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- 2021-06-16 发布
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2020年北京市海淀区高考数学一模试卷
一、选择题(共10小题)
1.在复平面内,复数i(2﹣i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合A={x|0<x<3},A∩B={1},则集合B可以是( )
A.{1,2} B.{1,3} C.{0,1,2} D.{1,2,3}
3.已知双曲线x2-y2b2=1(b>0)的离心率为5,则b的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )
A.b﹣a<c+a B.c2<ab C.cb>ca D.|b|c<|a|c
5.在(1x-2x)6的展开式中,常数项为( )
A.﹣120 B.120 C.﹣160 D.160
6.如图,半径为1的圆M与直线l相切于点A,圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆M'时,圆M'与直线l相切于点B,点A运动到点A',线段AB的长度为3π2,则点M'到直线BA'的距离为( )
A.1 B.32 C.22 D.12
7.已知函数f(x)=|x﹣m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x
)在区间(1,2)内单调递减,则m的取值范围为( )
A.[﹣1,+∞) B.(﹣∞,﹣1] C.[﹣2,+∞) D.(﹣∞,﹣2]
8.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为( )
A.5 B.22 C.23 D.13
9.若数列{an}满足a1=2,则“∀p,r∈N*,ap+r=apar”是“{an}为等比数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.形如22n+1(n是非负整数)的数称为费马数,记为Fn.数学家费马根据F0,F1,F2,F3,F4都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出F5不是质数,那么F5的位数是( )(参考数据:lg2≈0.3010)
A.9 B.10 C.11 D.12
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.已知点P(1,2)在抛物线C:y2=2px上,则抛物线C的准线方程为 .
12.在等差数列{an}中,a1=3,a2+a5=16,则数列{an}的前4项的和为 .
13.已知非零向量a→,b→满足|a→|=|a→-b→|,则(a→-12b→)•b→= .
14.在△ABC中,AB=43,∠B=π4,点D在边BC上,∠ADC=2π3,CD=2,则AD= ;△ACD的面积为 .
15.如图,在等边三角形ABC中,AB=6.动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为f(x),给出下列三个结论:
①函数f(x)的最大值为12;
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9;
③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根.
其中,所有正确结论的序号是 .
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,AB=BB1=2BC=2,BC1=3,点E为A1C1的中点.
(Ⅰ)求证:C1B⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A﹣BC﹣E的大小.
17.已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2
=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在[-π2,π6]上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.
18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障.如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).
(Ⅰ)从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率;
(Ⅱ)从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.
19.已知函数f(x)=ex+ax.
(Ⅰ)当a=﹣1时,
①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
②求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)求证:当a∈(﹣2,0)时,曲线y=f(x)与y=1﹣lnx有且只有一个交点.
20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,A1(﹣a,0),A2(a,0),B(0,b),△A1BA2的面积为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线A1B与直线A2M交于点P,直线A1M与直线A2B交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.
21.已知数列{an}是由正整数组成的无穷数列.若存在常数k∈N*,使得a2n﹣1+a2n=kan对任意的n∈N*成立,则称数列{an}具有性质Ψ(k).
(Ⅰ)分别判断下列数列{an}是否具有性质Ψ(2);(直接写出结论)
①an=1;②an=2n.
(Ⅱ)若数列{an}满足an+1≥an(n=1,2,3,…),求证:“数列{an}具有性质Ψ(2)”是“数列{an}为常数列”的充分必要条件;
(Ⅲ)已知数列{an}中a1=1,且an+1>an(n=1,2,3,…).若数列{an}具有性质Ψ(4),求数列{an}的通项公式.
参考答案
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.在复平面内,复数i(2﹣i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】首先进行复数的乘法运算,得到复数的代数形式的标准形式,根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标,看出所在的象限.
解:∵复数z=i(2﹣i)=﹣i2+2i=1+2i
∴复数对应的点的坐标是(1,2)
这个点在第一象限,
故选:A.
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,本题解题的关键是写成标准形式,才能看出实部和虚部的值.
2.已知集合A={x|0<x<3},A∩B={1},则集合B可以是( )
A.{1,2} B.{1,3} C.{0,1,2} D.{1,2,3}
【分析】根据A={x|0<x<3},A∩B={1},即可得出集合B可能的情况.
