2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：立体几何初步第2节空间图形的基本关系与公理 9页

第二节　空间图形的基本关系与公理 ‎[最新考纲]　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．‎ ‎1．空间图形的公理 ‎(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．‎ ‎(2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ ‎(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．‎ ‎2．空间中两直线的位置关系 ‎(1)空间中两直线的位置关系 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．‎ ‎②范围：.‎ ‎(3)定理(等角定理)‎ 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎(1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 aα 有无数个公共点 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 没有公共点 直线a与平面α斜交 a∩α＝A 有且只有一个公共点 直线a与平面α垂直 a⊥α ‎(2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有公共点 两平面相交 斜交 α∩β＝l 有一条公共直线 垂直 α⊥β且 α∩β＝a ‎1．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．‎ ‎2．等角定理的引申 ‎(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．‎ ‎(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．‎ ‎3．唯一性定理 ‎(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．‎ ‎(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．‎ ‎(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．‎ ‎(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． (　　)‎ ‎(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． (　　)‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． (　　)‎ ‎(4)没有公共点的两条直线是异面直线． (　　)‎ ‎[答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ 二、教材改编 ‎1．下列命题正确的是(　　)‎ A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D　[根据确定平面的公理和推论知选项D正确．]‎ ‎2．若直线a不平行于平面α，且aα，则下列结论成立的是(　　)‎ A．平面α内的所有直线与a异面 B．平面α内不存在与a平行的直线 C．平面α内存在唯一的直线与a平行 D．平面α内的直线与a都相交 B　[由题意知直线a与平面α相交，则平面α内不存在与a平行的直线，故选B.]‎ ‎3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)‎ A．30°　　 B．45°‎ C．60° D．90°‎ C　[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，‎ ‎∴∠D1B1C＝60°.]‎ ‎4．如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 ‎(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；‎ ‎(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．‎ ‎(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD 　[(1)若四边形EFGH为菱形，‎ 则EF＝EH，∵EFAC，EHBD，‎ ‎∴AC＝BD.‎ ‎(2)若四边形EFGH为正方形，‎ 则EF＝EH且EF⊥EH，‎ ‎∵EFAC，EHBD，‎ ‎∴AC＝BD且AC⊥BD.]‎ ‎⊙考点1　平面基本性质的应用 ‎　共点、共线、共面问题的证明方法 ‎(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．‎ ‎(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．‎ ‎(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．‎ ‎ (1)以下命题中，正确命题的个数是(　　)‎ ‎①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；‎ ‎③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面．‎ A．0 B．1　　　　‎ C．2　　　　 D．3‎ ‎(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ ‎①E，C，D1，F四点共面；‎ ‎②CE，D1F，DA三线共点．‎ ‎(1)B　[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．]‎ ‎(2)[证明]　①如图，连接EF，CD1，A1B.‎ ‎∵E，F分别是AB，AA1的中点，‎ ‎∴EF∥BA1.‎ 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，‎ ‎∴E，C，D1，F四点共面．‎ ‎②∵EF∥CD1，EF