【数学】2019届一轮复习人教A版10-2　排列与组合 18页

‎10.2　排列与组合 ‎ [知识梳理]‎ ‎1．排列与组合的概念 ‎2．排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ‎(2)C＝＝ ‎＝ ‎(1)0！＝1；A＝n!‎ 性质 ‎(2)C＝C；C＝C＋C ‎4．常用结论 ‎(1)①A＝(n－m＋1)A；‎ ‎②A＝A；‎ ‎③A＝nA.‎ ‎(2)①nA＝A－A；‎ ‎②A＝A＋mA.‎ ‎(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n＋1)！－1.‎ ‎(4)①C＝C；‎ ‎②C＝C；‎ ‎③C＝C.‎ ‎(5)①kC＝nC；‎ ‎②C＋C＋C＋…＋C＝C.‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1．概念思辨 ‎(1)从1,2,3，…，9任取两个不同的数，分别填入和式□＋□中求和有多少个不同的结果？此题属于排列问题．(　　)‎ ‎(2)从2,4,6,8任取两个数，分别作对数“log□□”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题．(　　)‎ ‎(3)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题．(　　)‎ ‎(4)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．教材衍化 ‎(1)(选修A2－3P18例3)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(　　)‎ A．720种 B．360种 C．240种 D．120种 答案　C 解析　先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人，因而有A种不同排法，再把两人“松绑”，两人之间有A种排法，因此所求不同排法总数为AA＝240.故选C.‎ ‎(2)(选修A2－3P‎28A组T17)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)‎ A．18 B．‎24 C．30 D．36‎ 答案　C 解析　解法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30种．故选C.‎ 解法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C－C－C＝30.故选C.‎ ‎3．小题热身 ‎(1)某学校要召开期末考试总结表彰会，准备从甲、乙等7名受表彰的学生中选派4人发言，要求甲、乙2名同学至少有1人参加，那么不同的发言种数为(　　)‎ A．840 B．‎720 C．600 D．30‎ 答案　B 解析　由题知可分两种情况．第一种：甲、乙2人中恰有1人参加，方法种数为C·C·A＝480，第二种：甲、乙2人同时参加，方法种数为C·A＝240.根据分类计数原理，不同的发言种数为480＋240＝720.故选B.‎ ‎(2)从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2‎ 个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个．‎ 答案　300‎ 解析　符合条件的四位数的个位必须是0或5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排．按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：‎ ‎①0排在个位能被5整除的四位数有A·(CC)A＝144个；‎ ‎②0排在十、百位，但5必须排在个位有A·A(CC)·A＝48个；‎ ‎③不含0，但5必须排在个位有A· (CC)A＝108个．‎ 由分类加法计数原理得所求四位数共有300个．‎ 题型1　排列问题 　　7位同学站成一排：‎ ‎(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？‎ ‎(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？‎ ‎(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？‎ ‎(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？‎ ‎(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？‎ ‎(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？‎ ‎(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？‎ 解　(1)其中甲站在中间的位置，共有A＝720种不同的排法．‎ ‎(2)甲、乙只能站在两端的排法共有AA＝240种．‎ ‎(3)7位同学站成一排，共有A种不同的排法；‎ 甲排头，共有A种不同的排法；‎ 乙排尾，共有A种不同的排法；‎ 甲排头且乙排尾，共有A种不同的排法；‎ 故共有A－‎2A＋A＝3720种不同的排法．‎ ‎(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AA＝1440种．‎ ‎(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：‎ 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AAA＝960种方法．‎ 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素．‎ 若丙站在排头或排尾有‎2A种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A－‎2A)·A＝960种方法．‎ 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A种方法．‎ 再将其余的5个元素进行全排列共有A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有AAA＝960种方法．‎ ‎(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：‎ 解法一：(间接法)A－A·A＝3600种．‎ 解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A种方法，所以一共有：A·A＝3600种．‎ ‎(7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有＝2520种．‎ ‎[结论探究1]　若将本例结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相邻”，则有多少种不同的排法？‎ 解　先将其余四个同学排好，有A种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有AA＝1440种方法．‎ ‎[结论探究2]　若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？‎ 解　7位同学站成一排，共有A种不同的排法；‎ 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有AA＝720种．‎ 故共有A－AA＝4320种不同的排法．‎ ‎[结论探究3]　(1)若将7人站成两排，前排3人，后排4人，共有多少种不同的排法？‎ ‎(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？‎ 解　(1)站成两排(前3后4)，共有A＝5040种不同的排法．‎ ‎(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法．‎ 方法技巧 ‎1．求解有限制条件排列问题的主要方法 ‎2.解决有限制条件排列问题的策略 ‎(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．