江苏省“丹靖沭”优秀学生培育联谊校2020届高三上学期10月份联考数学试题 21页

‎2019～2020学年度丹靖沭10月份联考 数学试题 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.‎ ‎1.已知集合，，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集的定义即可写出答案。‎ ‎【详解】，，‎ 故填 ‎【点睛】本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题。‎ ‎2.复数（是虚数单位）的实部为____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 复数,所以实部为2.‎ 点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为.‎ ‎3.函数的定义域为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，解得，所以定义域为.‎ ‎4.某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取____名血型为AB的学生．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 由题意，‎ 故 AB 型血抽：人.‎ ‎5.下图是一个算法流程图，则输出的的值为____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 第一次循环后S=400,i=1;‎ 第二次循环后S=800,i=2;‎ 第三次循环后S=1200,i=3;‎ 第四次循环后S=1600>1200,输出i=3.‎ 点睛:本题考查的是算法与流程图.对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎6.抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 每枚硬币正面向上的概率都等于,故恰好有两枚正面向上的概率为.‎ ‎7.设命题；命题，那么是的______条件.（选填“充分不必要”、“充要”、“既不充分也不必要”）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得到命题中的范围，根据集合的包含关系可得结果.‎ ‎【详解】由得：或，可知是或的真子集 是的充分不必要条件 本题正确结果：充分不必要 ‎【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，关键是能够明确充分必要条件与集合包含关系之间的关系.‎ ‎8.用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆锥的几何特征，我们可得用半径为cm，面积为 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可示出答案．‎ ‎【详解】设铁皮扇形的半径和弧长分别为，圆锥形容器的高和底面半径分别为，‎ 则由题意得R=，由 得；‎ 由得；‎ 由得；‎ 圆锥的体积 所以该容器最多盛水 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、弧长公式以及圆锥的体积公式，属于基础题.‎ ‎9.在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为2，则实数的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得双曲线焦点在x轴上，由双曲线的离心率公式可得e2＝＝4，解得m的值即可．‎ ‎【详解】双曲线的方程为，分析可得双曲线的焦点在x轴上，其离心率为2，则有e2＝=4，解得m＝；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查由双曲线的离心率求双曲线的方程，注意先确定双曲线焦点的位置，属于基础题.‎ ‎10.已知列和，其中，，项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的第项等于的第项与可知道，再依次令，化简即可得出答案。‎ ‎【详解】的第项等于的第项即说明 ‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 所以 即 故填2‎ ‎【点睛】本题综合考查数列的概念与对数的运算，根据题意写出关系式，是解本题的关键，属于基础题 ‎11.已知，则______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，得，‎ 即 整理得：，即，‎ 而，故，故答案为.‎ ‎12.若，的最小值为，则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分段讨论，当时，函数最小值为，可知道；当时，求出在上单调递减，在单调递增，根据题意有，解出不等式，再取交集，即可得出答案。‎ ‎【详解】当时，若，根据函数，在上单调递减，在单调递增，与的最小值为矛盾，‎ 所以 ，‎ 当时，，，在上单调递减，在单调递增，，解得，‎ 综上所述： ‎ 故填 ‎【点睛】本题考查分段函数的最值问题，根据分段函数的最小值点，求参数的取值范围，解决关于分段函数的问题，分段讨论即可。属于中档题。‎ ‎13.在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中实数，，成等差数列，若点在直线上的射影为，则线段的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，，成等差数列，可知道直线过定点，又，故点在以为直径的圆上，即可写出圆的标准方程，而线段的取值范围即为圆上动点到的取值范围，即可求出答案。‎ ‎【详解】因为直线，实数，，成等差数列，‎ 所以，化简得 令，即直线过定点,‎ 又因为 ，‎ 所以点在以为直径的圆上，其圆心为中点 ，半径 ‎ 圆的方程为 ，由 ‎ 所以，‎ 所以线段的取值范围是 ‎【点睛】本题考查等差中项的应用，直线过定点，点与圆的位置关系，解本题的关键在于求出动点的轨迹方程，属于中档题。‎ ‎14.设，若不等式对于所有满足题设的，，均成立，则实数的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换底公式可化简为，观察分母的结构，前两者的倒数和为后者的分母，即可用算数平均数 调和平均数，即可得出的最大值。‎ ‎【详解】因为 所以 ‎ 即 又因为算数平均数 调和平均数，即 ‎ 即，‎ 当且仅当即，即，，成等比数列时取等号，‎ 故的最大值为4‎ 故填4‎ ‎【点睛】本题考查对数的换底公式，对数的基本运算，基本不等式的应用，属于中档题。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.设的内角，，所对边分别为，，，向量，，且 ‎(1)求的大小；‎ ‎(2)若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知，再利用正弦定理将边的关系化为角的关系，再化简即可得出答案；‎ ‎（2）根据与可计算出，则可求出，再代入公式即可求出答案。‎ ‎【详解】解：(1)，‎ 即，‎ 由正弦定理得，‎ 在中，，‎ ‎.