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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版椭圆双曲线抛物线的定义方程与性质学案

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第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质 ‎ 考情分析]‎ 圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考热点,多以选择、填空考查,着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程求法,难度中档偏下.‎ 年份 卷别 考查角度及命题位置 ‎2017‎ Ⅰ卷 双曲线的性质及应用·T5‎ 椭圆的综合应用·T12‎ Ⅱ卷 双曲线离心率的范围·T5‎ 抛物线的方程及应用·T12‎ Ⅲ卷 椭圆的离心率求法·T11‎ 已知双曲线的渐近线求参数·T14‎ ‎2016‎ Ⅰ卷 椭圆的离心率求法·T5‎ Ⅲ卷 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率求法·T12‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 椭圆与抛物线的简单性质·T5‎ 双曲线的几何性质·T16‎ Ⅱ卷 双曲线的标准方程·T15‎ ‎ 真题自检]‎ ‎1.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(  )‎ A. B. C. D. 解析:法一:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,‎ 解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以AP∥x轴,又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,‎ 所以S△APF=·|PF|·|AP|=×3×1=.故选D.‎ 法二:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4- ‎=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以=(1,0),=(0,-3),所以·=0,所以AP⊥PF,‎ 所以S△APF=|PF||AP|=×3×1=.故选D.‎ 答案:D ‎2.(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:以线段A‎1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0),半径为a.由题意,圆心到直线bx-ay+2ab=0的距离为=a,即a2=3b2.又e2=1-=,所以e=,故选A.‎ 答案:A ‎3.(2016·高考全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PE⊥x轴,则k=(  )‎ A. B.1‎ C. D.2‎ 解析:∵y2=4x,∴F(1,0).又∵曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,∴P(1,2).‎ 将点P(1,2)的坐标代入y=(k>0),得k=2.故选D.‎ 答案:D ‎4.(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:如图所示,由题意得A(-a,0),B(a,0),F(-c,0).‎ 设E(0,m),由PF∥OE,得=,‎ 则|MF|=.①‎ 又由OE∥MF,得=,则|MF|=.②‎ 由①②得a-c=(a+c),即a=‎3c,∴e==.故选A.‎ 答案:A 椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程 ‎ 方法结论]‎ ‎1.圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=‎2a(‎2a>|F‎1F2|);‎ ‎(2)双曲线:=‎2a(‎2a<|F‎1F2|);‎ ‎(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M.‎ ‎2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”‎ 所谓“定型”,就是曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.‎ ‎ 题组突破]‎ ‎1.(2017·大连双基)若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为(  )‎ A. B.1‎ C. D.2‎ 解析:设P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,又点P到焦点F的距离为2,‎ ‎∴由定义知点P到准线的距离为2,∴xP+1=2,∴xP=1,代入抛物线方程得|yP|=2,‎ ‎∴△OFP的面积为S=·|OF|·|yP|=×1×2=1.‎ 答案:B ‎2.(2017·湖北八校联考)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:由题意知a=3,b=.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在△PF‎1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F‎1F2的中点,由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|==,所以|PF1|=6-|PF2|=,‎ 所以=,故选B.‎ 答案:B ‎3.已知双曲线-=1(a>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为4,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析:根据对称性,不妨设点A在第一象限,A(x,y),则,解得,∵四边形ABCD的面积为4,∴4xy=4×=4,解得a=2,故双曲线的方程为-=1,选D.‎ 答案:D ‎ 误区警示]‎ ‎1.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征,理解定义是掌握其性质的基础.‎ ‎2.在使用椭圆与双曲线的标准方程时,要注意区分焦点位置.‎ 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质 ‎ 方法结论]‎ ‎1.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系 ‎(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e== ;‎ ‎(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e== .‎ ‎2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.‎ ‎3.抛物线方程中p的几何意义为焦点到准线的距离.‎ ‎ 题组突破]‎ ‎1.(2017·河南八市联考)已知点M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是(  )‎ A. B.3‎ C. D.2‎ 解析:抛物线的准线方程为x=-,依据抛物线的定义,得|QM|-|QF|≥|xQ+3|-==,选C.‎ 答案:C ‎2.(2017·合肥质检)若双曲线C1:-=1与C2:-=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C2的焦距为4,则b=(  )‎ A.2 B.4‎ C.6 D.8‎ 解析:由题意得,=2⇒b=‎2a,C2的焦距‎2c=4⇒c==2⇒b=4,故选B.‎ 答案:B ‎3.(2017·广东五校联考)设椭圆E:+=1(a>b>0)的右顶点为A、右焦点为F,B为椭圆E上在第二象限内的点,直线BO交E于点C.若直线BF平分线段AC,则E的离心率为________.‎ 解析:设AC的中点为M,连接OM,AB,则OM为△ABC的中位线,B,F,M在一条线上,‎ 于是△OFM∽△AFB,且=,即=,解得e==.‎ 答案: ‎4.