‎ ‎(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．‎ 提醒：(1)分类要全，以免遗漏．‎ ‎(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数．‎ ‎(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．‎ 冲关针对训练 ‎(2018·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________‎ 种．‎ 答案　36‎ 解析　记其余两种产品为D，E，将相邻的A，B视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC＝2×6×3＝36种不同的摆法．‎ 题型2　组合问题 ‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 　　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ 解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．‎ ‎(2)从34种可选商品中，选取3种，有C＝5984种．‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种．‎ ‎(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2100种．‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．‎ ‎(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2100＋455＝2555种．‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．‎ ‎(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式 C－C＝6545－455＝6090种．‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．‎ 方法技巧 ‎1．组合问题的常见题型及解题思路 ‎(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等．‎ ‎(2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题．见本例(4)．‎ ‎2．两类带有附加条件的组合问题的解法 ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．见本例(2)，(5)．‎ 冲关针对训练 ‎(2018·武汉模拟)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 答案　D 解析　共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C＋C＋CC＝66(种)．故选D.‎ 题型3　排列组合的综合应用 角度1　排列组合的简单应用 　　有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与 ‎5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？‎ 解　解法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：‎ ‎①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种选法；0可在后两位，有C种方法；最后剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个．‎ ‎②取1不取0，同上分析可得不同的三位数C·22·A个．‎ ‎③0和1都不取，有不同的三位数C·23·A个．‎ 综上所述，共有不同的三位数：‎ CCC·22＋C·22·A＋C·23·A＝432个．‎ 解法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C·23·A个，其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C·23·A－C·22·A＝432个．‎ 角度2　分组分配问题 　　国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．‎ 答案　90‎ 解析　先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种分派方法．‎ 方法技巧 ‎1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路 ‎(1)根据附加条件将要完成事件先分类．‎ ‎(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列．‎ ‎(3)由分类加法计数原理计算总数，见角度1典例．‎ ‎2．分组、分配问题的求解策略 ‎(1)对不同元素的分配问题．‎ ‎①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．‎ ‎②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．见角度2典例．‎ ‎③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．‎ ‎(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．‎ 冲关针对训练 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)‎ A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 答案　A 解析　2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有C种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小组安排到甲、乙两地，有A种方案，故不同的安排方案共有CA＝12种，故选A.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4‎ 项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 答案　D 解析　由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．‎ 故选D.‎ ‎2．(2018·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有(　　)‎ A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 答案　B 解析　A(CC＋CC)＝36(种)．故选B.‎ ‎3．(2017·东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则坐法有(　　)‎ A．10种 B．16种 C．20种 D．24种 答案　C 解析　一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人的两旁均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20(种)坐法．故选C.‎ ‎4．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)‎ 答案　660‎ 解析　只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理，知共有CCA＝480(种)选法．‎ 有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理，知共有CA＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．