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- 2021-06-16 发布
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第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考情分析]
圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考热点,多以选择、填空考查,着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程求法,难度中档偏下.
年份
卷别
考查角度及命题位置
2017
Ⅰ卷
双曲线的性质及应用·T5
椭圆的综合应用·T12
Ⅱ卷
双曲线离心率的范围·T5
抛物线的方程及应用·T12
Ⅲ卷
椭圆的离心率求法·T11
已知双曲线的渐近线求参数·T14
2016
Ⅰ卷
椭圆的离心率求法·T5
Ⅲ卷
直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率求法·T12
2015
Ⅰ卷
椭圆与抛物线的简单性质·T5
双曲线的几何性质·T16
Ⅱ卷
双曲线的标准方程·T15
真题自检]
1.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
解析:法一:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,
解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以AP∥x轴,又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,
所以S△APF=·|PF|·|AP|=×3×1=.故选D.
法二:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-
=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以=(1,0),=(0,-3),所以·=0,所以AP⊥PF,
所以S△APF=|PF||AP|=×3×1=.故选D.
答案:D
2.(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析:以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0),半径为a.由题意,圆心到直线bx-ay+2ab=0的距离为=a,即a2=3b2.又e2=1-=,所以e=,故选A.
答案:A
3.(2016·高考全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PE⊥x轴,则k=( )
A. B.1
C. D.2
解析:∵y2=4x,∴F(1,0).又∵曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,∴P(1,2).
将点P(1,2)的坐标代入y=(k>0),得k=2.故选D.
答案:D
4.(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析:如图所示,由题意得A(-a,0),B(a,0),F(-c,0).
设E(0,m),由PF∥OE,得=,
则|MF|=.①
又由OE∥MF,得=,则|MF|=.②
由①②得a-c=(a+c),即a=3c,∴e==.故选A.
答案:A
椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程
方法结论]
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线:=2a(2a<|F1F2|);
(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M.
2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”
所谓“定型”,就是曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.
题组突破]
1.(2017·大连双基)若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为( )
A. B.1
C. D.2
解析:设P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,又点P到焦点F的距离为2,
∴由定义知点P到准线的距离为2,∴xP+1=2,∴xP=1,代入抛物线方程得|yP|=2,
∴△OFP的面积为S=·|OF|·|yP|=×1×2=1.
答案:B
2.(2017·湖北八校联考)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为( )
A. B.
C. D.
解析:由题意知a=3,b=.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|==,所以|PF1|=6-|PF2|=,
所以=,故选B.
答案:B
3.已知双曲线-=1(a>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为4,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:根据对称性,不妨设点A在第一象限,A(x,y),则,解得,∵四边形ABCD的面积为4,∴4xy=4×=4,解得a=2,故双曲线的方程为-=1,选D.
答案:D
误区警示]
1.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征,理解定义是掌握其性质的基础.
2.在使用椭圆与双曲线的标准方程时,要注意区分焦点位置.
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质
方法结论]
1.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系
(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e== ;
(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e== .
2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.
3.抛物线方程中p的几何意义为焦点到准线的距离.
题组突破]
1.(2017·河南八市联考)已知点M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是( )
A. B.3
C. D.2
解析:抛物线的准线方程为x=-,依据抛物线的定义,得|QM|-|QF|≥|xQ+3|-==,选C.
答案:C
2.(2017·合肥质检)若双曲线C1:-=1与C2:-=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C2的焦距为4,则b=( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:由题意得,=2⇒b=2a,C2的焦距2c=4⇒c==2⇒b=4,故选B.
答案:B
3.(2017·广东五校联考)设椭圆E:+=1(a>b>0)的右顶点为A、右焦点为F,B为椭圆E上在第二象限内的点,直线BO交E于点C.若直线BF平分线段AC,则E的离心率为________.
解析:设AC的中点为M,连接OM,AB,则OM为△ABC的中位线,B,F,M在一条线上,
于是△OFM∽△AFB,且=,即=,解得e==.
答案:
4.(2017·高考全国卷Ⅲ)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=________.
解析:因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以a=5.
答案:5
误区警示]
1.注意易混椭圆与双曲线中a2、b2、c2的关系.
2.已知双曲线的一条渐近线y=mx(m≠0),则要注意判断其焦点位置后,才能说明=|m|,还是
eq f(b,a)=,从而再利用e= 求离心率.
3.对于形如y=ax2(a≠0),求焦点坐标与准线时注意先化为标准方程.
直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
方法结论]
弦长问题
设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线AB的斜率存在(设为k),则|AB|=|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|(k≠0),其中|x1-x2|=,|y1-y2|=;若直线AB的斜率不存在,则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标,利用两点间的距离公式求弦长.
典例](1)(2017·洛阳模拟)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线AB与抛物线C相交于A,B两点,若2+-3=0,则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________.