解:∵A={x|0<x<3},A∩B={1},
∴集合B可以是{1,3}.
故选:B.
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义,交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.
3.已知双曲线x2-y2b2=1(b>0)的离心率为5,则b的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】利用双曲线的离心率公式,列出方程,求解b即可.
解:双曲线x2-y2b2=1(b>0)的离心率为5,
可得b2+11=5,解得b=2,
故选:B.
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查,基础题.
4.已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )
A.b﹣a<c+a B.c2<ab C.cb>ca D.|b|c<|a|c
【分析】法1:根据数轴得到c<b<a<0且|c|>|b|>|a|,结合不等式基本性质逐一进行判断即可;
法2:用特值法带入验证即可.
解:(法1)根据数轴可得c<b<a<0且|c|>|b|>|a|,
对于A:因为c<b,a<0,所以c+a<c,b﹣a>b,则c+a<c<b﹣a,即c+a<b﹣a,故A错误;
对于B:因为c<b<a<0,|c|>|b|>|a|,所以c2>b2>a2,且b2>ab,所以c2>b2>ab,则c2>ab,故B错误;
对于C:因为b<a<0,所以1b>1a,则cb<ca,故C错误;
对于D:因为|b|>|a|,且c<0,所以|b|c<|a|c,故D正确,
(法2)不妨令c=﹣5,b=﹣4,a=﹣1,
则c+a=﹣6<b﹣a=﹣3,故A错误;c2=25>ab=4,故B错误;cb=54<ca=5,故C错误;
故选:D.
【点评】本题考查不等式的相关应用,考查合情推理,属于中档题.
5.在(1x-2x)6的展开式中,常数项为( )
A.﹣120 B.120 C.﹣160 D.160
【分析】先求出通项,然后令x的指数为零即可.
解:由题意得:Tk+1=(-2)kC6kx2k﹣6,
令2k﹣6=0得k=3,
故常数项为T4=(-2)3C63=-160.
故选:C.
【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力,属于基础题.
6.如图,半径为1的圆M与直线l相切于点A,圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆M'时,圆M'与直线l相切于点B,点A运动到点A',线段AB的长度为3π2,则点M'到直线BA'的距离为( )
A.1 B.32 C.22 D.12
【分析】根据条件可得圆旋转了34个圆,作图可得到△A'M'B是等腰直角三角形,进而可求得M'到A'M的距离.
解:根据条件可知圆周长=2π,因为BA=32π=34×2π,故可得A’位置如图:
∠A'M'B=90°,则△A'M'B是等腰直角三角形,
则M'到A'M的距离d=22r=22,
故选:C.
【点评】本题考查点到直线的距离,考查圆旋转的长度求法,数中档题.
7.已知函数f(x)=|x﹣m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1,2)内单调递减,则m的取值范围为( )
A.[﹣1,+∞) B.(﹣∞,﹣1] C.[﹣2,+∞) D.(﹣∞,﹣2]
【分析】根据题意,分析可得f(x)在区间(﹣2,﹣1)上递增,将f(x)写成分段函数的形式,分析可得f(x)在区间(m,+∞)上为增函数,据此可得m的取值范围.
解:根据题意,函数f(x)=|x﹣m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1,2)内单调递减,
则f(x)在区间(﹣2,﹣1)上递增,
而f(x)=|x﹣m|=x-m,x≥m-x+m,x<m,在区间(m,+∞)上为增函数,
则有m≤﹣2,即m的取值范围为(﹣∞,﹣2];
故选:D.
【点评】本题考查函数的单调性,涉及函数之间的对称性、不等式的解法,属于基础题.
8.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为( )
A.5 B.22 C.23 D.13
【分析】首先把三视图转换为直观图,进一步求出最大棱长.
解:根据几何体的三视图可得直观图为:该几何体为四棱锥体,
如图所示:
所以最长的棱长AB=22+22+22=23.
故选:C.
【点评】本题考查的知识要点:三视图和直观图形之间的转换,几何体的棱长的求法和应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
9.若数列{an}满足a1=2,则“∀p,r∈N*,ap+r=apar”是“{an}为等比数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论.
解:“∀p,r∈N*,ap+r=apar”,取p=n,r=1,则an+1=2an,
∴{an}为等比数列.
