【数学】2018届一轮复习人教A版等比数列及其前n项和学案 7页

第3讲　等比数列及其前n项和 最新考纲　1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.‎ 知 识 梳 理 ‎1.等比数列的概念 ‎(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.‎ 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数).‎ ‎(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±.‎ ‎2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 ‎(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；‎ 通项公式的推广：an＝amqn－m.‎ ‎(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.‎ ‎(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.‎ ‎(2)等比数列{an}的单调性：‎ 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列； ‎ 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；‎ 当q＝1时，数列{an}是常数列.‎ ‎(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋‎2m，…仍是等比数列，公比为qm.‎ ‎(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数.(　　)‎ ‎(2)公比q是任意一个常数，它可以是任意实数.(　　)‎ ‎(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)‎ ‎(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)‎ ‎(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)‎ 解析　(1)在等比数列中，an≠0.‎ ‎(2)在等比数列中，q≠0.‎ ‎(3)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.‎ ‎(4)当a＝1时，Sn＝na.‎ ‎(5)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×‎ ‎2.(2017·太原模拟)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　)‎ A.2 B‎.4 ‎ C. D.2 解析　在等比数列{an}中，a‎2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝，所以q2＝＝，所以q＝，a1＝＝4.‎ 答案　B ‎3.(2017·湖北省七市考试)公比不为1的等比数列{an}满足a‎5a6＋a‎4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　)‎ A.8 B‎.9 ‎ C.10 D.11‎ 解析　由题意得，‎2a5a6＝18，a‎5a6＝9，∴a1am＝a‎5a6＝9，‎ ‎∴m＝10，故选C.‎ 答案　C ‎4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.‎ 解析　由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，解得n＝6.‎ 答案　6‎ ‎5.(2015·广东卷)若a，b，c三个正数成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b的值为________.‎ 解析　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.‎ 即b2＝(5＋2)(5－2)＝1，又b>0，∴b＝1.‎ 答案　1‎ ‎6.(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.‎ 解析　由解得a1＝1，a2＝3，‎ 当n≥2时，由已知可得：‎ an＋1＝2Sn＋1，①‎ an＝2Sn－1＋1，②‎ ‎①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝‎3a1，‎ ‎∴{an}是以a1＝1为首项，公比q＝3的等比数列.‎ ‎∴S5＝＝121.‎ 答案　1　121‎ 考点一　等比数列基本量的运算 ‎【例1】 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a‎2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a‎1a2…an的最大值为________.‎ 解析　(1)显然公比q≠1，由题意得 解得或(舍去)，‎ ‎∴S5＝＝＝.‎ ‎(2)设等比数列{an}的公比为q，∴ ‎⇒解得 ‎∴a‎1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)‎ ‎＝2－＋.‎ 记t＝－＋＝－(n2－7n)，‎ 结合n∈N*，可知n＝3或4时，t有最大值6.‎ 又y＝2t为增函数.‎ 所以a‎1a2…an的最大值为64.‎ 答案　(1)B　(2)64‎ 规律方法　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.‎ ‎【训练1】 (1)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________.‎ ‎(2)(2016·合肥模拟)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3，‎3a2，a3＋4构成等差数列，则an＝________.‎ 解析　(1)由已知条件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，‎ 即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2.‎ ‎(2)由已知得： 解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，所以q＝2，所以a1＝1. ‎ 故数列{an}的通项为an＝2n－1.‎ 答案　(1)－2　(2)2n－1‎ 考点二　等比数列的性质及应用 ‎【例2】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1＝，a‎3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)‎ A.2 B‎.1 ‎ C. D. ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)‎ A.2 B. C. D.3‎ 解析　(1)由{an}为等比数列，得a‎3a5＝a，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.选C.‎ ‎(2)法一　由等比数列的性质及题意，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.‎ 法二　因为{an}为等比数列，由＝3，设S6＝‎3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a，‎2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝‎4a，解得S9＝‎7a，所以＝＝.‎ 答案　(1)C　(2)B 规律方法　(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，‎ 特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.‎ ‎(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·丽水调研)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋‎2a2a6＋a‎3a7＝________.‎ ‎(2)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为________.‎ 解析　(1)由等比数列性质，得a‎3a7＝a，a‎2a6＝a‎3a5，所以a＋‎2a2a6＋a‎3a7＝a＋‎2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8.‎ ‎(2)∵－1，x，y，z，－3成等比数列，‎ ‎∴y2＝xz＝(－1)×(－3)＝3，且x2＝－y>0，即y<0，‎ ‎∴y＝－，xz＝3，‎ ‎∴xyz＝－3.‎ 答案　(1)8　(2)－3 考点三　等比数列的判定与证明 ‎【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.‎ ‎(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎(1)证明　∵an＋Sn＝n，①‎ ‎∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②‎ ‎②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，‎ ‎∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，‎ ‎∴＝，∴{an－1}是等比数列.‎ 又a1＋a1＝1，∴a1＝，‎ 又cn＝an－1，首项c1＝a1－1，∴c1＝－，公比q＝.‎ ‎∴{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列.‎ ‎(2)解　由(1)可知cn＝·＝－，‎ ‎∴an＝cn＋1＝1－.‎ ‎∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－ ‎＝－＝.‎ 又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝.‎ 规律方法　证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.‎ ‎【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ ‎(1)证明　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，‎ 故λ≠1，a1＝，a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，‎ 由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，‎ 所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 于是an＝.‎ ‎(2)解　由(1)得Sn＝1－.‎ 由S5＝得1－＝，‎ 即＝.解得λ＝－1.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q.‎ ‎2.已知等比数列{an}‎ ‎(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比数列.‎ ‎(2)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.‎ ‎2.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误. ‎