‎ ‎(Ⅱ)证明:由题意可知,x∈(0,+∞),‎ 令g(x)=ex+ax+lnx﹣1,则g′(x)=ex+‎1‎x+a,‎ 由(Ⅰ)中可知ex﹣x≥1,故 ex≥1+x,‎ 因为a∈(﹣2,0),‎ 则g′(x)=ex+‎1‎x+a≥(x+1)+‎1‎x+a≥2x⋅‎‎1‎x+a+1=3+a>0‎,‎ 所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,‎ 因为g(‎1‎e)=e‎1‎e+ae-2<e‎1‎‎2‎-2<0‎,‎ 又因为g(e)=ee+ae>e2﹣2e>0,‎ 所以g(x)有唯一的一个零点.‎ 即函数y=f(x)与y=1﹣lnx有且只有一个交点.‎ ‎【点评】本题考查导数的几何意义,利用导数研究函数的最值,函数的零点等问题,考查运算求解能力及推理论证能力,属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1(a>b>0)的离心率为‎3‎‎2‎,A1(﹣a,0),A2(a,0),B(0,b),△A1BA2的面积为2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线A1B与直线A2M交于点P,直线A1M与直线A2B交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题ca‎=‎3‎‎2‎,‎ab=2,‎a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎.‎,求出a,b,即可得到椭圆方程.‎ ‎( II)解法1,设直线A2M方程为y=k(x-2)(k≠0且k≠±‎1‎‎2‎)‎,直线A1B方程为y=‎1‎‎2‎x+1‎,通过联立直线与椭圆方程组,求出M坐标,Q坐标,推出|BP|=|BQ|,即可证明△BPQ为等腰三角形.‎ 解法2,设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)则x‎0‎‎2‎‎+4y‎0‎‎2‎=4‎.直线A2M方程为y=y‎0‎x‎0‎‎-2‎(x-2)‎,直线A1B方程为y=‎1‎‎2‎x+1‎.通过联立直线与椭圆方程组,求出P,Q坐标,转化推出|BP|=|BQ|,得到△BPQ为等腰三角形.‎ 解:(Ⅰ)由题ca‎=‎3‎‎2‎,‎ab=2,‎a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎.‎ 解得a=2,‎b=1.‎ 所以椭圆方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎( II)解法1‎ 证明:设直线A2M方程为y=k(x-2)(k≠0且k≠±‎1‎‎2‎)‎,直线A1B方程为y=‎1‎‎2‎x+1‎ 由y=k(x-2),‎y=‎1‎‎2‎x+1.‎解得点P(‎4k+2‎‎2k-1‎,‎4k‎2k-1‎)‎.‎ 由y=k(x-2),‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1.‎得(4k+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0,‎ 则‎2xM=‎‎16k‎2‎-4‎‎4k‎2‎+1‎.‎ 所以xM‎=‎‎8k‎2‎-2‎‎4k‎2‎+1‎,yM‎=‎‎-4k‎4k‎2‎+1‎.‎ 即M(‎8k‎2‎-2‎‎4k‎2‎+1‎,‎-4k‎4k‎2‎+1‎)‎.kA‎1‎M‎=‎-4k‎4k‎2‎+1‎‎8k‎2‎-2‎‎4k‎2‎+1‎‎+2‎=-‎‎1‎‎4k.‎ 于是直线A1M的方程为y=-‎1‎‎4k(x+2)‎,直线A2B的方程为y=-‎1‎‎2‎x+1‎.‎ 由y=-‎1‎‎4k(x+2)‎y=-‎1‎‎2‎x+1‎解得点Q(‎4k+2‎‎2k-1‎,‎-2‎‎2k-1‎)‎.‎ 于是xP=xQ,所以PQ⊥x轴.‎ 设PQ中点为N,则N点的纵坐标为‎4k‎2k-1‎‎+‎‎-2‎‎2k-1‎‎2‎‎=1‎.‎ 故PQ中点在定直线y=1上.‎ 从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上,所以|BP|=|BQ|,‎ 所以△BPQ为等腰三角形.‎ 解法2‎ 证明:设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)则x‎0‎‎2‎‎+4y‎0‎‎2‎=4‎.‎ 直线A2M方程为y=y‎0‎x‎0‎‎-2‎(x-2)‎,直线A1B方程为y=‎1‎‎2‎x+1‎.‎ 由y=y‎0‎x‎0‎‎-2‎(x-2),‎y=‎1‎‎2‎x+1.‎ 解得点P(‎2x‎0‎+4y‎0‎-4‎‎2y‎0‎-x‎0‎+2‎,‎4‎y‎0‎‎2y‎0‎-x‎0‎+2‎)‎.‎ 直线A1M方程为y=y‎0‎x‎0‎‎+2‎(x+2)‎,直线A2B方程为y=-‎1‎‎2‎x+1‎.‎ 由y=y‎0‎x‎0‎‎+2‎(x+2),‎y=-‎1‎‎2‎x+1.‎ 解得点Q(‎2x‎0‎-4y‎0‎+4‎‎2y‎0‎+x‎0‎+2‎,‎4‎y‎0‎‎2y‎0‎+x‎0‎+2‎)‎.xP‎-xQ=‎2x‎0‎+4y‎0‎-4‎‎2y‎0‎-x‎0‎+2‎-‎2x‎0‎-4y‎0‎+4‎‎2y‎0‎+x‎0‎+2‎=‎2(x‎0‎+2y‎0‎-2)(2y‎0‎+x‎0‎+2)-2(x‎0‎-2y‎0‎+2)(2y‎0‎-x‎0‎+2)‎‎(2y‎0‎-x‎0‎+2)(2y‎0‎+x‎0‎+2)‎=‎2[‎(x‎0‎+2y‎0‎)‎‎2‎-4)-(4-‎(x‎0‎-2y‎0‎)‎‎2‎]‎‎(2y‎0‎-x‎0‎+2)(2y‎0‎+x‎0‎+2)‎=0‎.