反之不成立.{an}为等比数列,则ap+r=2×qp+r﹣1,apar=22•qp+r﹣2,只有q=2时才能成立.
∴数列{an}满足a1=2,则“∀p,r∈N*,ap+r=apar”是“{an}为等比数列”的充分不必要条件..
故选:A.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
10.形如22n+1(n是非负整数)的数称为费马数,记为Fn.数学家费马根据F0,F1,F2,F3,F4都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出F5不是质数,那么F5的位数是( )(参考数据:lg2≈0.3010)
A.9 B.10 C.11 D.12
【分析】根据所给定义表示出F5=109.632×109,进而即可判断出其位数.
解:根据题意,F5=225+1=232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010=109.632=100.632×109,
因为1<100.632<10,所以F5的位数是10.
故选:B.
【点评】本题考查指对数运算,考查学生阅读理解能力,属于中档题.
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.已知点P(1,2)在抛物线C:y2=2px上,则抛物线C的准线方程为 x=﹣1 .
【分析】把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p,而准线方程为x=-p2,从而得解.
解:把点P(1,2)代入抛物线方程有,4=2p,∴p=2,
∴抛物线的准线方程为x=-p2=-1.
故答案为:x=﹣1.
【点评】本题考查抛物线的方程、准线方程等,考查学生的运算能力,属于基础题.
12.在等差数列{an}中,a1=3,a2+a5=16,则数列{an}的前4项的和为 24 .
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出.
解:设等差数列{an}的公差为d,∵a1=3,a2+a5=16,
∴2×3+5d=16,解得d=2.
则数列{an}的前4项的和=4×3+4×32×2=24.
故答案为:24.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
13.已知非零向量a→,b→满足|a→|=|a→-b→|,则(a→-12b→)•b→= 0 .
【分析】把所给条件平方整理得到a→•b→=12b→2;代入数量积即可求解结论.
解:因为非零向量a→,b→满足|a→|=|a→-b→|,
∴a→2=a→2-2a→•b→+b→2⇒a→•b→=12b→2;
则(a→-12b→)•b→=a→⋅b→-12b→2=0.
故答案为:0.
【点评】本题考查向量的数量积以及模长的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力.
14.在△ABC中,AB=43,∠B=π4,点D在边BC上,∠ADC=2π3,CD=2,则AD= 42 ;△ACD的面积为 26 .
【分析】先根据正弦定理求得AD,进而求得三角形的面积.
解:如图;
因为在△ABC中,AB=43,∠B=π4,点D在边BC上,∠ADC=2π3,CD=2,
所以:ADsin∠ABD=ABsin∠ADB⇒AD=43×sinπ4sinπ3=42;
S△ACD=12•AD•CD•sin∠ADC=12×42×2×sin2π3=26;
故答案为:42,26.
【点评】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积,属于基础题目.
15.如图,在等边三角形ABC中,AB=6.动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为f(x),给出下列三个结论:
①函数f(x)的最大值为12;
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9;
③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根.
其中,所有正确结论的序号是 ①② .
【分析】写出函数解析式并作出图象,数形结合进行逐一分析
解:由题可得函数f(x)=3+(x-3)2,0≤x<63+(x-9)2,6≤x<123+(x-15)2,12≤x≤18,作出图象如图:
则当点P与△ABC顶点重合时,即x=0,6,12,18时,f(x)取得最大值12,故①正确;
又f(x)=f(18﹣x),所以函数f(x)的对称轴为x=9,故②正确;
由图象可得,函数f(x)图象与y=kx+3的交点个数为6个,故方程有6个实根,故③错误.
故答案为:①②.
【点评】本题考查命题的真假性判断,涉及函数的应用、图象与性质,数形结合思想,逻辑推理能力,属于难题
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,AB=BB1=2BC=2,BC1=3,点E为A1C1的中点.
(Ⅰ)求证:C1B⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A﹣BC﹣E的大小.
【分析】(Ⅰ)证明AB⊥C1B.CB⊥C1B.利用直线与平面垂直的判断定理证明C1B⊥平面ABC.
(Ⅱ)以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz.求出平面BCE的法向量,平面ABC的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可,
【解答】(Ⅰ)证明:因为AB⊥平面BB1C1C,C1B⊂平面BB1C1C
所以AB⊥C1B.
在△BCC1中,BC=1,BC1=3,CC1=2,
所以BC2+BC12=CC12.
