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- 2021-06-16 发布
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第
1
讲 等差数列、等比数列的基本问题
高考定位
1.
等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点
,经常以小题形式出现;
2.
数列的通项也是高考热点
,
常在解答题中的第
(1)
问出现
,
难度中档以下
.
真 题 感 悟
1.
(2017·
全国
Ⅰ
卷
)
记
S
n
为等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
.
若
a
4
+
a
5
=
24
,
S
6
=
48
,则
{
a
n
}
的公差为
(
)
A.1 B.2 C.4 D.8
答案
C
2.
(2017·
全国
Ⅱ
卷
)
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“
远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”
意思是:一座
7
层塔共挂了
381
盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的
2
倍,则塔的顶层共有灯
(
)
A.1
盏
B.3
盏
C.5
盏
D.9
盏
答案
B
考
点
整
合
热点一 等差、等比数列的基本运算
答案
(1)B
(2)64
探究提高
1.
第
(2)
题求解的思路是:先利用等比数列的通项公式构建首项
a
1
与公比
q
的方程组
,
求出
a
1
,
q
,
得到
{
a
n
}
的通项公式
,
再将
a
1
a
2
·
…
·
a
n
表示为
n
的函数
,
进而求最大值
.
2
.
等差
(
比
)
数列基本运算的解题途径:
(1)
设基本量
a
1
和公差
d
(
公比
q
).
(2)
列、解方程组:把条件转化为关于
a
1
和
d
(
q
)
的方程
(
组
)
,
然后求解
,
注意整体计算
,
以减少运算量
.
答案
(1)1
(2)B
热点二 等差
(
比
)
数列的性质
【例
2
】
(1)
(2017·
汉中模拟
)
已知等比数列
{
a
n
}
的前
n
项积为
T
n
,若
log
2
a
2
+
log
2
a
8
=
2
,则
T
9
的值为
(
)
A.
±
512 B.512 C.
±
1 024 D.1 024
(2)
(2017·
北京海淀区质检
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,且满足
S
n
=
2
a
n
-
2
,若数列
{
b
n
}
满足
b
n
=
10
-
log
2
a
n
,则使数列
{
b
n
}
的前
n
项和取最大值时的
n
的值为
________.
解析
(1)
由
log
2
a
2
+
log
2
a
8
=
2
,
得
log
2
(
a
2
a
8
)
=
2
,
所以
a
2
a
8
=
4
,
则
a
5
=
±2
,
等比数列
{
a
n
}
的前
9
项积为
T
9
=
a
1
a
2
…
a
8
a
9
=
(
a
5
)
9
=
±
512.
(2)
∵
S
n
=
2
a
n
-
2
,∴
n
=
1
时
,
a
1
=
2
a
1
-
2
,
解得
a
1
=
2.
当
n
≥
2
时
,
a
n
=
S
n
-
S
n
-
1
=
2
a
n
-
2
-
(2
a
n
-
1
-
2)
,
∴
a
n
=
2
a
n
-
1
.
∴
数列
{
a
n
}
是公比与首项都为
2
的等比数列
,∴
a
n
=
2
n
.
∴
b
n
=
10
-
log
2
a
n
=
10
-
n
.
由
b
n
=
10
-
n
≥
0
,
解得
n
≤
10.
∴
使数列
{
b
n
}
的前
n
项和取最大值时的
n
的值为
9
或
10.
答案
(1)A
(2)9
或
10
探究提高
1.
利用等差
(
比
)
性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系
,
从这些特点入手选择恰当的性质进行求解
.
2
.
活用函数性质:数列是一种特殊的函数
,
具有函数的一些性质
,
如单调性、周期性等
,
可利用函数的性质解题
.
【训练
2
】
(1)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
,若数列
{2
a
1
a
n
}
为递减数列,则
(
)
A.
d
>0 B.
d
<0
C.
a
1
d
>0 D.
a
1
d
<0
(2)
(2017·
开封质检
)
设等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,若
S
m
-
1
=
5
,
S
m
=-
11
,
S
m
+
1
=
21
,则
m
等于
(
)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析
(1)
因为数列
{2
a
1
a
n
}
为递减数列
,
所以
2
a
1
a
n
<2
a
1
a
n
-
1
,
则
a
1
a
n
<
a
1
a
n
-
1
,
∴
a
1
(
a
n
-
a
n
-
1
)<0
,
从而
a
1
d
<0.
答案
(1)D
(2)C
热点三 等差
(
比
)
数列的判断与证明
【例
3
】
(2014·
全国
Ⅰ
卷
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
a
1
=
1
,
a
n
≠
0
,
a
n
a
n
+
1
=
λS
n
-
1
,其中
λ
为常数
.
(1)
证明:
a
n
+
2
-
a
n
=
λ
;
(2)
是否存在
λ
,使得
{
a
n
}
为等差数列?并说明理由
.
(1)
证明
由题设,
a
n
a
n
+
1
=
λS
n
-
1
,
①
知
a
n
+
1
a
n
+
2
=
λS
n
+
1
-
1
,
②
②
-
①
得:
a
n
+
1
(
a
n
+
2
-
a
n
)
=
λa
n
+
1
.
∵
a
n
+
1
≠
0
,
∴
a
n
+
2
-
a
n
=
λ
.
(2)
解
由题设可求
a
2
=
λ
-
1
,
∴
a
3
=
λ
+
1
,
令
2
a
2
=
a
1
+
a
3
,解得
λ
=
4
,故
a
n
+
2
-
a
n
=
4.
由此可得
{
a
2
n
-
1
}
是首项为
1
,公差为
4
的等差数列,
a
2
n
-
1
=
4
n
-
3
;
{
a
2
n
}
是首项为
3
,公差为
4
的等差数列,
a
2
n
=
4
n
-
1.
所以
a
n
=
2
n
-
1
,
a
n
+
1
-
a
n
=
2.
因此存在
λ
=
4
,使得数列
{
a
n
}
为等差数列
.
【迁移探究
1
】
若把本例题的条件
a
1
=
1
变为
a
1
=
2
,求解问题
(2).
【迁移探究
2
】
在本例题
(2)
中是否存在
λ
,使得
{
a
n
}
为等比数列?并说明理由
.
【训练
3
】
(2017·
全国
Ⅰ
卷
)
记
S
n
为等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和
.
已知
S
2
=
2
,
S
3
=-
6.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式;
(2)
求
S
n
,并判断
S
n
+
1
,
S
n
,
S
n
+
2
是否成等差数列
.
热点四 等差数列与等比数列的综合问题
【例
4
】
已知等差数列
{
a
n
}
的公差为-
1
,且
a
2
+
a
7
+
a
12
=-
6.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
a
n
与前
n
项和
S
n
;
(2)
将数列
{
a
n
}
的前
4
项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列
{
b
n
}
的前
3
项,记
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
,若存在
m
∈
N
*
,使对任意
n
∈
N
*
,总有
S
n
<
T
m
+
λ
恒成立,求实数
λ
的取值范围
.
探究提高
1.
等差数列与等比数列交汇的问题
,
常用
“
基本量法
”
求解
,但有时灵活地运用性质,可使运算简便
.
2
.
数列的项或前
n
项和可以看作关于
n
的函数
,
然后利用函数的性质求解数列问题
.
1.
在等差
(
比
)
数列中,
a
1
,
d
(
q
)
,
n
,
a
n
,
S
n
五个量中知道其中任意三个,就可以求出其他两个
.
解这类问题时,一般是转化为首项
a
1
和公差
d
(
公比
q
)
这两个基本量的有关运算
.
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