‎ 于是xP=xQ,所以PQ⊥x轴.yP‎+yQ=‎4‎y‎0‎‎2y‎0‎-x‎0‎+2‎+‎4‎y‎0‎‎2y‎0‎+x‎0‎+2‎=‎4y‎0‎(4y‎0‎+4)‎‎(2y‎0‎-x‎0‎+2)(2y‎0‎+x‎0‎+2)‎=‎4y‎0‎(4y‎0‎+4)‎‎(2y‎0‎+2)‎‎2‎‎-‎x‎0‎‎2‎=2‎.‎ 故PQ中点在定直线y=1上.‎ 从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上,所以|BP|=|BQ|,‎ 所以△BPQ为等腰三角形.‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是难题.‎ ‎21.已知数列{an}是由正整数组成的无穷数列.若存在常数k∈一、选择题*,使得a2n﹣1+a2n=kan对任意的n∈N*成立,则称数列{an}具有性质Ψ(k).‎ ‎(Ⅰ)分别判断下列数列{an}是否具有性质Ψ(2);(直接写出结论)‎ ‎①an=1;②an=2n.‎ ‎(Ⅱ)若数列{an}满足an+1≥an(n=1,2,3,…),求证:“数列{an}具有性质Ψ(2)”是“数列{an}为常数列”的充分必要条件;‎ ‎(Ⅲ)已知数列{an}中a1=1,且an+1>an(n=1,2,3,…).若数列{an}具有性质Ψ(4),求数列{an}的通项公式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论.‎ ‎(Ⅱ)先证“充分性”:当数列{an}具有“性质Ψ(2)”时,有a2n﹣1+a2n=2an,根据an+1≥an,可得0≤a2n﹣an=an﹣a2n﹣1≤0,进而有an=a2n,结合an+1≥an即可证明结论.再证“必要性”:若“数列{an}为常数列”,容易验证a2n﹣1+a2n=2a1=2an,即可证明.‎ ‎(Ⅲ)首先证明:an+1﹣an≥2.根据{an}具有“性质Ψ(4)”,可得a2n﹣1+a2n=4an.当n=1时,有a2=3a1=3.由a‎2n-1‎‎,a‎2n,an∈‎N‎*‎,且a2n>a2n﹣1,可得a2n≥2an+1,a2n﹣1≤2an﹣1,进而有2an+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2an+1﹣2,可得2(an+1﹣an)≥3,可得:an+1﹣an≥2.‎ 然后利用反证法证明:an+1﹣an≤2.假设数列{an}中存在相邻的两项之差大于3,即存在k∈N*满足:a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3,进而有4(ak+1﹣ak)=(a2k+2+a2k+1)﹣(a2k+a2k﹣1)=[(a2k+2﹣a2k+1)+(a2k+1﹣a2k)]+[(a2k+1﹣a2k)+(a2k﹣a2k﹣1)]≥12.又因为ak+1‎‎-ak∈‎N‎*‎,可得ak+1﹣ak≥3,依此类推可得:a2﹣a1≥3,矛盾.综上有:an+1﹣an=2,结合a1=1可得an=2n﹣1,‎ 解:(Ⅰ)①数列{an}具有“性质Ψ(2)”;‎ ‎②数列{an}不具有“性质Ψ(2)”.‎ ‎(Ⅱ)证明:先证“充分性”:‎ 当数列{an}具有“性质Ψ(2)”时,有a2n﹣1+a2n=2an,‎ 又因为an+1≥an,‎ 所以0≤a2n﹣an=an﹣a2n﹣1≤0,‎ 进而有an=a2n 结合an+1≥an有an=an+1=…=a2n,‎ 即“数列{an}为常数列”;‎ 再证“必要性”:‎ 若“数列{an}为常数列”,‎ 则有a2n﹣1+a2n=2a1=2an,‎ 即“数列{an}具有“性质Ψ(2)”.‎ ‎(Ⅲ)首先证明:an+1﹣an≥2.‎ 因为{an}具有“性质Ψ(4)”,‎ 所以a2n﹣1+a2n=4an.‎ 当n=1时,有a2=3a1=3.‎ 又因为a‎2n-1‎‎,a‎2n,an∈‎N‎*‎,且a2n>a2n﹣1,‎ 所以有a2n≥2an+1,a2n﹣1≤2an﹣1,‎ 进而有2an+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2an+1﹣2,‎ 所以2(an+1﹣an)≥3,‎ 结合an+1‎‎,an∈‎N‎*‎可得:an+1﹣an≥2.‎ 然后利用反证法证明:an+1﹣an≤2.‎ 假设数列{an}中存在相邻的两项之差大于3,‎ 即存在k∈N*满足:a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3,‎ 进而有4(ak+1﹣ak)=(a2k+2+a2k+1)﹣(a2k+a2k﹣1)=(a2k+2﹣a2k)+(a2k+1﹣a2k﹣1)=[(a2k+2﹣a2k+1)+(a2k+1﹣a2k)]+[(a2k+1﹣a2k)+(a2k﹣a2k﹣1)]≥12.‎ 又因为ak+1‎‎-ak∈‎N‎*‎,‎ 所以ak+1﹣ak≥3‎ 依此类推可得:a2﹣a1≥3,矛盾,‎ 所以有an+1﹣an≤2.‎ 综上有:an+1﹣an=2,‎ 结合a1=1可得an=2n﹣1,‎ 经验证,该通项公式满足a2n﹣1+a2n=4an,‎ 所以:an=2n﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