‎ 若，则，矛盾 若，则 在中，，‎ ‎(2)由(1)知，‎ ‎，‎ 解得(负值已舍)‎ 又在中，‎ 故，‎ ‎，‎ 在△ABC中，‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，解三角形，属于基础题，解本题的关键在于正确利用题干所给信息进行化简求值，需要注意的是，解题过程中有些解是要舍去的。‎ ‎16.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，且，，，‎ 分别是，的中点，.‎ ‎ (1)求证：平面；‎ ‎(2)求证：平面平面． ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连，，根据，，分别是，，的中点，可知道四边形为平行四边形，即可说明平面 ‎（2）要证明平面平面．由题意已知，即只需证明,根据矩形中，为中点，，，即可说明，即平面平面．‎ ‎【详解】证明：(1)取中点，连，，‎ ‎，分别是，的中点 ‎，且 又为中点 ‎，且 ‎，‎ 四边形为平行四边形 ‎，又平面，平面 平面 ‎(2)设 由及为中点 得 又，‎ ‎，‎ 又为公共角 即又，‎ 平面，又平面 平面平面 ‎【点睛】本题考查线面平行，面面垂直证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理： ；②利用面面平行的性质定理： 。要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面。属于基础题。‎ ‎17.如图，已知AB是一幢6层的写字楼，每层高均为3m，在AB正前方36m处有一建筑物CD，从楼顶A处测得建筑物CD的张角为．‎ 求建筑物CD的高度；‎ 一摄影爱好者欲在写字楼AB的某层拍摄建筑物已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果不计人的高度？‎ ‎【答案】(1)30米;(2) 当时，张角最大，拍摄效果最佳.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）先作于，构造直角三角形，然后运用两角差的正切公式求出，再求出；（2）先依据题设求出，，然后建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解：‎ 解：（1）如图，作于，则.‎ 所以，.‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以.‎ 答：建筑物的高度为30米.‎ ‎（2）设在第层处拍摄效果最佳，则摄影高度为米（如图）‎ ‎（）.‎ 作于，则，.‎ ‎，，‎ ‎（当时取等号）.‎ 因为函数在上是单调增函数，‎ 所以当时，张角最大，拍摄效果最佳.‎ 答：该人在6层拍摄时效果最好.‎ ‎18.如图，已知椭圆的左顶点，且点在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点。过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若为等腰三角形，求点的坐标；‎ ‎（3）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）（3） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意得到关于的方程组，求解方程组可得椭圆的标准方程：；‎ ‎(2)由题意可得点在轴下方据此分类讨论有：，联立直线的方程与椭圆方程可得；‎ ‎(3)设直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，可得 利用几何关系计算可得 ，利用点在椭圆上得到关于实数k的方程，解方程有： .‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得，解得 ‎∴椭圆的标准方程：‎ ‎（2）∵为等腰三角形，且∴点在轴下方 ‎ 若，则；‎ ‎ 若，则，∴；‎ ‎ 若，则，∴；‎ ‎∴‎ ‎∴直线的方程，由得或 ‎∴‎ ‎（3）设直线的方程，‎ 由得 ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ∴ ‎ 若，则∴，∴，∵，∴，∴与不垂直；‎ ‎∴，∵，，‎ ‎∴直线的方程，直线的方程: ‎ 由 解得 ∴ ‎ 又点在椭圆上得，即，即 ‎ ‎∵，∴ ‎ 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎19.已知数列的前项和为，，且对任意的正整数，都有，其中常数．设﹒‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若且，设，证明数列是等比数列；‎ ‎（3）若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据和项与通项关系，将条件转化为，即，再根据题设条件进行构造数列：，即，最后根据等差数列定义得证（2）先根据等比数列定义明确目标：为一个常数，因此利用，代入化简得为，因此是首项为，公比为的等比数列，（3）先化简不等式，实质讨论数列：当时，，当且时，．若，则，然后分别解不等式，难点在当且时，需分类讨论：若时，，，，，不符合，舍去．若时，，，，只须即可，显然成立．故符合条件；若时，，，从而，故，只须即可，于是．‎ 试题解析：解：∵，，‎ ‎∴当时，，‎ 从而，，﹒‎ 又在中，令，可得，满足上式，‎ 所以，﹒‎ ‎（1）当时，，，‎ 从而，即，‎ 又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，‎ 所以．‎ ‎（2）当且且时，‎ ‎，‎ 又，‎ 所以是首项为，公比为的等比数列，﹒‎ ‎（3）在（2）中，若，则也适合，所以当时，．‎ 从而由（1）和（2）可知 当时，，显然不满足条件，故．‎ 当时，．‎ 若时，，，，，不符合，舍去．‎ 若时，，，，，且．‎ 所以只须即可，显然成立．故符合条件；‎ 若时，，满足条件．故符合条件；‎ 若时，，，从而，，‎ 因为．故， 要使成立，只须即可．‎ 于是．‎ 综上所述，所求实数的范围是．‎ 考点：等差数列与等比数列定义，数列单调性 ‎20.设函数．‎ ‎（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设，是的导函数．‎ ‎①若对任意的，求证：存在使；‎ ‎②若，求证：．‎ ‎【答案】(1)；(2)①.证明见解析；②.证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由题意，对恒成立，根据，等价为对恒成立，即可求得的取值范围；（2）①分别求得与，若，则存在，使，从而得，取，则，即可证明；②不妨设，令，则，由（1）知函数单调递增，则，从而，根据，推出，只需证明成立，即只需证明成立，设，求得函数的单调性，即可证明.‎ 试题解析：（1）由题意，对恒成立.‎ ‎∵‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∵‎ ‎∴，从而．‎ ‎（2）①，则．‎ 若，则存在，使，不合题意.‎ ‎∴．‎ 取，则．‎ 此时．‎ ‎∴存在，使．‎ ‎②依题意，不妨设，令，则．‎ 由（1）知函数单调递增，则，从而．‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 下面证明，即证明，只要证明．‎ 设，则在恒成立．‎ ‎∴在单调递减，故，从而得证．‎ ‎∴，即．‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数 ‎.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎ ‎ ‎ ‎