(2017·高考全国卷Ⅲ)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=________.‎ 解析:因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以a=5.‎ 答案:5‎ ‎ 误区警示]‎ ‎1.注意易混椭圆与双曲线中a2、b2、c2的关系.‎ ‎2.已知双曲线的一条渐近线y=mx(m≠0),则要注意判断其焦点位置后,才能说明=|m|,还是 eq f(b,a)=,从而再利用e= 求离心率.‎ ‎3.对于形如y=ax2(a≠0),求焦点坐标与准线时注意先化为标准方程.‎ 直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系 ‎ 方法结论]‎ 弦长问题 设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线AB的斜率存在(设为k),则|AB|=|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|(k≠0),其中|x1-x2|=,|y1-y2|=;若直线AB的斜率不存在,则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标,利用两点间的距离公式求弦长.‎ ‎ 典例](1)(2017·洛阳模拟)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线AB与抛物线C相交于A,B两点,若2+-3=0,则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________.‎ 解析:法一:依题意得,抛物线的焦点F(0,1),准线方程是y=-1,因为2(-)+(-)=0,即2+=0,所以F,A,B三点共线.设直线AB:y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则由,得x2=4(kx+1),即x2-4kx-4=0,x1x2=-4 ①;又2+=0,因此2x1+x2=0 ②.由①②解得x=2,弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为 (y1+1)+(y2+1)]=(y1+y2)+1=(x+x)+1=+1=.‎ 法二:依题意得,抛物线的焦点F(0,1),准线方程是y=-1,因为2(-)+(-)=0,即2+=0,所以F,A,B三点共线.不妨设直线AB的倾斜角为θ,0<θ<,|FA|=m,点A的纵坐标为y1,则有|FB|=‎2m.分别由点A,B向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A1,B1,作AM⊥BB1于M,则有|AA1|=|AF|=m,|BB1|=|FB|=‎2m,|BM|=|BB1|-|AA1|=m,sin θ==,|AF|=y1+1=2-|AF|sin θ,|AF|=,同理|BF|=y2+1=,|AF|+|BF|=+==,因此弦AB的中点到抛物线C的准线的距离等于 (y1+1)+(y2+1)]=(y1+y2)+1=(|AF|+|BF|)=.‎ 答案: ‎(2)(2017·合肥质检)已知点F为椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线+=1与椭圆E有且仅有一个交点M.‎ ‎①求椭圆E的方程;‎ ‎②设直线+=1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,若λ|PM|2=|PA|·|PB|,求实数λ的取值范围.‎ 解析:①由题意,得a=‎2c,b=c,则椭圆E为+=1.‎ 由,得x2-2x+4-‎3c2=0.‎ ‎∵直线+=1与椭圆E有且仅有一个交点M,‎ ‎∴Δ=4-4(4-‎3c2)=0⇒c2=1,‎ ‎∴椭圆E的方程为+=1.‎ ‎②由①得M(1,),‎ ‎∵直线+=1与y轴交于P(0,2),‎ ‎∴|PM|2=,‎ 当直线l与x轴垂直时,‎ ‎|PA|·|PB|=(2+)×(2-)=1,‎ ‎∴λ|PM|2=|PA|·|PB|⇒λ=,‎ 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由⇒(3+4k2)x2+16kx+4=0,‎ 依题意得:x1x2=,且Δ=48(4k2-1)>0,‎ ‎∴|PA|·|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)·=1+=λ,‎ ‎∴λ=(1+),‎ ‎∵k2>,∴<λ<1.‎ 综上所述,λ的取值范围是 ,1).‎ ‎ 类题通法]‎ 直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想,化归思想及数形结合思想,着重考查运算及推理能力,其解决的方法一般是:‎ ‎(1)设直线方程,在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论,或将直线方程设成x=my+b的形式;‎ ‎(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程,利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系;‎ ‎(3)涉及弦的问题,一般要用到弦长公式|AB|=·|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|.‎ ‎ 演练冲关]‎ 已知抛物线x2=2py上点P处的切线方程为x-y-1=0.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线上的两个动点,其中y1≠y2且y1+y2=4,线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C,求△ABC面积的最大值.‎ 解析:(1)设点P(x0,),由x2=2py得y=,y′=,∵切线的斜率为1,∴=1且x0--1=0,解得p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.‎ ‎(2)设线段AB的中点M(x3,y3),则x3=,y3=,‎ kAB===×(x1+x2)=,‎ ‎∴直线l的方程为y-2=-(x-x3),‎ 即2x+x3(-4+y)=0,∴l过定点(0,4).‎ ⇒x2-2xx3+2x-8=0,‎ 得Δ=4x-4(2x-8)>0⇒-2<x3<2,‎ ‎|AB|=|x1-x2|==,‎ C(0,4)到AB的距离d=|CM|=,‎ ‎∴S△ABC=|AB|·d= ‎= ‎≤ =8,‎ 当且仅当x+4=16-2x,即x3=±2时取等号,‎ ‎∴S△ABC的最大值为8.‎ 圆锥曲线与其他知识的交汇 圆锥曲线与方程是解析几何的核心部分,是高考重点考查的内容,且所占分值较大,近年高考中,圆锥曲线与圆、平面向量、解三角形、不等式等知识交汇命题,成为命题的热点和难点.‎ ‎ 典例] (2017·武汉调研)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且与反向,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:设实轴长为‎2a,虚轴长为2b,令∠AOF=α,则由题意知tan α=,在△AOB中,∠AOB=180°-2α,tan∠AOB=-tan 2α=,∵|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,∴设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,∵OA⊥BF,∴(m-d)2+m2=(m+d)2,整理,得d=m,∴-tan 2α=-===,解得=2或=-(舍去),∴b=‎2a,c==a,∴e==.‎ 答案:C ‎ 类题通法]‎ 平面向量与圆锥曲线的交汇问题多考查平面向量的应用,通过运算沟通数与形的转化,从而使问题解决.‎ ‎ 演练冲关]‎ ‎(2017·贵阳模拟)双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是(  )‎ A.(1,) B.(,+∞)‎ C.(1,) D.(,+∞)‎ 解析:依题意,注意到题中的双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,且“右”区域是由不等式组所确定,又点(2,1)在“右”区域内,于是有1<,即>,因此题中的双曲线的离心率 e=∈(,+∞),选B.‎ 答案:B

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