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  • 2021-06-16 发布

【数学】2021届一轮复习人教版(文)第7章第2节 一元二次不等式及其解法学案

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第二节 一元二次不等式及其解法 ‎[最新考纲] 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.‎ ‎1.一元二次不等式 把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式 ,称为一元二次不等式,其一般形式为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0).‎ ‎2.一元二次不等式的解法步骤 ‎(1)将不等式化为右边为零,左边为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).‎ ‎(2)求出相应的一元二次方程的根.‎ ‎(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.‎ ‎3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0‎ ‎(a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x10‎ ‎(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ ‎{x|x≠x1}‎ R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ‎{x|x10的解集是,则不等式x2-bx-a≥0的解集是(  )‎ A.{x|20的解集是,‎ ‎∴ax2-bx-1=0的解是x1=-和x2=-,且a<0,‎ ‎∴ 解得 则不等式x2-bx-a≥0即为x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3.]‎ ‎(2)[解] ①Δ=a2-4.‎ a.当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式无解.‎ b.当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,方程x2+ax+1=0的两根为x1=,x2=,‎ 则原不等式的解集为 .‎ 综上所述,当-2≤a≤2时,原不等式无解.‎ 当a>2或a<-2时,原不等式的解集为 .‎ ‎②若a=0,原不等式等价于-x+1<0,‎ 解得x>1.‎ 若a<0,原不等式等价于(x-1)>0,‎ 解得x<或x>1.‎ 若a>0,原不等式等价于(x-1)<0.‎ a.当a=1时,=1,(x-1)<0无解;‎ b.当a>1时,<1,解(x-1)<0,得<x<1;‎ c.当0<a<1时,>1,解(x-1)<0,得1<x<.‎ 综上所述,当a<0时,解集为;‎ 当a=0时,解集为{x|x>1};‎ 当0<a<1时,解集为;‎ 当a=1时,解集为∅;‎ 当a>1时,解集为.‎ ‎ 当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时,可先求方程的两根,再讨论两根的大小,从而写出解集.‎ ‎ 1.若不等式ax2+bx+2<0的解集为,则的值为(  )‎ A.    B.    C.-    D.- A [由题意知方程ax2+bx+2=0的两根为-和,∴-=-+=-,则=1-=1-=.]‎ ‎2.解关于x的不等式12x2-ax>a2(a∈R).‎ ‎[解] 原不等式可化为12x2-ax-a2>0,‎ 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,‎ 解得x1=-,x2=.‎ 当a>0时,不等式的解集为∪;当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);当a<0时,不等式的解集为∪.‎ 考点3 一元二次不等式恒成立问题(多维探究)‎ ‎ 一元二次不等式恒成立问题的解法 ‎1.函数法 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).‎ ‎(1)f(x)>0在x∈R上恒成立⇔a>0且Δ<0;‎ ‎(2)f(x)<0在x∈R上恒成立⇔a<0且Δ<0;‎ ‎(3)当a>0时,f(x)>0在x∈[α,β]上恒成立⇔或或 f(x)<0在x∈[α,β]上恒成立⇔ ‎(4)当a<0时,f(x)>0在x∈[α,β]上恒成立⇔f(x)<0在x∈[α,β]上恒成立⇔或或 ‎2.最值法 对于含参数的不等式恒成立问题,常通过分离参数,把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题.‎ a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max,‎ a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.‎ ‎ 在R上的恒成立问题 ‎ 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,2]       B.[-2,2]‎ C.(-2,2] D.(-∞,-2)‎ C [当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,对一切x∈R恒成立.‎ 当a≠2时,则 即解得-2<a<2.‎ 所以实数a的取值范围是(-2,2].]‎ ‎ 解答本题易忽视二次项系数等于零的情况,导致错误答案.‎ ‎[教师备选例题]‎ 已知函数f(x)=的定义域为R.‎ ‎(1)求a的取值范围;‎ ‎(2)若函数f(x)的最小值为,解关于x的不等式x2-x-a2-a<0.‎ ‎[解] (1)因为函数f(x)=的定义域为R,所以ax2+2ax+1≥0恒成立,‎ 当a=0时,1≥0恒成立.‎ 当a≠0时,则有 解得0<a≤1,‎ 综上可知,a的取值范围是[0,1].‎ ‎(2)因为f(x)= ‎=,‎ 因为a>0,所以当x=-1时,f(x)min=,‎ 由题意得,=,所以a=,‎ 所以不等式x2-x-a2-a<0可化为x2-x-<0.‎ 解得-<x<,‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎ 在给定区间上的恒成立问题 ‎ (1)[一题多解]若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-3] B.(-∞,0]‎ C.[1,+∞) D.(-∞,1]‎ ‎(2)已知函数f(x)=x2-2ax+1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B.[-1,1]‎ C.(-∞,1] D. ‎(1)A (2)C [(1)法一(函数法):令f(x)=x2-2x+a,则由题意,‎ 得 解得a≤-3,故选A.‎ 法二(最值法):当x∈[-1,2]时,不等式x2-2x+a≤0恒成立等价于a≤-x2+2x恒成立,则由题意,得a≤(-x2+2x)min(x∈[-1,2]).而-x2+2x=-(x-1)2+1,则当x=-1时,(-x2+2x)min=-3,所以a≤-3,故选A.‎ ‎(2)f(x)=x2-2ax+1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立,即2a≤x+在x∈(0,2]上恒成立.因为x+≥2,当且仅当x=1时取最小值2,所以2a≤2,即a≤1.故选C.]‎ ‎ 本例T(2)若用函数法求解有三种情况,较复杂.‎ ‎ 1.若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(  )‎ A.(-3,0) B.[-3,0)‎ C.[-3,0] D.(-3,0]‎ D [当k=0时,显然成立;‎ 当k≠0时,即一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立.‎ 则 解得-3<k<0.‎ 综上,满足不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3,0].故选D.]‎ ‎2.若不等式x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]都成立,则实数m的取值范围是 .‎  [由题意得,函数f(x)=x2+mx-1在[m,m+1]上的最大值小于0,又抛物线f(x)=x2+mx-1开口向上,‎ 所以只需 即解得-<m<0.]‎ 考点4 一元二次不等式的应用 ‎ 求解不等式应用题的四个步骤 ‎(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系;‎ ‎(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型;‎ ‎(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义;‎ ‎(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.‎ ‎ 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100·元.‎ ‎(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围;‎ ‎(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.‎ ‎[解] (1)根据题意,‎ 得200≥3 000,‎ 整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.‎ 即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是[3,10].‎ ‎(2)设利润为y元,则 y=·100=9×104 ‎=9×104,‎ 故当x=6时,ymax=457 500元.‎ 即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大,最大利润为457 500元.‎ ‎ 解答本题第(2)问时,把y看作的二次函数是解题的关键.‎ ‎ 汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.‎ 在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,问:甲、乙两车有无超速现象?‎ ‎[解] 由题意知,对于甲车,‎ 有0.1x+0.01x2>12,‎ 即x2+10x-1 200>0,‎ 解得x>30或x<-40(不合实际意义,舍去),‎ 这表明甲车的车速超过30 km/h.‎ 但根据题意刹车距离略超过12 m,‎ 由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.‎ 对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,‎ 即x2+10x-2 000>0,‎ 解得x>40或x<-50(不合实际意义,舍去),‎ 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.‎

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