四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期第一次在线月考数学（理）试题 10页

‎2020年春四川省棠湖中学高二第一学月考试 理科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．直线的倾斜角是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是 ‎ A．所有奇数的立方不是奇数 B．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C．存在一个奇数，它的立方是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是奇数 ‎3．椭圆的焦距为 ‎ A．5 B．‎3 ‎C．4 D．8‎ ‎4．命题“，”的否定是 ‎ A． ， B．，‎ C．， D．，‎ ‎5．直线被圆截得的弦长为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知直线和平面内的两条直线，则“”是“且”的 ‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．已知直线与平面，，则下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎8．已知分别为直线与上的两个动点，则线段的长度的最小值为 A． B．‎1 ‎C． D．2‎ ‎9．不等式组表示的平面区域的面积为 A． B． C． D．‎ ‎10．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下四种说法中正确的个数为 ‎ ‎ ‎①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 ②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数 ‎③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎11．已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎12．已知是椭圆上两个不同点，且满足，则的最大值为 ‎ A． B．‎4 ‎C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________.‎ ‎14．求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程_____．‎ ‎15．已知三棱锥中，，，两两相互垂直，且，，，则三棱锥外接球的表面积为________.‎ ‎16．已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，直线：与抛物线交于，两点，点在第一象限，若，则的值为______.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（ 10分）已知，命题：，命题：.‎ ‎（I）当时，若命题为真，求的取值范围；‎ ‎（II）若是的充分条件，求的取值范围.‎ ‎18．（12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.‎ ‎（I）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（II）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（III）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入x（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益y（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎7‎ 表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程.‎ 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.‎ ‎19．（12分）已知抛物线焦点为，准线与轴的交点为.‎ ‎（Ⅰ）抛物线上的点P满足，求点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设点是抛物线上的动点，点是的中点，，求点的轨迹方程.‎ ‎20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．‎ ‎（Ⅰ）若直线l：x+y＝0与圆C交于A，B两点，求弦AB的长；‎ ‎（Ⅱ）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．‎ ‎21．（12分）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系中，四个点，，，中有3个点在椭圆：上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于、两点，设直线，的斜率分别为，，证明：存在常数使得，并求出的值.‎ ‎2020年春四川省棠湖中学高二第一学月考试 理科数学试题参考答案 ‎1．C 2．C 3．D 4．C 5．C 6．C 7．D 8．B 9．A 10．D 11．D 12．C ‎13． 14．或 15． 16．‎ ‎17．（1）由题意，，即命题：，‎ 当时，命题：，即：，‎ 若为真，则都是真命题，则；‎ ‎（2）由题意，：，：，‎ 若是的充分条件，则，‎ 即，解得.故的取值范围是.‎ ‎18．（1）设各小长方形的宽度为m，可得：‎ ‎，.‎ ‎（2）可得各组中点从左向右依次是1，3，5，7，9，11，‎ 各组中点对应的频率从左向右依次是0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，‎ 平均值.‎ ‎（3）得空白栏为5，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 根据公式可得，，‎ 故回归直线方程为.‎ ‎19．解:（Ⅰ）设点P的坐标为由已知可得，‎ ‎， ‎ 代入抛物线方程得，‎ 所以点的坐标为或 ‎（Ⅱ）设，，，由已知，‎ 得：， 又因为点是FA的中点得，，， ‎ 点在抛物线上，即，所以点C的轨迹方程为：‎ ‎20．（1）圆C可化为（x+1）2+（y﹣2）2＝2，则圆心C（﹣1，2），‎ 所以C到直线l的距离d，‎ 则弦长AB＝2；‎ ‎（2）因为切线PM与半径CM垂直，所以|PM|2＝|PC|2﹣|CM|2，‎ 又因为|PM|＝|PO|，则|PO|2＝|PC|2﹣|CM|2，即（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2＝x12+y12，‎ 整理得2x1﹣4y1+3＝0，所以点P的运动轨迹为直线2x﹣4y+3＝0，‎ 所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值．‎ 而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3＝0的距离d，‎ 过点且垂直于直线2x﹣4y+3＝0的方程为：‎ 所以由，得，故所求点P的坐标为P（）．‎ ‎21．（1）证明：因为在梯形中，，为的中点，‎ 所以，‎ 所以四边形为平行四边形，因为线段与交于点，‎ 所以为线段的中点，所以中，‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）解：平行四边形中，，‎ 所以四边形是菱形，，垂足为，‎ 所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以是二面角的平面角，‎ 因为二面角为直二面角，‎ 所以，即.‎ 可以如图建立空间直角坐标系，其中，‎ 因为在图1菱形中，，所以，‎ 所以，‎ 所以，，设为平面的法向量，‎ 因为，所以，即，取，得到，所以；‎ 线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为，设，‎ 因为，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.‎ ‎22．（1）∵，关于轴对称.‎ ‎∴这2个点在椭圆上，即①当在椭圆上时，②‎ 由①②解得，.当在椭圆上时，③‎ 由①③解得，.又∴，∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，则.‎ 因为直线的斜率，又.所以直线的斜率.‎ 设直线的方程为，由题意知，.‎ 由可得，所以，.由题意知，所以，所以直线的方程为，令，得，即，可得，‎ 令，得，即，可得，‎ 所以，即，因此，存在常数使得结论成立.‎