2020届二轮复习相关性最小二乘估计统计案例课件（40张）（全国通用） 40页

知 识 梳 理 1. 变量间的相关关系 (1) 常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是 ___________ ；与函数关系不同， ___________ 是一种非确定性关系 . (2) 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为 ______ ，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为 ______ . 相关关系 相关关系 正相关 负相关 2. 回归分析 对具有 __________ 的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析 . 其基本步骤是： ( ⅰ ) 画散点图； ( ⅱ ) 求 _____________ ； ( ⅲ ) 用回归直线方程作预报 . (1) 回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 _________ 附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线 . 相关关系 回归直线方程 一条直线 中心 (3) 相关系数 当 r ＞ 0 时，表明两个变量 ； 当 r ＜ 0 时，表明两个变量 ． r 的绝对值越接近于 1 ，表明两个变量的线性相关性 ． r 的绝对值越接近于 0 ，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常 | r | 大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性． 正相关 负相关 越强 B A 　 B 1 B 2 总计 A 1 a b a ＋ b A 2 c d c ＋ d 总计 a ＋ c b ＋ d a ＋ b ＋ c ＋ d a ＋ b ＋ c ＋ d 有关联 [ 微点提醒 ] 基 础 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) “ 名师出高徒 ” 可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系 .( 　　 ) (3) 因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验 .( 　　 ) (4) 事件 X ， Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的 χ 2 值越大 .( 　　 ) 答案 　 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 2. ( 选修 1 － 2P21 问题提出 改编 ) 为调查中学生近视情况，测得某校男生 150 名中有 80 名近视，在 140 名女生中有 70 名近视 . 在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力 ( 　　 ) A. 回归分析 B. 均值与方差 C. 独立性检验 D. 概率 解析　 “ 近视 ” 与 “ 性别 ” 是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断 . 答案　 C 3. ( 选修 1 － 2P7 讲解改编 ) 两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关 系 数 r 如下，其中拟合效果最好的模型是 ( 　　 ) A. 模型 1 的相关 系 数 r 为 0.98 B. 模型 2 的相关 系 数 r 为 0.80 C. 模型 3 的相关 系 数 r 为 0.50 D. 模型 4 的相关 系 数 r 为 0.25 解析 　在两个变量 y 与 x 的回归模型中，它们的相关 系 数 r 越近于 1 ，模拟效果越好，在四个选项中 A 的相关 系 数最大，所以拟合效果最好的是模型 1. 答案 　 A 4. (2019· 焦作模拟 ) 已知变量 x 和 y 的统计数据如下表： x 3 4 5 6 7 y 2.5 3 4 4.5 6 答案　 C 5. (2015· 全国 Ⅱ 卷 ) 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量 ( 单位：万吨 ) 柱形图，以下结论不正确的是 ( 　　 ) A. 逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 解析　 对于 A 选项，由图知从 2007 年到 2008 年二氧化硫排放量下降得最多，故 A 正确 . 对于 B 选项，由图知，由 2006 年到 2007 年矩形高度明显下降，因此 B 正确 . 对于 C 选项，由图知从 2006 年以后除 2011 年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以 C 正确 . 由图知 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关， D 不正确 . 答案　 D 6. (2019· 丹东教学质量监测 ) 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度 ( 支持与不支持 ) 的关系，运用 2 × 2 列联表进行独立性检验，经计算 χ 2 ＝ 6.705 ，则所得到的统计学结论是：有 ________ 的把握认为 “ 学生性别与支持该活动有关系 ” ( 　　 ) A.99% B.95% C.1% D.5% 解析　 因为 6.705>6.635 ，因此有 99% 的把握认为 “ 学生性别与支持该活动有关系 ” ，故选 A. 答案　 A 考点一　相关关系的判断 【例 1 】 (1) 观察下列各图形， 其中两个变量 x ， y 具有相关关系的图是 ( 　　 ) A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ (2) 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A ， B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表：   甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现 A ， B 两变量有更强的线性相关性 ( 　　 ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 解析　 (1) 由散点图知 ③ 中的点都分布在一条直线附近 . ④ 中的点都分布在一条曲线附近，所以 ③④ 中的两个变量具有相关关系 . (2) 在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于 1 ，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了 A ， B 两变量有更强的线性相关性 . 答案　 (1)C 　 (2)D 【训练 1 】 (1) 已知变量 x 和 y 满足关系 y ＝－ 0.1 x ＋ 1 ，变量 y 与 z 正相关 . 下列结论中正确的是 ( 　　 ) A. x 与 y 正相关， x 与 z 负相关 B. x 与 y 正相关， x 与 z 正相关 C. x 与 y 负相关， x 与 z 负相关 D. x 与 y 负相关， x 与 z 正相关 (2) x 和 y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为 ________. 