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- 2021-06-16 发布
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专练(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝{y|y＝，x>2}，则∁UP＝( )
A. B.
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪
答案：A
解析：因为函数y＝log2x在定义域内为增函数，故U＝{y|y>0}，函数y＝在(0，＋∞)内为减函数，故集合P＝{y|00)个单位长度后得到的图象与函数y＝ksin xcos x(k>0)的图象重合，则k＋m的最小值是( )
A．2＋ B．2＋
C．2＋ D．2＋
答案：A
解析：将函数y＝sin2x－cos2x＝－cos 2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所得到的图象对应的函数解析式为y＝－cos[2(x＋m)]＝－cos(2x＋2m)＝sin(m>0)，平移后得到的图象与函数y＝ksin xcos x＝sin 2x(k>0)的图象重合，所以得k＝2，m＝nπ＋(n∈Z)，又m>0，所以m的最小值为，可知k＋m的最小值为2＋.故选A.
8．[2019·山西太原一中检测]已知实数x，y满足|x|＋|y|≤1，则z＝2|x|－|y|的最大值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
答案：D
解析：令|x|＝a，|y|＝b，则且z＝2a－b.作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线b＝2a，并平移，由图知，当平移后的直线过点(1，0)时，z取得最大值，且zmax＝2×1－0＝2.故选D.
9．[2019·河南郑州摸底]现有一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，2，3的四个小球，它们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球的所有情况共有4×4＝16(种)，其中号码相同的情况共有6种，则号码不同的概率为P＝1－＝，故选D.
10．[2019·辽宁五校期末]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是( )
A. B.
C.或 D.或
答案：D
解析：由sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，得2sin Bcos A＝3sin 2A＝6sin Acos A，即sin Bcos A＝3sin Acos A．当cos A＝0时，A＝，而C＝，c＝，所以B＝，b＝ctan B＝×＝，所以此时△ABC的面积为bc＝××＝；当cos A≠0时，可得sin B＝3sin A，由正弦定理得b＝3a，又c＝，所以cos C＝＝＝cos＝，得a＝1，所以b＝3，此时△ABC的面积为absin C＝×1×3×＝.综上可知，△ABC的面积为或.故选D.
11．[2019·河北唐山期中]如图，在△ABC中，＝2，过点M的直线分别交射线AB
，AC于不同的两点P，Q，若＝m，＝n，则mn＋m的最小值为( )
A．2 B．2
C．6 D．6
答案：A
解析：连接AM，由已知可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋.因为P，M，Q三点共线，所以＋＝1，所以mn＋m＝＋m＝＋＝＝＋＋≥＋2＝2，当且仅当＝，即m＝n＝1时取等号，
所以mn＋m的最小值为2.故选A.
12．[2019·陕西汉中模拟]设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(－1，0)的直线在第一象限交抛物线于A，B两点，且·＝0，则直线AB的斜率k＝( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(易知k>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由可得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由根与系数的关系得x1·x2＝1，x1＋x2＝.
又·＝0，易知F(1，0)，所以(1－x1)(1－x2)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝0，即(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝0，即2k2＋2＋(k2－1)＝0，解得k＝.故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．[2019·陕西宝鸡四校第二次联考]已知α为锐角，且sin α·(－tan 10°)＝1，则α＝________.
答案：40°
解析：由题意知sin α(－tan 10°)＝sin α·＝sin α·＝sin α·＝sin α·＝＝1，即sin α＝sin 40°.因为α为锐角，所以α＝40°.
14．[2019·山东邹城质监]观察下列各式：
12＝；
12＋22＝；
12＋22＋32＝；
12＋22＋32＋42＝；
……
照此规律，当n∈N*时，12＋22＋32＋…＋n2＝________.
答案：
解析：第一个式子：12＝；第二个式子：12＋22＝；第三个式子：12＋22＋32＝；第四个式子：12＋22＋32＋42＝；……第n个式子：12＋22＋32＋…＋n2＝＝.
15．[2019·福建龙岩质检]若用1，2，3，4，5，6，7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性都不同的六位数，则这样的六位数共有________个(用数字作答)．
答案：288
解析：分两步进行，第一步，先从1，3，5，7中选3个进行排列，有A＝24种排法；第二步：将2，4，6这3个数插空排列，有2A＝12种排法．由分步乘法计数原理得，这样的六位数共有24×12＝288(个)．
16．[2019·湖南四校摸底]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)＝________.
答案：
解析：由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，所以函数f(x)是以5为周期的函数，则f(16)＝f(3×5＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，解得a＝－1，所以当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，所以f(－1)＝－，则f(1)＝－f(－1)＝，故f(16)＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2019·河南郑州高中毕业班第二次质量预测]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an>0，若an＝＋(n≥2且n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记cn＝an·2an，求数列{cn}的前n项和Tn.