所以CB⊥C1B.
因为AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,
所以C1B⊥平面ABC.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,AB⊥C1B,BC⊥C1B,AB⊥BC,
如图,以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz.
则B(0,0,0),E(-12,3,1),C(1,0,0).BC→=(1,0,0),BE→=(-12,3,1).
设平面BCE的法向量为n→=(x,y,z),
则n→⋅BC→=0n→⋅BE→=0,
即x=0,-12x+3y+z=0.
令y=3则x=0,z=﹣3,
所以n→=(0,3,-3).
又因为平面ABC的法向量为m→=(0,1,0),
所以cos<m→,n→>=m→⋅n→|m→||n→|=12.
由题知二面角A﹣BC﹣E为锐角,所以其大小为π3.
【点评】本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面垂直的判断定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力,是中档题.
17.已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在[-π2,π6]上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.
【分析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式求出f(0)的值;
(Ⅱ)选择条件①时f(x)的一个周期为π,
利用三角恒等变换化简f(x),再求f(x)在[-π2,π6]的最小值.
选择条件②时f(x)的一个周期为2π,
化简f(x),利用三角函数的性质求出f(x)在[-π2,π6]的最小值.
解:(Ⅰ)由函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x,
则f(0)=2cos20+sin0=2;
(Ⅱ)选择条件①,则f(x)的一个周期为π;
由f(x)=2cos2x+sin2x
=(cos2x+1)+sin2x
=2(22sin2x+22cos2x)+1
=2sin(2x+π4)+1;
因为x∈[-π2,π6],所以2x+π4∈[-3π4,7π12];
所以-1≤sin(2x+π4)≤1,
所以1-2≤f(x)≤1+2;
当2x+π4=-π2,即x=-3π8时,f(x)在[-π2,π6]取得最小值为1-2.
选择条件②,则f(x)的一个周期为2π;
由f(x)=2cos2x+sinx
=2(1﹣sin2x)+sinx
=-2(sinx-14)2+178;
因为x∈[-π2,π6],所以sinx∈[-1,12];
所以当sinx=﹣1,即x=-π2时,f(x)在[-π2,π6]取得最小值为﹣1.
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了转化与运算能力,是基础题.
18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障.如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).
(Ⅰ)从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率;
(Ⅱ)从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.
【分析】(Ⅰ)按照古典概型概率计算公式计算即可;
(Ⅱ)显然这是一个超几何分布,按照超几何分布的概率计算方法,分别算出随机变量X取0,1,2时的概率,然后画出分布列,即可求期望;
(Ⅲ)结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可.
解:(Ⅰ)设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年,研发投入占当年总营收的百分比超过10%”,
从2010年至2019年一共10年,其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年,
所以P(A)=910.
(Ⅱ)由图表信息,从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元,所以X的所有可能取值为0,1,2.
且P(X=0)=C52C102=29;P(X=1)=C51C51C102=59;P(X=2)=C52C102=29.
所以X的分布列为:
X
0
1
2
P
29
59
29
故X的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1.
(Ⅲ)从两个方面可以看出,该公式是比较重视研发的:
一、从2010年至2019年,每年的研发投入是逐年增加的(2018年除外),并且增加的幅度总体上逐渐加大;
二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的,虽然2015年往后有些波动,但是总体占比还是较高的.
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法,注意对题意的理解需到位、准确.同时考查学生的数学建模的素养,属于中档题.
19.已知函数f(x)=ex+ax.
(Ⅰ)当a=﹣1时,
①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
②求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)求证:当a∈(﹣2,0)时,曲线y=f(x)与y=1﹣lnx有且只有一个交点.
【分析】(Ⅰ)①将a=﹣1带入,求导,求出切线斜率及切点,利用点斜式方程即得解;
②求出函数函数f(x)的单调性情况,进而得出最值;
(Ⅱ)即证函数g(x)=ex+ax+lnx﹣1仅有一个零点,利用导数可知函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,结合零点存在性定理即得证.
解:(Ⅰ)①当a=﹣1时,f(x)=ex﹣x,则 f'(x)=ex﹣1.
所以f'(0)=0.
又f(0)=1,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;
②令f'(x)=0,得x=0,此时f'(x),f(x)随x的变化如下:
x
(﹣∞,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
﹣
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
可知f(x)min=f(0)=1,函数f(x)的最小值为1.