解析:法一:依题意得,抛物线的焦点F(0,1),准线方程是y=-1,因为2(-)+(-)=0,即2+=0,所以F,A,B三点共线.设直线AB:y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则由,得x2=4(kx+1),即x2-4kx-4=0,x1x2=-4 ①;又2+=0,因此2x1+x2=0 ②.由①②解得x=2,弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为 (y1+1)+(y2+1)]=(y1+y2)+1=(x+x)+1=+1=.
法二:依题意得,抛物线的焦点F(0,1),准线方程是y=-1,因为2(-)+(-)=0,即2+=0,所以F,A,B三点共线.不妨设直线AB的倾斜角为θ,0<θ<,|FA|=m,点A的纵坐标为y1,则有|FB|=2m.分别由点A,B向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A1,B1,作AM⊥BB1于M,则有|AA1|=|AF|=m,|BB1|=|FB|=2m,|BM|=|BB1|-|AA1|=m,sin θ==,|AF|=y1+1=2-|AF|sin θ,|AF|=,同理|BF|=y2+1=,|AF|+|BF|=+==,因此弦AB的中点到抛物线C的准线的距离等于 (y1+1)+(y2+1)]=(y1+y2)+1=(|AF|+|BF|)=.
答案:
(2)(2017·合肥质检)已知点F为椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线+=1与椭圆E有且仅有一个交点M.
①求椭圆E的方程;
②设直线+=1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,若λ|PM|2=|PA|·|PB|,求实数λ的取值范围.
解析:①由题意,得a=2c,b=c,则椭圆E为+=1.
由,得x2-2x+4-3c2=0.
∵直线+=1与椭圆E有且仅有一个交点M,
∴Δ=4-4(4-3c2)=0⇒c2=1,
∴椭圆E的方程为+=1.
②由①得M(1,),
∵直线+=1与y轴交于P(0,2),
∴|PM|2=,
当直线l与x轴垂直时,
|PA|·|PB|=(2+)×(2-)=1,
∴λ|PM|2=|PA|·|PB|⇒λ=,
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
由⇒(3+4k2)x2+16kx+4=0,
依题意得:x1x2=,且Δ=48(4k2-1)>0,
∴|PA|·|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)·=1+=λ,
∴λ=(1+),
∵k2>,∴<λ<1.
综上所述,λ的取值范围是 ,1).
类题通法]
直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想,化归思想及数形结合思想,着重考查运算及推理能力,其解决的方法一般是:
(1)设直线方程,在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论,或将直线方程设成x=my+b的形式;
(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程,利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系;
(3)涉及弦的问题,一般要用到弦长公式|AB|=·|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|.
演练冲关]
已知抛物线x2=2py上点P处的切线方程为x-y-1=0.
(1)求抛物线的方程;
(2)设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线上的两个动点,其中y1≠y2且y1+y2=4,线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C,求△ABC面积的最大值.
解析:(1)设点P(x0,),由x2=2py得y=,y′=,∵切线的斜率为1,∴=1且x0--1=0,解得p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.
(2)设线段AB的中点M(x3,y3),则x3=,y3=,
kAB===×(x1+x2)=,
∴直线l的方程为y-2=-(x-x3),
即2x+x3(-4+y)=0,∴l过定点(0,4).
⇒x2-2xx3+2x-8=0,
得Δ=4x-4(2x-8)>0⇒-2<x3<2,
|AB|=|x1-x2|==,
C(0,4)到AB的距离d=|CM|=,
∴S△ABC=|AB|·d=
=
≤ =8,
当且仅当x+4=16-2x,即x3=±2时取等号,
∴S△ABC的最大值为8.
圆锥曲线与其他知识的交汇
圆锥曲线与方程是解析几何的核心部分,是高考重点考查的内容,且所占分值较大,近年高考中,圆锥曲线与圆、平面向量、解三角形、不等式等知识交汇命题,成为命题的热点和难点.
典例] (2017·武汉调研)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且与反向,则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析:设实轴长为2a,虚轴长为2b,令∠AOF=α,则由题意知tan α=,在△AOB中,∠AOB=180°-2α,tan∠AOB=-tan 2α=,∵|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,∴设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,∵OA⊥BF,∴(m-d)2+m2=(m+d)2,整理,得d=m,∴-tan 2α=-===,解得=2或=-(舍去),∴b=2a,c==a,∴e==.
答案:C
类题通法]
平面向量与圆锥曲线的交汇问题多考查平面向量的应用,通过运算沟通数与形的转化,从而使问题解决.
演练冲关]
(2017·贵阳模拟)双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是( )
A.(1,) B.(,+∞)
C.(1,) D.(,+∞)
解析:依题意,注意到题中的双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,且“右”区域是由不等式组所确定,又点(2,1)在“右”区域内,于是有1<,即>,因此题中的双曲线的离心率
e=∈(,+∞),选B.
答案:B