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  • 2021-06-16 发布

2021届课标版高考文科数学一轮复习学案:立体几何初步第2节空间图形的基本关系与公理

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第二节 空间图形的基本关系与公理 ‎[最新考纲] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.‎ ‎1.空间图形的公理 ‎(1)公理1:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).‎ ‎(2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(即直线在平面内).‎ ‎(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.‎ ‎(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.‎ ‎2.空间中两直线的位置关系 ‎(1)空间中两直线的位置关系 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角.‎ ‎②范围:.‎ ‎(3)定理(等角定理)‎ 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.‎ ‎3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎(1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 aα 有无数个公共点 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 没有公共点 直线a与平面α斜交 a∩α=A 有且只有一个公共点 直线a与平面α垂直 a⊥α ‎(2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有公共点 两平面相交 斜交 α∩β=l 有一条公共直线 垂直 α⊥β且 α∩β=a ‎1.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.‎ ‎2.等角定理的引申 ‎(1)在等角定理中,若两角的两边平行且方向相同或相反,则这两个角相等.‎ ‎(2)在等角定理中,若两角的两边平行且方向一个边相同,一个边相反,则这两个角互补.‎ ‎3.唯一性定理 ‎(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.‎ ‎(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.‎ ‎(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.‎ ‎(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线. (  )‎ ‎(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. (  )‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. (  )‎ ‎(4)没有公共点的两条直线是异面直线. (  )‎ ‎[答案](1)× (2)√ (3)× (4)×‎ 二、教材改编 ‎1.下列命题正确的是(  )‎ A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D [根据确定平面的公理和推论知选项D正确.]‎ ‎2.若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是(  )‎ A.平面α内的所有直线与a异面 B.平面α内不存在与a平行的直线 C.平面α内存在唯一的直线与a平行 D.平面α内的直线与a都相交 B [由题意知直线a与平面α相交,则平面α内不存在与a平行的直线,故选B.]‎ ‎3.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(  )‎ A.30°   B.45°‎ C.60° D.90°‎ C [连接B1D1,D1C(图略),则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求的角,又B1D1=B1C=D1C,‎ ‎∴∠D1B1C=60°.]‎ ‎4.如图,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 ‎(1)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形;‎ ‎(2)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为正方形.‎ ‎(1)AC=BD (2)AC=BD且AC⊥BD  [(1)若四边形EFGH为菱形,‎ 则EF=EH,∵EFAC,EHBD,‎ ‎∴AC=BD.‎ ‎(2)若四边形EFGH为正方形,‎ 则EF=EH且EF⊥EH,‎ ‎∵EFAC,EHBD,‎ ‎∴AC=BD且AC⊥BD.]‎ ‎⊙考点1 平面基本性质的应用 ‎ 共点、共线、共面问题的证明方法 ‎(1)证明点共线问题:①公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根据基本公理3证明这些点都在交线上;②同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.‎ ‎(2)证明线共点问题:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点.‎ ‎(3)证明点、直线共面问题:①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.‎ ‎ (1)以下命题中,正确命题的个数是(  )‎ ‎①不共面的四点中,其中任意三点不共线;‎ ‎②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;‎ ‎③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面.‎ A.0 B.1    ‎ C.2     D.3‎ ‎(2)如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:‎ ‎①E,C,D1,F四点共面;‎ ‎②CE,D1F,DA三线共点.‎ ‎(1)B [①正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点矛盾;②中若点A,B,C在同一条直线上,则A,B,C,D,E不一定共面,故②错误;③中,直线b,c可能是异面直线,故③错误;④中,当四条线段构成空间四边形时,四条线段不共面,故④错误.]‎ ‎(2)[证明] ①如图,连接EF,CD1,A1B.‎ ‎∵E,F分别是AB,AA1的中点,‎ ‎∴EF∥BA1.‎ 又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1,‎ ‎∴E,C,D1,F四点共面.‎ ‎②∵EF∥CD1,EF