(Ⅱ)证明:由题意可知,x∈(0,+∞),
令g(x)=ex+ax+lnx﹣1,则g′(x)=ex+1x+a,
由(Ⅰ)中可知ex﹣x≥1,故 ex≥1+x,
因为a∈(﹣2,0),
则g′(x)=ex+1x+a≥(x+1)+1x+a≥2x⋅1x+a+1=3+a>0,
所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
因为g(1e)=e1e+ae-2<e12-2<0,
又因为g(e)=ee+ae>e2﹣2e>0,
所以g(x)有唯一的一个零点.
即函数y=f(x)与y=1﹣lnx有且只有一个交点.
【点评】本题考查导数的几何意义,利用导数研究函数的最值,函数的零点等问题,考查运算求解能力及推理论证能力,属于中档题.
20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,A1(﹣a,0),A2(a,0),B(0,b),△A1BA2的面积为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线A1B与直线A2M交于点P,直线A1M与直线A2B交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.
【分析】(Ⅰ)由题ca=32,ab=2,a2=b2+c2.,求出a,b,即可得到椭圆方程.
( II)解法1,设直线A2M方程为y=k(x-2)(k≠0且k≠±12),直线A1B方程为y=12x+1,通过联立直线与椭圆方程组,求出M坐标,Q坐标,推出|BP|=|BQ|,即可证明△BPQ为等腰三角形.
解法2,设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)则x02+4y02=4.直线A2M方程为y=y0x0-2(x-2),直线A1B方程为y=12x+1.通过联立直线与椭圆方程组,求出P,Q坐标,转化推出|BP|=|BQ|,得到△BPQ为等腰三角形.
解:(Ⅰ)由题ca=32,ab=2,a2=b2+c2.
解得a=2,b=1.
所以椭圆方程为x24+y2=1.
( II)解法1
证明:设直线A2M方程为y=k(x-2)(k≠0且k≠±12),直线A1B方程为y=12x+1
由y=k(x-2),y=12x+1.解得点P(4k+22k-1,4k2k-1).
由y=k(x-2),x24+y2=1.得(4k+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0,
则2xM=16k2-44k2+1.
所以xM=8k2-24k2+1,yM=-4k4k2+1.
即M(8k2-24k2+1,-4k4k2+1).kA1M=-4k4k2+18k2-24k2+1+2=-14k.
于是直线A1M的方程为y=-14k(x+2),直线A2B的方程为y=-12x+1.
由y=-14k(x+2)y=-12x+1解得点Q(4k+22k-1,-22k-1).
于是xP=xQ,所以PQ⊥x轴.
设PQ中点为N,则N点的纵坐标为4k2k-1+-22k-12=1.
故PQ中点在定直线y=1上.
从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上,所以|BP|=|BQ|,
所以△BPQ为等腰三角形.
解法2
证明:设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)则x02+4y02=4.
直线A2M方程为y=y0x0-2(x-2),直线A1B方程为y=12x+1.
由y=y0x0-2(x-2),y=12x+1.
解得点P(2x0+4y0-42y0-x0+2,4y02y0-x0+2).
直线A1M方程为y=y0x0+2(x+2),直线A2B方程为y=-12x+1.
由y=y0x0+2(x+2),y=-12x+1.
解得点Q(2x0-4y0+42y0+x0+2,4y02y0+x0+2).xP-xQ=2x0+4y0-42y0-x0+2-2x0-4y0+42y0+x0+2=2(x0+2y0-2)(2y0+x0+2)-2(x0-2y0+2)(2y0-x0+2)(2y0-x0+2)(2y0+x0+2)=2[(x0+2y0)2-4)-(4-(x0-2y0)2](2y0-x0+2)(2y0+x0+2)=0.
于是xP=xQ,所以PQ⊥x轴.yP+yQ=4y02y0-x0+2+4y02y0+x0+2=4y0(4y0+4)(2y0-x0+2)(2y0+x0+2)=4y0(4y0+4)(2y0+2)2-x02=2.
故PQ中点在定直线y=1上.
从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上,所以|BP|=|BQ|,
所以△BPQ为等腰三角形.
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是难题.