解析　 (1) 由 y ＝－ 0.1 x ＋ 1 ，知 x 与 y 负相关，即 y 随 x 的增大而减小，又 y 与 z 正相关，所以 z 随 y 的增大而增大，减小而减小，所以 z 随 x 的增大而减小， x 与 z 负相关 . 答案　 (1)C 　 (2) ①② 考点二　线性回归方程及应用 【例 2 】 (2018· 西安 调研 ) 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款 ( 年底余额 ) ，如下表 1 ： 年份 x 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款 y ( 千亿元 ) 5 6 7 8 10 表 1 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理， t ＝ x － 2 012 ， z ＝ y － 5 得到下表 2 ： 时间代号 t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 表 2 (1) 求 z 关于 t 的线性回归方程； (2) 通过 (1) 中的方程，求出 y 关于 x 的回归方程； (3) 用所求回归方程预测到 2022 年年底，该地储蓄存款额可达多少？ 所以预测到 2022 年年底，该地储蓄存款额可达 15.6 千亿元 . 【训练 2 】 (2018· 全国 Ⅱ 卷 ) 如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y ( 单位：亿元 ) 的折线图 . (2) 利用模型 ② 得到的预测值更可靠 . 理由如下： ( ⅰ ) 从折线图可以看出， 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y ＝－ 30.4 ＋ 13.5 t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型 ① 不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势 .2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势， ( ⅱ ) 从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型 ① 得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型 ② 得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型 ② 得到的预测值更可靠 . 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 . 考点三　独立性检验 【例 3 】 (2019· 湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考 ) 环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数 PM2.5 浓度，制定了空气质量标准： 空气污染指数 (0 ， 50] (50 ， 100] (100 ， 150] (150 ， 200] (200 ， 300] (300 ，＋ ∞ ) 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从 2010 年开始考察了连续六年 11 月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从 2016 年 11 月 1 日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行 ( 尾号是字母的，前 13 个视为单号，后 13 个视为双号 ). 王先生有一辆车，若 11 月份被限行的概率为 0.05. (1) 求频率分布直方图中 m 的值； (2) 若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取 6 天，再从这 6 天中随机抽取 2 天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率； (3) 该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的 11 月份共 60 天的空气质量进行统计，其结果如下表： 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 11 27 11 7 3 1 根据限行前 6 年 180 天与限行后 60 天的数据，计算并填写 2 × 2 列联表，并回答是否有 90% 的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关 .   空气质量优、良 空气质量污染 总计 限行前       限行后       总计       解　 (1) 因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为 0.05 ， 所以空气重度污染和严重污染的概率应为 0.05 × 2 ＝ 0.1 ， 由频率分布直方图可知 (0.004 ＋ 0.006 ＋ 0.005 ＋ m ) × 50 ＋ 0.1 ＝ 1 ，解得 m ＝ 0.003. (2) 因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为 0.3 ∶ 0.15 ＝ 2 ∶ 1 ， 按分层抽样的方法从中抽取 6 天，则空气质量良好的天气被抽取的有 4 天，记作 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ，空气中度污染的天气被抽取的有 2 天，记作 B 1 ， B 2 ， 记事件 A 为 “ 至少有一天空气质量是中度污染 ” ，则事件 A 所包含的事件有 ( A 1 ， B 1 ) ， ( A 1 ， B 2 ) ， ( A 2 ， B 1 ) ， ( A 2 ， B 2 ) ， ( A 3 ， B 1 ) ， ( A 3 ， B 2 ) ， ( A 4 ， B 1 ) ， ( A 4 ， B 2 ) ， ( B 1 ， B 2 ) ，共 9 个， 从这 6 天中随机抽取 2 天，所包含的基本事件有 ( A 1 ， A 2 ) ， ( A 1 ， A 3 ) ， ( A 1 ， A 4 ) ， ( A 1 ， B 1 ) ， ( A 1 ， B 2 ) ， ( A 2 ， A 3 ) ， ( A 2 ， A 4 ) ， ( A 2 ， B 1 ) ， ( A 2 ， B 2 ) ， ( A 3 ， A 4 ) ， ( A 3 ， B 1 ) ， ( A 3 ， B 2 ) ， ( A 4 ， B 1 ) ， ( A 4 ， B 2 ) ， ( B 1 ， B 2 ) ，共 15 个， (3)2 × 2 列联表如下：   空气质量优、良 空气质量污染 总计 限行前 90 90 180 限行后 38 22 60 总计 128 112 240 所以有 90% 的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关 . 【训练 3 】 为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取 50 名学生，得到如下 2 × 2 列联表：   理科 文科 男 13 10 女 7 20 解析 　 χ 2 ≈ 4.844>3.841 ， 则有 95% 的把握认为 是否选修文科与性别之间有关系 . 答案 　 9 5%