‎ ‎ [基础送分 提速狂刷练]‎ 一、选择题 ‎1．(2018·泉州模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)‎ A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 答案　C 解析　分两类，甲乙在一路口，其余3人中也有两人在一路口，则有CA种．当有3人在一路口时只能是甲、乙和其余三人中一个在一起，则有CA，所以共有CA＋CA＝36种，故选C.‎ ‎2．某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为(　　)‎ A．600 B．‎288 C．480 D．504‎ 答案　D 解析　对六节课进行全排列有A种方法，体育课排在第一节课有A种方法，数学课排在第四节课也有A种方法，体育课排在第一节课且数学课排在第四节课有A种方法，由排除法得这天课表的不同排法种数为A－‎2A＋A＝504.故选D.‎ ‎3．某班级举办的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生、2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为(　　)‎ A．90 B．‎60 C．48 D．36‎ 答案　B 解析　先排3位女生，3位女生间及两端有4个空，从4个空中选2个排男生，共有AA＝72种排法．若女生甲排在第一个，则3位女生间及一端有3个空，从3个空中选2个排男生，有AA＝12种排法，所以满足条件的排法种数为72－12＝60.故选B.‎ ‎4．(2018·山西质量监测)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(　　)‎ A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 答案　B 解析　由题意知，不同的座次有AA＝48(种)，故选B.‎ ‎5．(2018·福建福州八中模拟)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有(　　)‎ A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 答案　B 解析　甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有AA－CAA＝24(种)．故选B.‎ ‎6．(2017·黔江模拟)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24 B．‎18 C．12 D．6‎ 答案　B 解析　根据所选偶数为0和2分类讨论求解．‎ ‎①当选数字0时，再从1,3,5中取2个数字排在个位与百位．∴排成的三位奇数有CA＝6个．‎ ‎②当选数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C种方法．然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列．∴排成的三位奇数有CCA＝12个．‎ ‎∴由分类加法计数原理，共有18个符合条件的三位奇数．故选B.‎ ‎7．(2018·河北衡水模拟)某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车．每辆车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有(　　)‎ A．24种 B．18种 C．48种 D．36种 答案　A 解析　若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有CCC＝12种，若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则有2名同学来自同一个年级，另外2名分别来自不同年级，有CCC＝12种，所以共有24种乘坐方式，故选A.‎ ‎8．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有(　　)‎ A．34种 B．48种 C．96种 D．144种 答案　C 解析　由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A排列，有A＝2种结果．∵程序B和C在实施时必须相邻，∴把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有AA＝48种结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，故选C.‎ ‎9．(2018·福建漳州八校联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　)‎ A．540 B．‎480 C．360 D．200‎ 答案　D 解析　由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字 ‎1奇1偶，有CCA＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C×CCA＝200(个)．故选D.‎ ‎10．(2018·赣州摸底)甲、乙、丙3名教师安排在‎10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人，其中甲不在‎10月1日值班且丙不在‎10月5日值班，则不同的安排方法有(　　)‎ A．36种 B．39种 C．42种 D．45种 答案　B 解析　当甲安排在‎10月2日值班时，则丙可以安排在1,3,4日中某一天，乙可以在剩余的3日中选一天，有CC＝9种排法，同理可得甲安排在‎10月3日，4日中的一天值班时，有CC＋CC＝18种排法；当甲安排在‎10月5日值班时，有A＝12种排法，所以不同的安排方法有9＋18＋12＝39种，故选B.‎ 二、填空题 ‎11．(2017·江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答)‎ 答案　20‎ 解析　从5人中任选3人有C种，将3人位置全部进行调整，有C·C·C种，故有N＝C·C·C·C＝20种调整方案．‎ ‎12．(2018·江西宜春模拟)将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．‎ 答案　150‎ 解析　标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组，共有C＋＝25种分法，再分配到三个不同的盒子中，共有25·A＝150种放法．‎ ‎13．(2017·河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有________种．‎ 答案　720‎ 解析　由题意知2,3,4,5的颜色都不相同，先涂1，有6种方法，再涂2,3,4,5，有A种方法，故一共有6·A＝720种．‎ ‎14．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________．‎ 答案　24‎ 解析　第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A＝24种．‎ 三、解答题 ‎15．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，求甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数？‎ 解　由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．‎ 解法一：(直接法)甲、乙两人均入选，有CC种选法，甲、乙两人只有1人入选，有CC种选法．‎ ‎∴由分类加法计数原理，共有CC＋CC＝49种选法．‎ 解法二：(间接法)从9人中选3人有C种选法，其中甲、乙均不入选有C种选法．‎ ‎∴满足条件的选派方法有C－C＝84－35＝49种．‎ ‎16．(2018·保定调研)已知集合M＝{1,2,3,4,5,6}，集合A，B，C为M的非空子集，若∀x∈A，y∈B，z∈C，x