【数学】福建省莆田第二十五中学2020届高三上学期期末考试试题（文）（解析版） 14页

福建省莆田第二十五中学2020届高三上学期期末考试 数学试题（文）‎ 一、单选题 ‎1.已知集合，，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】集合，‎ 所以集合 故选A.‎ ‎2.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知，“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A.‎ ‎3.设向量．若,则实数的值是（ ）‎ A. -4 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵∴＝（3，4+x），‎ ‎∵，∴4+x=12，得x＝8.‎ 故选：D．‎ ‎4.已知复数，则的虚部是（ ）‎ A. B. C. -4 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，所以虚部为.‎ 故选A.‎ ‎5.设为等比数列的前项和，，则（ ）‎ A. 11 B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设公比为，由，得，解得，所以．故选D．‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，当输入的的值为4时，输出的的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】方法一：当x=4,输出y=2,则由y=log2x输出，需要x>4，本题选择B选项.‎ 方法二：若空白判断框中的条件x>3，输入x=4，满足4>3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，‎ 若空白判断框中的条件x>4,输入x=4,满足4=4,不满足x>3,输出y=y=log24=2，故B正确；‎ 若空白判断框中的条件x⩽4，输入x=4，满足4=4，满足x⩽4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，‎ 若空白判断框中的条件x⩽5，输入x=4，满足4⩽5，满足x⩽5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，‎ 本题选择B选项.‎ ‎7.已知定义在R上的函数满足：(1) (2)当，则有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件可知，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎,‎ 所以.故选B.‎ ‎8.若某多面体的三视图（单位：）如图（1）所示，且此多面体的体积，则( )‎ A. 9 B. 3 C. 6 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，几何体为三棱锥，高为2，底边长为a，底面高为2，‎ 顶点在底面上的射影是等腰三角形的顶点，‎ 所以V=×a××2×2=6，‎ 解得a=9．‎ 故选A．‎ ‎9.已知函数，将的图象向右平移个单位，所得函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得=,则,由图知,则,由,得,解得的值为,故选A.‎ ‎10.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数取值范围　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】正实数 满足则 =4，‎ 当且仅当，取得最小值4． 由x有解，可得 解得或． 故选B ．‎ ‎11.直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，所以，解得，故选D.‎ ‎12.已知函数 的零点分别为,则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据分别是函数分别与 图象交点横坐标,可知选C.‎ 二、填空题 ‎13.若实数，满足，则的最小值是_____________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】作出实数x，y满足条件表示的平面区域，‎ 得到如图的阴影，‎ 设z＝x﹣y，将直线l：z＝x﹣y进行平移，‎ 当l经过点A（0，1）时，目标函数z达到最小值 ‎∴z最小值＝﹣1‎ 故答案为-1．‎ ‎14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且有 ___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由.‎ 得 所以，即，‎ 又由正弦定理可知，‎ 所以，‎ 从而，‎ 又因为，所以．‎ ‎15.如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则：得直线和所成角的余弦值等于 ‎16.己知函数，有以下结论：‎ ‎①的图象关于直线轴对称 ②在区间上单调递减 ‎③的一个对称中心是 ④的最大值为 则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】，‎ 根据图像知：‎ ‎①的图象关于直线轴对称，错误 ‎②在区间上单调递减，正确 ‎③的一个对称中心是 ，错误 ‎④的最大值为，正确 故答案为②④.‎ 三、解答题 ‎17.等比数列的各项均为正数，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列的前项和.‎ 解：（1）设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝．‎ 由条件可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝．‎ 故数列{an}的通项公式为an＝．‎ ‎（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－．‎ 故．‎ 所以数列的前n项和为 ‎18.设函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期．‎ ‎（2）求函数的单调递减区间；‎ ‎（3）设为的三个内角，若，，且为锐角，求．‎ 解：函数，‎ 故它的最小正周期为．‎ 对于函数，令，求得 ‎，‎ 可得它的减区间为，．‎ 中，若，．‎ 若，，为锐角，．‎ ‎．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面，平面，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求三棱锥的高．‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，所以，‎ 所以在同一平面内．‎ 而平面，所以，‎ 又平面，所以平面，‎ 又平面，所以.‎ ‎（2）解：三棱锥体积为 ，‎ 四棱锥的体积为 ，‎ 所以三棱锥的体积为.‎ 而，‎ 所以，则，‎ 所以的面积为 .‎ 设三棱锥的高为，则，即，即三棱锥的高为2.‎ ‎20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若D为BC边上一点，且CD＝2DB，b＝3，AD＝，求a.‎ 解：（1）由已知，‎ 由正弦定理有，‎ 整理，‎ 即，‎ 又，所以，；‎ ‎（2）过作交于，，，‎ 由余弦定理，，得，则，‎ 又，，则三角形为直角三角形，.‎ ‎21.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．‎ ‎（1）根据已知条件完成上面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ ‎（2）现在从该地区非体育迷的电视观众中，采用分层抽样方法选取5名观众，求从这5名观众选取两人进行访谈，被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ 解：（1）由频率分布直方图可以知道,在抽取的100人中, ‎ ‎“体育迷”有25人,从而填写列联表如下: ‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 将列联表中的数据代入公式计算, ‎ 得, 因为,‎ 所以没有的可靠性理由认为“体育迷”与性别有关; ‎ ‎（2）根据分层抽样原理,抽取的男生有人,记为A,B; ‎ 女生有人,分别记c、d、e; ‎ 从5人中任取2人,基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种, ‎ 至少有一名女生的事件是Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共9种, ‎ 故所求的概率为 ‎22.已知函数.‎ ‎（I）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.‎ 解：（I）的定义域为.当时，‎ ‎，‎ 曲线在处的切线方程为 ‎（II）当时，等价于 设，则 ‎，‎ ‎（i）当，时，，故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得 ‎.‎ 由和得，故当时，，在 单调递减，因此.‎ 综上，的取值范围是