21.已知数列{an}是由正整数组成的无穷数列.若存在常数k∈一、选择题*,使得a2n﹣1+a2n=kan对任意的n∈N*成立,则称数列{an}具有性质Ψ(k).
(Ⅰ)分别判断下列数列{an}是否具有性质Ψ(2);(直接写出结论)
①an=1;②an=2n.
(Ⅱ)若数列{an}满足an+1≥an(n=1,2,3,…),求证:“数列{an}具有性质Ψ(2)”是“数列{an}为常数列”的充分必要条件;
(Ⅲ)已知数列{an}中a1=1,且an+1>an(n=1,2,3,…).若数列{an}具有性质Ψ(4),求数列{an}的通项公式.
【分析】(Ⅰ)①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论.
(Ⅱ)先证“充分性”:当数列{an}具有“性质Ψ(2)”时,有a2n﹣1+a2n=2an,根据an+1≥an,可得0≤a2n﹣an=an﹣a2n﹣1≤0,进而有an=a2n,结合an+1≥an即可证明结论.再证“必要性”:若“数列{an}为常数列”,容易验证a2n﹣1+a2n=2a1=2an,即可证明.
(Ⅲ)首先证明:an+1﹣an≥2.根据{an}具有“性质Ψ(4)”,可得a2n﹣1+a2n=4an.当n=1时,有a2=3a1=3.由a2n-1,a2n,an∈N*,且a2n>a2n﹣1,可得a2n≥2an+1,a2n﹣1≤2an﹣1,进而有2an+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2an+1﹣2,可得2(an+1﹣an)≥3,可得:an+1﹣an≥2.
然后利用反证法证明:an+1﹣an≤2.假设数列{an}中存在相邻的两项之差大于3,即存在k∈N*满足:a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3,进而有4(ak+1﹣ak)=(a2k+2+a2k+1)﹣(a2k+a2k﹣1)=[(a2k+2﹣a2k+1)+(a2k+1﹣a2k)]+[(a2k+1﹣a2k)+(a2k﹣a2k﹣1)]≥12.又因为ak+1-ak∈N*,可得ak+1﹣ak≥3,依此类推可得:a2﹣a1≥3,矛盾.综上有:an+1﹣an=2,结合a1=1可得an=2n﹣1,
解:(Ⅰ)①数列{an}具有“性质Ψ(2)”;
②数列{an}不具有“性质Ψ(2)”.
(Ⅱ)证明:先证“充分性”:
当数列{an}具有“性质Ψ(2)”时,有a2n﹣1+a2n=2an,
又因为an+1≥an,
所以0≤a2n﹣an=an﹣a2n﹣1≤0,
进而有an=a2n
结合an+1≥an有an=an+1=…=a2n,
即“数列{an}为常数列”;
再证“必要性”:
若“数列{an}为常数列”,
则有a2n﹣1+a2n=2a1=2an,
即“数列{an}具有“性质Ψ(2)”.
(Ⅲ)首先证明:an+1﹣an≥2.
因为{an}具有“性质Ψ(4)”,
所以a2n﹣1+a2n=4an.
当n=1时,有a2=3a1=3.
又因为a2n-1,a2n,an∈N*,且a2n>a2n﹣1,
所以有a2n≥2an+1,a2n﹣1≤2an﹣1,
进而有2an+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2an+1﹣2,
所以2(an+1﹣an)≥3,
结合an+1,an∈N*可得:an+1﹣an≥2.
然后利用反证法证明:an+1﹣an≤2.
假设数列{an}中存在相邻的两项之差大于3,
即存在k∈N*满足:a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3,
进而有4(ak+1﹣ak)=(a2k+2+a2k+1)﹣(a2k+a2k﹣1)=(a2k+2﹣a2k)+(a2k+1﹣a2k﹣1)=[(a2k+2﹣a2k+1)+(a2k+1﹣a2k)]+[(a2k+1﹣a2k)+(a2k﹣a2k﹣1)]≥12.
又因为ak+1-ak∈N*,
所以ak+1﹣ak≥3
依此类推可得:a2﹣a1≥3,矛盾,
所以有an+1﹣an≤2.
综上有:an+1﹣an=2,
结合a1=1可得an=2n﹣1,
经验证,该通项公式满足a2n﹣1+a2n=4an,
所以:an=2n﹣1.
【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.