解析：(1)依题意知an＝＋(n≥2且n∈N*)，且an>0，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
两式相除，得－＝1(n≥2)，
可知数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知，an＝2n－1，所以cn＝(2n－1)·22n－1，
则Tn＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n－1)×22n－1 ①，
4Tn＝1×23＋3×25＋…＋(2n－3)×22n－1＋(2n－1)×22n＋1 ②，
①－②得－3Tn＝2＋2×(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)×22n＋1＝2＋2×－(2n－1)×22n＋1＝－＋×22n＋1，
所以Tn＝.
18．(12分)[2019·湖南高三毕业班开学调研卷]如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，且AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
解析：(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又因为AD∥BC，所以TN綊AM，则四边形AMNT为平行四边形，所以MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
由题易知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，
＝(0，2，－4)，＝，
＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，
则即
可取n＝(0，2，1)，
|cos〈n，〉|＝＝.
故直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
19．(12分)[2019·山西省太原市高三上学期期末检测卷]2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据，资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．
(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；
(2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180)内．
组数
分组
天数
第一组
[50，80)
3
第二组
[80，110)
4
第三组
[110，140)
4
第四组
[140，170)
6
第五组
[170，200)
5
第六组
[200，230)
4
第七组
[230，260)
3
第八组
[260，290)
1
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以分布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．
解析：(1)设重度污染区AQI的平均值为x，则74×2＋114×5＋2x＝118×9，解得x＝172.
(2)①11月份仅有一天AQI在[170，180)内，则AQI小于180的天数为18天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为P＝＝.
②由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．(12分)[2019·湖南湘东六校联考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，点A(b，0)，B，F分别为椭圆C的上顶点和左焦点，且|BF|·|BA|＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l
的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解析：(1)由离心率e＝得a＝2c ①.
由|BF|·|BA|＝2，得a·＝2，∴ab＝2 ②.
又a2－b2＝c2 ③，
∴由①②③可得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋2(k>0)，
由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，易知Δ>0，∴k>.
设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1＋x2＝，＋＝(x1＋x2－2m，k(x1＋x2)＋4)，＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))．
∵菱形的对角线互相垂直，∴(＋)·＝0，
∴(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m＝0，得m＝－，
即m＝－，∵k>，∴－≤m<0(当且仅当＝4k时，等号成立)．
∴存在满足条件的实数m，m的取值范围为.
21．(12分)[2019·北京朝阳区期中]已知函数f(x)＝2mx3－3x2＋1(m∈R)．
(1)当m＝1时，求f(x)在区间[－1，2]上的最大值和最小值；
(2)求证：“m>1”是“函数f(x)有唯一零点”的充分不必要条件．
解析：(1)由题意得f′(x)＝6mx2－6x＝6x(mx－1)，所以当m＝1时，f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1.
当x在[－1，2]内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1，0)
0
(0，1)
1
(1，2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－4
极大值1
极小值0
5
由上表知，当x∈[－1，2]时，f(x)max＝5，f(x)min＝－4.
故f(x)在区间[－1，2]上的最大值和最小值分别为5和－4.
(2)因为m>1，所以由f′(x)＝6mx＝0得x＝0或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为f＝2m·－3·＋1＝－＋1，且m>1，所以f>0.
又f(－m)＝m2(－2m2－3)＋1<0，所以f(x)有唯一零点．
所以“m>1”是“函数f(x)有唯一零点”的充分条件．
当m＝－2时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
又f＝－＋1>0，f(0)>0，f(3)<0，所以此时f(x)也有唯一零点．
从而可知“m>1”是“函数f(x)有唯一零点”的充分不必要条件．
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)
22．(10分)[2019·湖南衡阳八中模拟][选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α<π)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sin θ.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A，B，若|AB|＝8，求α的值．
解析：(1)直线l的普通方程为x·sin α－y·cos α＋cos α＝0，
∵曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sin θ，
∴ρ2cos2θ＝4ρsin θ，又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.
(2)将(t为参数，0≤α<π)代入x2＝4y，
得t2·cos2α－4t·sin α－4＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝，t1·t2＝.
∵|AB|＝|t1－t2|＝＝＝8，
∴cos α＝±，α＝或α＝.
23．(10分)[2019·福建福州二检][选修4－5：不等式选讲]
已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|<4的解集为M.
(1)求集合M；
(2)设实数a∈M，b∉M，证明：|ab|＋1≤|a|＋|b|.
解析：(1)方法一 当x<－时，不等式化为－2x－1＋1－2x<4，即x>－1，
所以－1时，不等式化为2x＋1＋2x－1<4，即x<1，所以
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